专题07三角形中的边角关系（6个知识点7种题型2个易错点4种中考考法）（原卷版）

专题07三角形中的边角关系（6个知识点7种题型2个易错点4种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.三角形的有关概念（重点）知识点2.三角形的分类（重点）（难点）知识点3.三角形的三边关系（重点）知识点4.三角形内角和定理（重点）知识点5.三角形中的几种重要线段（重点）（难点）知识点6.定义的概念【方法二】实例探索法题型1.三角形的识别题型2.三角形三边关系的应用题型3.三角形内角和定理的应用题型4.三角形的三种重要线段的应用题型5.三角形三边关系的实际应用题型6.由三角形的三边关系证明线段间的不等关系题型7.有关三角形个数的探究【方法三】差异对比法易错点1.对三角形的三线，尤其是角平分线和高的理解不深刻，导致在作图时发生错误易错点2.忽略了三条线段能否组成三角形导致错误【方法四】仿真实战法考法1.三角形三种重要线段考法2.三角形的面积考法3.三角形三边关系考法4.三角形内角和定理【方法五】成果评定法【学习目标】经历探索三角形内角和定理的过程，理解三角形内角和定理及其证明方法。理解三角形的三边关系，会判断三条线段能否组成一个三角形，能运用它解决有关问题。了解三角形的高、中线和角平分线的概念及性质，会画任意三角形的高、中线、角平分线。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.三角形的有关概念（重点）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．【例1】一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（）A． B．C． D．【变式】三角形是指()A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形知识点2.三角形的分类（重点）（难点）按边分类：要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.知识点3.三角形的三边关系（重点）定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．【例2】三角形按边长关系，可分为（

）A．等腰三角形，直角三角形 B．直角三角形，不等边三角形C．等腰三角形，不等边三角形 D．等腰三角形，等边三角形【变式】如图表示三角形的分类，则表示的是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形【例3】图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能【变式】将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形知识点4.三角形内角和定理（重点）三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．知识点5.三角形中的几种重要线段（重点）（难点）三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这个交点就是三角形的重心。一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．例1．如图，△ABC中AB边上的高是（）A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC【变式1】如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线例2．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是．【变式1】三角形三条中线（）A．交点在三角形外 B．交点在三角形内 C．交点在三角形顶点 D．交点在三角形边上例3．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．【变式1】在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ知识点6.定义的概念能界定某个对象含义的句子叫做定义．【方法二】实例探索法题型1.三角形的识别1．（浙江·八年级校考阶段练习）图中，三角形的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（

）对．A．8 B．16 C．24 D．323.如图，图中共有_____个三角形，∠B是_________________的内角．4．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点．(1)的三个顶点是什么?三条边是什么?(2)是哪些三角形的边?5．如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出的边和角．（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？题型2.三角形三边关系的应用7.已知三角形三边长分别为，，，则的取值范围是________．8.在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC为偶数，求△ABC的周长．9.已知三角形的三边长分别为2，a1，4，则化简|a3|+|a7|．10.在中，，，且的长为偶数，求的周长，并判断其形状．11．（2022秋•亳州期中）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．（1）求a的取值范围；（2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？12．（2022秋•无为市期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数①求c的长；②判断△ABC的形状．题型3.三角形内角和定理的应用13.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．14.已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.15.在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，试判断该三角形的形状．16.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?17.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．（1）请说明DE∥BC；（2）若∠A＝60°，∠ACB＝72°，求∠CDE的度数．题型4.三角形的三种重要线段的应用18.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④19．（2022秋·安徽滁州·八年级校考期末）如图，在中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，则_______．20．（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）在中，，边上的中线把的周长分为12和21两部分，求长_________．21.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？22．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，AD、AE、AF分别是ABC的高线、角平分线和中线．(1)若，CF=4，求AD的长．(2)若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度数．题型5.三角形三边关系的实际应用23.两根木棒的长度分别为，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（

）A． B． C． D．24．（2022秋•安徽期中）小明家和小红家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么小明和小红两家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km25．（2022秋•瑶海区期中）如图，为估计校园内池塘边A，B两点之间的距离，小华在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝18m，OB＝12m，则A，B两点之间的距离可能是（）A．6m B．18m C．30m D．32m26．（2022秋·浙江宁波·八年级统考阶段练习）小王准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长.(2)问第一条边长可以为7米吗？请说明理由.27．（浙江·八年级统考期中）小明准备用一段长30米的需包围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔，已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.（1）请用a表示第三条边长（2）问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由.（3）求出a的取值范围.（4）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说出你的围法：若不能，请说明理由.28．（浙江杭州·八年级统考期中）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形．记这些三角形的三边分别为，，，并且这些三角形三边的长度为大于且小于的整数个单位长度，用记号（，，）（）表示一个满足条件的三角形，如（，，）表示边长分别为，，个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形．题型6.由三角形的三边关系证明线段间的不等关系29．（2022秋·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，点在的延长线上．求证：．（要求每一步推理都要标明相应的理由）30．（2020秋·安徽安庆·八年级统考期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．31．（浙江·八年级统考期中）已知：如图，是内一点．求证：．32．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证：．33．（2021秋·陕西延安·八年级陕西延安中学校考期中）如图，在中，M是的中点，求证：．题型7.有关三角形个数的探究34.某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有_____个三角形出现．35．（2022·全国·八年级专题练习）观察图形规律：（1）图①中一共有________个三角形，图②中共有________个三角形，图③中共有________个三角形．（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有________个三角形．36．（2020秋·八年级课时练习）如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形……(1)完成下表：连接点的个数123456出现三角形个数(2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？(3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？【方法三】差异对比法易错点1：对三角形的三线，尤其是角平分线和高的理解不深刻，导致在作图时发生错误37．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知．(1)画出的中线和角平分线；(2)画出的高，．易错点2：忽略了三条线段能否组成三角形导致错误38．（2022秋•招远市期中）有四根细木棒，长度分别为6cm，7cm，9cm，14cm，从中取三根木棒组成一个三角形，有_____种可能情况．（）A．1 B．2 C．3 D．439.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【方法四】仿真实战法考法1.三角形三种重要线段1．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线2．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为．考法2.三角形的面积3．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是．考法3.三角形三边关系4．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm5．（2023•宿迁）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，86．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为（写出一个即可）．考法4.三角形内角和定理7．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（）A．65° B．75° C．85° D．95°8．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝°．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）如图，在中，，过点作于点，则下列说法正确的是（

）A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高2．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）长为4，5，6，9的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（

）种．A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）如图，的面积为8，为边上的中线，E为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2022秋·安徽安庆·八年级校考期中）如图，和是的角平分线，它们交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2022秋·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）有条线段的长分别是，，和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，共可作不同的三角形有（

）A．个 B．个 C．个 D．个6．（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，在中，点在边上，，连接．若，则的大小为（

）A． B． C． D．7．（2022秋·安徽阜阳·八年级校考期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（

）A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥8．（2022秋·安徽·八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<69．（2022秋·安徽池州·八年级统考期末）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（

）A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和510．（2022秋·安徽·八年级期末）如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（

）A．5° B．13° C．15° D．20°二、填空题11．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）12．（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）已知三角形的两边长分别为，，第三边长是c，且，则c的取值范围是．13．（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为25°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为．14．（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，在中，分别是的中点，且，则．三、解答题15．（2022秋·安徽宣城·八年级校考期中）若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．16．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）如图，在中，，边上的中