北京市海淀区高三上学期数学期中数学试卷

2022年北京市海淀区高三数学期中考试本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集，集合，则 A. B. C. D.2.在同一个坐标系中，函数与的图像可能是ABCD3.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则 A. B. C. D.4.若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为 A. B. C. D.5.已知实数满足，则下列不等式中正确的是 A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，角与角均已为始边，它们的终边关于直线对称.若，则 A. B. C. D.7.已知函数.甲同学将的图像向上平移个单位长度，得到图像；乙同学将的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图像.若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是 A. B. C. D.8.已知函数，则“”是“为奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 A. B. C. D.10.我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（参考数据：，） A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.若复数，则_________.12.函数的定义域是_________.13.已知向量，.若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为_________.14.若函数和的图像的对称中心完全重合，则_________；_________.15.已知函数.①当时，的极值点个数为_________；②若恰有两个极值点，则的取值范围是_________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项.若，求.（用含的式子表示）条件①：； 条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分.17.（本小题14分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期；（Ⅲ）求在区间上的最大值和最小值.18.（本小题14分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在区间上的取值范围是，求的取值范围.19.（本小题14分）某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，.（注：点在同一平面内）（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求点之间的距离.20.（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.21.（本小题15分）对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，.对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质：①；②.（Ⅰ）以下给出数表和数表.11101000011110100001111010000数表1数表2（ⅰ）数表1是否具有性质？说明理由；（ⅱ）是否存在正整数，使得数表2具有性