天津市五区县2017届高三上学期期末考试数学试题

绝密★启用前天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（文科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.题号一二三总分151617181920得分本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：如果事件互斥，那么．如果事件相互独立，那么．锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高.柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，则（A） （B）（C） （D）（2）从数字1，2，3，4，5，6中任取两个数，则取出的两个数的乘积为奇数的概率为（A） （B） （C） （D）第3题图（3第3题图（A）48 （B）36 （C）24 （D）12（4）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知，，，则（A） （B） （C） （D）（6）已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（A） （B）（C） （D）（7）已知向量，，（其中），则的最小值为（=2\*ROMANII）求证：平面平面；（=3\*ROMANIII）若，求直线与平面所成的角.（18）（本小题满分13分）已知数列的前项和（），（），数列的前项和为.（=1\*ROMANI）求数列的通项公式；（=2\*ROMANII）设（），求数列的前项和；（=3\*ROMANIII）证明：（）.（19）（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的周长为，且点到直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点.（20）（本小题满分14分）已知函数（），函数的图象记为曲线.（=1\*ROMANI）若函数在时取得极大值2，求的值；（=2\*ROMANII）若函数存在三个不同的零点，求实数的取值范围；（=3\*ROMANIII）设动点处的切线与曲线交于另一点，点处的切线为，两切线的斜率分别为，当为何值时存在常数使得？并求出的值.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题:1-4DCDA5-8BACD二、填空题:9.10.11.12.13.14.三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）已知可化为，…………3分整理得，，又…………6分（Ⅱ）由得，由（Ⅰ），所以由余弦定理得：，，即，…………9分所以.…………13分16.（本小题满分13分）解：（I）由题意得………………3分二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.………………6分（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为，则目标函数，作出直线，平移直线，如图，易知直线经过点A时，取到最小值，解方程组得点的坐标为，………………10分所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ），且为的中点，.又因为，则四边形是平行四边形，∴，平面，平面，直线平面.……………4分（II）∵在等边中，是的中点，；又，；又，，又，，又，平面，故平面平面；……8分（III）设与交于点，由（II）知平面，，故平面，连结，为直线与平面所成的角.在中，，，.………13分18．（本小题满分13分）解：（I）当时，，，两式相减：；当时，，也适合，故数列的通项公式为；………………….3分（II），，，，两式相减可得：，…………………4分即，，.…7分（III），显然，即，；……………….9分另一方面，，即，，…，，，即：.………..13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，解得.所以椭圆的方程为.……………5分（Ⅱ）由题意知，……………6分设，则，得.且由点在椭圆上，得.……………9分所以…………13分以为直径的圆过点.……………14分20．（本小题满分14分）解：函数的导函数为.（I）当时极大值2，则，解得；……4分（II）由题意可得有三个不同的零点，即方程有三个实数解.令，则，由可得或，且是其单调递增区间，是其单调递减区间，.因此，实数的取值范围是.9分（III）由（I）知点处的切线的方程为，与联立得，即，所以点的横坐标是，可得，即，等价于，解得.综上可得，当时存在常数使得.……………14分

天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题:1-4DCDA5-8BACD二、填空题:9.10.11.12.13.14.三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）已知可化为，…………3分整理得，，又…………6分（Ⅱ）由得，由（Ⅰ），所以由余弦定理得：，，即，…………9分所以.…………13分16.（本小题满分13分）解：（=1\*ROMANI）由题意得………………3分二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.………………6分（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为，则目标函数，作出直线，平移直线，如图，易知直线经过点A时，取到最小值，解方程组得点的坐标为，………………10分所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ），且为的中点，.又因为，则四边形是平行四边形，∴，平面，平面，直线平面.……………4分（=2\*ROMANII）∵在等边中，是的中点，；又，；又，，又，，又，平面，故平面平面；……8分（=3\*ROMANIII）设与交于点，由（=2\*ROMANII）知平面，，故平面，连结，为直线与平面所成的角.在中，，，.………13分18．（本小题满分13分）解：（=1\*ROMANI）当时，，，两式相减：；当时，，也适合，故数列的通项公式为；………………….3分（=2\*ROMANII），，，，两式相减可得：，…………………4分即，，.…7分（=3\*ROMANIII），显然，即，；……………….9分另一方面，，即，，…，，，即：.………..13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，解得.所以椭圆的方程为.……………5分（Ⅱ）由题意知，……………6分设，则，得.且由点在椭圆上，得.……………9分所以…………13分以为直径的圆过点.……………14分20．（本小题满分14分）解：函数的导函数为.（=1\*ROMANI）当