初一暑假补课内容

第一讲代数式（一）一、【能力训练点】：（1）列代数式；（2）代数式的意义；（3）代数式的求值（整体代入法）二、【典型例题解析】：1、用代数式表示：（1）比的和的平方小的数。（2）比的积的2倍大5的数。（3）a、b两数平方的和（差）。（4）a数与b数的差的平方。（5）a、b两数和的平方与a、b两数平方和的商。（6）a、b两数和的2倍与a、b两数积的一半的差。（7）比的平方的2倍小1的数。（8）任意一个偶数（奇数）（9）能被5整除的数。（10）任意一个三位数。2、代数式的求值：（1）已知，求代数式的值。（2）已知的值是7，求代数式的值。（3）已知；，求的值（4）已知，求的值。（5）已知：当时，代数式的值为2007，求当时，代数式的值。（6）已知等式对一切都成立，求A、B的值。（7）当多项式时，求多项式的值。三、【备用练习题】：1、已知代数式的值为8，求代数式的值。已知求当时，已知多项式经合并后，不含有的项，求的值。已知多项式与多项式N的2倍之和是，求N？5、已知，求的值。6、已知均为正整数，且，求的值。第二讲发现规律一、【问题引入与归纳】我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。二、【典型例题解析】1、观察算式：按规律填空：1+3+5+…+99=？，1+3+5+7+…+？2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？3、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第个图案中有白色地面砖多少块？4、观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？5、观察右图，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？（3）某一层上有77个点，这是第几层？（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？6、观察下列各式，你会发现什么规律？3×5=15，而15=42-15×7=35，而35=62-1……11×13=143，而143=122-1……将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来。三、【跟踪训练题】11、有一列数其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…则第个数=，当=2001时，=。2、将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224…………2826根据上面的规律，则2006应在行列。3、已知一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：（）4、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示）按照这种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数123…n人数46…5、给出下列算式：观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：第三讲一元一次方程一、知识点归纳：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、典型例题解析：1、解下列方程：（1）（2）；（3）2、能否从；得到，为什么？反之，能否从得到，为什么？若关于的方程，无论K为何值时，它的解总是，求、的值。已知是方程的解，求代数式的值。5、关于的方程的解是正整数，求整数K的值。6、解方程7、已知方程的解为，求方程的解。8、要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？9、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？10、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？11、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？12、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？13、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？14、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加满，第二次倒出它的后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。15、1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大？平行线判定与性质提高题1、如图1，AB∥CD，且∠BAP=60°－α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°－α，则α=()ABCDEαβγ图3A、10°B、15ABCDEαβγ图3图2图2ABPCD图1图4图4EDCBA2、如图2，，且，，则的度数是（）A、B、C、D、3、如图3，已知AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为（）（A）α+β+γ=1800（B）α—β+γ=1800（C）α+β—γ=1800（D）α+β+γ=36004、如图4，已知AB//DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD=5、如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°,证明：BC⊥CD。（选择一种辅助线）6、如图，若AB∥CD，猜想∠A、∠E、∠D之间的关系，并证明之。7、如图，AB∥CD，∠BEF＝85°，求∠ABE＋∠EFC+∠FCD的度数。8、如图，∠ABC＋∠ACB＝110°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,EF过点O与BC平行，求∠BOC。9、如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。10、已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.11、.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？_G_F_E_P_G_F_E_P_D_C_B_AAP平分∠BAC，求∠PAG的度数。如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数。如右图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。若已知∠1=55°，∠3=75°，求∠2的度数。ABEPFCD15、已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点PABEPFCD二元一次方程组类型总结（提高题）类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）．已知（a－2）x－by|a|－1＝5是关于x、y的二元一次方程，则a＝______，b＝_____．（2）．二元一次方程3x＋2y＝15的正整数解为_______________．类型二：二元一次方程组的求解例（3）．若|2a＋3b－7|与（2a＋5b－1）2互为相反数，则a＝______，b＝（4）．2x－3y＝4x－y＝5的解为_______________．类型三：已知方程组的解，而求待定系数。例（5）．已知是方程组的解，则m2－n2的值为_________．（6）．若满足方程组的x、y的值相等，则k＝_______．练习：若方程组的解互为相反数，则k的值为。若方程组与有相同的解，则a=，b=。类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法．例（7）．已知＝＝，且a＋b－c＝，则a＝_______，b＝_______，c＝_______．（8）．解方程组，得x＝______，y＝______，z＝______．练习：若2a＋5b＋4c＝0，3a＋b－7c＝0，则a＋b－由方程组可得，x∶y∶z是（）A、1∶2∶1B、1∶（－2）∶（－1）C、1∶（－2）∶1D、1∶2∶（－1）说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．例（9）．若，都是关于x、y的方程|a|x＋by＝6的解，则a＋b的值为（10）．关于x，y的二元一次方程ax＋b＝y的两个解是，，则这个二元一次方程是练习：如果是方程组的解，那么，下列各式中成立的是（）A、a＋4c＝2B、4a＋c＝2C、a＋4c＋2＝0D、类型六：方程组有解的情况。（方程组有唯一解、无解或无数解的情况）方程组满足条件时，有唯一解；满足条件时，有无数解；满足条件时，有无解。例（11）．关于x、y的二元一次方程组没有解时，m（12）二元一次方程组有无数解，则m=，n=。类型七：解方程组例（13）．（14）．（15）．（16）．类型八：解答题例（17）．已知，xyz≠0，求的值．（18）．甲、乙两人解方程组，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了它的相反数，解得，求a、b的值．练习：甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程①中的,得到方程组的解为；乙看错了方程②中的,得到方程组的解为。试计算的值.（19）．已知满足方程2x－3y＝m－4与3x＋4y＝m＋5的x，y也满足方程2x＋3y＝3m－8，求m（20）．当x＝1，3，－2时，代数式ax2＋bx＋c的值分别为2，0，20，求：（1）a、b、c的值；（2）当x＝－2时，ax2＋bx＋c的值．类型九：列方程组解应用题（21）．有一个三位整数，将左边的数字移到右边，则比原来的数小45；又知百位上的数的9倍比由十位上的数与个位上的数组成的两位数小3．求原来的数．（22）．某人买了4000元融资券，一种是一年期，年利率为9%，另一种是两年期，年利率是12%，分别在一年和两年到期时取出，共得利息780元．两种融资券各买了多少？（23）．汽车从A地开往B地，如果在原计划时间的前一半时间每小时驶40千米，而后一半时间由每小时行驶50千米，可按时到达．但汽车以每小时40千米的速度行至离AB中点还差40千米时发生故障，停车半小时后，又以每小时55千米的速度前进，结果仍按时到达B地．求AB两地的距离及原计划行驶的时间．一元一次不等式例题精讲：例一．例二．若，求当时，m的取值范围。例三．班级50名学生上体育课，老师出了一道题目：现在我拿来一些篮球，如果每5人一组玩一个篮球，有些同学没有球玩；如果每6人一组玩一个篮球，就会有一组玩篮球的人数不足6个．你们知道有几个篮球吗？甲同学说：如果有个篮球，．乙同学说：．丙同学说：．你明白他们的意思吗？例四．3.若不等式组的解集为−1<x<1，求(a+1)(b−1)的值．例五．用不等式表示：x的2倍与1的和大于－1为__________，y的与t的差的一半是负数为_________。例六．为何值时,代数式的值是非负数？例七．已知：关于的方程的解是非正数，求的取值范围．一．认真填一填：1、有下列数学表达：①；②；③；④；⑤； ⑥．其中是不等式的有________个.2．学校食堂出售两种厚度一样但大小不同的面饼,小饼直径30cm,售价30分；大饼直径40cm，售价40分.你更愿意买饼,原因是.3．若m＜n，比较下列各式的大小：（1）m－3______n－3（2）－5m______－5n（3）______（4）3－m______2－n(5)0_____m－n（6）_____4．用“＞”或“＜”填空：（1）如果x－2＜3，那么x______5；（2）如果x＜－1，那么x______；（3）如果x＞－2，那么x______－10；（4）如果－x＞1，那么x______－1；（5）若，，则x______.5．有如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示为．6、有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，根据图示，用“>”或“<”填空。（1）a＋3______b＋3；（2）b－a_______0（3）______；（4）a＋b________07、若0<a<1，则按从小到大排列为________。8、在数轴上表示数x的点与原点的距离不超过5，则x满足的不等式（组）为_______9、当x_______时，代数式3x＋4的值为正数。10、要使方程的解是负数，则m________11、若，则x___________12、已知a<b，则不等式组的解集是____________13、若不等式组的解集是，则的值为___________14、如果不等式的负整数解是－1，－2，则m的取值范围是_________15、a>b，则－2a

－2b16、3x≤12的自然数解有

17、用代数式表示，比x的5倍大1的数不小于x的与4的差

18、若(m−3)x<3−m解集为x>−1，则m

19、人类能听到的声音频率x不低于20Hz且不高于2000Hz_______(用不等式表示)20、数轴上有一点P，它的坐标为x，已知点P到原点的距离小于8，则x满足的关系为__________22、若不等式－3(x＋2)＜m＋2的解集由正数组成，求m的取值范围。23、若关于的方程组的解满足>，则P的取值范围是_________24、当时，代数式的值不大于零25、若<１，则０（“>”“=”或“”）26、不等式>的解集为<３，则27、若>>，则不等式组的解集是28、一罐饮料净重约为３００g，罐上注有“蛋白质含量”其中蛋白质的含量为29、若<,则－2－2。（填“<、>或=”号）30、若，则。（填“<、>或=”号）31、当_______时，代数式的值至少为1。32、若方程的解是非负数，m是正整数，则的值是：_________。33、从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分到40分之间到达学校，设步行速度为米/分，则可列不等式组为________，小明步行的速度范围是______。34、若关于的方程组的解满足>，则P的取值范围是_________。35、用不等式表示：①a大于0_____________;②是负数____________;③5与x的和比x的3倍小______________________.36、用不等号填空：若.37、的最小值是a,的最大值是b,则38、生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b小时，则____________<b<_____________.39、编出解集为的一元一次不等式和二元一次不等式组各一个，一元一次不等式为___________________________;二元一次不等式组为________________________.40、若不等式组的解集是空集，则a、b的大小关系是_______________.41、的最小值是a,的最大值是b,则42、当x＝时，代数式的值比代数式的值大.43、已知a、b为常数，若不等式的解集是，则的解集为。二．认真选一选：1．(2008年永州市，改编)如图所示，对a，b，c三种物体的重量判断不正确的是（）．aaaabbccbbbA．a＜c B．a＜b C．a＞c D．b＜c2.若a>b，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.3.与不等式的解集相同的是（）A.B.C.D.4.不等式的负整数解的个数有（）A.0个B.2个 C.4个 D.6个5.不等式组的整数解的和是（）A.1B.0C.－1 D.－26.下列四个不等式：（1）ac>bc；（2）；（3）；（4）中，能推出a>b的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.如果不等式的解集为，那么a满足的条件是（）A.a>0 B.a<－2 C.a>－1 8.若不等式组的解集是，则t的取值范围是（）A.t<1 B.t>1C.D.9.若方程组的解是负数，则a的取值范围为（）A. B.C. D.无解10.在数轴上表示不等式x≥－2的解集，正确的是（

）A

B

C

D11.下列叙述不正确的是()A.若x<0，则x2>xB.如果a<−1，则a>−aC.若，则a>0D.如果b>a>0，则12.代数式1−m的值大于−1，又不大于3，则m的取值范围是(

)

A.−1<m≤3

B.−3≤m<1

C.−2≤m<2

D.−2<m≤213.若关于x的不等式组的解集是x>2a，则a的取值范围是(

)A.a>4

B.a>2

C.a=2

D.a≥214.若方程组中，若未知数x、y满足x+y>0，则m的取值范围是(

)A.m>−4

B.m≥−4

C.m<−4

D.m≤−415、如果0＜x＜1，则下列不等式成立的是（）A、x2＞＞xB、＞x2＞xC、x＞＞x2D、＞x＞x216、由得到，则a应该满足的条件是……（）A、B、C、D、为任意实数17、如果不等式无解,那么m的取值范围是()A．m>8B．m≥8C．m<8D．m≤818．若则必为（）A、负整数Ｂ、正整数Ｃ、负数Ｄ、正数19．下列说法，错误的是（）Ａ、的解集是Ｂ、－１０是的解Ｃ、的整数解有无数多个Ｄ、的负整数解只有有限多个20.不等式组的整数解是（）Ａ、－１，０Ｂ、－１，１Ｃ、０，１Ｄ、无解21．若<<０，则下列答案中，正确的是（）Ａ、<ＢB、>Ｃ、<D、>22．关于的方程的解都是负数，则的取值范围（）Ａ、>３Ｂ、<Ｃ、<３Ｄ、>-３23、若>,则下列不等式中正确的是：（） A、－<0B、C、+8<－8D、24、如果不等式组的解集是，则n的取值范围是（） A、B、C、D、25、使代数式的值不小于代数式的值，则应为（） A、>17B、≥17C、<17D、≥2726、已知中，为正数，则的取值范围是（） A、<2B、<3C、<4D、<527、如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.下列两个不等式是同解不等式的是（）A．与B．与C．与D．与28.若，则a只能是（）A．B．C．D．29.关于x的方程的解是非负数，那么a满足的条件是()A．B．C．D．三．认真想一想：

≤1．用不等式表示：（1）x与－3的和是负数.（2）x与5的和的28%不大于－6.（3）m除以4的商加上3至多为5.（4）a与b两数和的平方不小于3.（5）三角形的两边a、b的和大于第三边c.2．同桌的甲、乙两名同学，争论着一个问题：甲同学说：“5a＞43、已知A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑电动自行车，PC、OD分别表示甲、乙两人离开A的距离s（km）与时间t（h）的函数关系。根据图象，回答下列问题：（1）_________比_______先出发________h；（2）大约在乙出发______h时两人相遇，相遇时距离A地______km；（3）甲到达B地时，乙距B地还有___________km，乙还需__________h到达B地；（4）甲的速度是_________km/h，乙的速度是__________km/h。4、甲、乙两旅行社假期搞组团促销活动，甲：“若领队买一张全票，其余可半价优惠”。乙“包括领队在内，一律按全票价的六折优惠”。已知全票价为120元，你认为选择哪家旅行社更优惠？5、某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元：生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。（2）设生产A、B两种产品获总利润W（元），采用哪种生产方案获总利润最大？最大利润为多少？6、已知方程3（x－2a）＋2＝x－a＋1的解适合不等式2（x－5）≥8a，求a的取值范围。7、若，求x的取值范围。8、已知关于x、y的方程组.（1）求这个方程组的解；（2）当m取何值时，这个方程组的解中，x大于1，y不小于－1.9、某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A、B、C三类；A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需再购买门票每次3元。（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林次数最多的购票方式。（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。10、某城市一种出租汽车起步价是10元行驶路程在5km以内都需10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km，1.2元(不足1km，加价1.2元；不足1km部分按1km计)；现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付17.2元，则从甲地到乙地路程大约是多少？11、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备；现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元．(1)请你设计该企业有几种购买方案；(2)若该企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金,应选择哪种购买方案；(3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）12