四边自由矩形板柱结构的精确解

四边自由矩形板柱结构的精确解

由于板柱结构的灵活性，建筑净高，施工方便，适合建筑材料。其计算简图为一个四边自由板在柱支座(或称点支座)支承下的受力体系,但至今为止板中内力分布仍无精确的理论解法。文献应用瑞雷—李兹法求解了均布荷载作用下四直边中点支承方形板的弯曲问题;文献应用广义简支边的概念分析了均布荷载作用下和一集中力作用在板中点上四个角点被支承的矩形板弯曲;文献将集中荷载作用下四直边上任意点支承矩形板的弯曲分解为6个基本的弯曲问题,应用广义简支边条件和叠加法得到该问题解析解;文献解决了三角点或四角点支承的矩形板在任意荷载作用下的弯曲。上述解法或限定点支座位置或限定荷载类型,存在较大局限性,同时收敛速度和计算精度也不甚满意。本文解法适用于柱支座位于任意位置时板的弯曲,且对于各种荷载作用都具有较快的收敛性和较高的计算精度。板柱结构中只存在柱支座,支座处的位移条件是已知的,支座处的反力条件有二种可能性。当仅有三个柱支座时,其柱支反力可以由静力平衡条件确定,计算条件是完备的;当多于三个柱支座时其柱支反力无法确定,计算条件是不完备的;前者称为静定弯曲,后者称为超静定弯曲。对于静定弯曲,可以撤去柱支座而代之以支反力,柱支条件下矩形板的弯曲即转换为四边自由矩形板在原荷载及柱支反力共同作用下的弯曲,选定合理的挠度表达式后即可利用四边边界条件及柱支座处的位移条件求解;对于超静定弯曲必须采用叠加法求解。上述思想与文献或文献的解法是一脉相通的。1间上级数的选取图1所示三个柱支座支承的矩形板,柱支座可以在板内、板边界上、板角点上或兼有之,在法向荷载q(x,y)作用下,挠度W应满足下列弯曲平衡微分方程。式中D为板的弯曲刚度。W表达式为W1为式(1)对应的齐次方程的通解,对图1(a)所示四边自由矩形板,取式中。A0、B0、C0、D0可以理解为m=0时的Am、Bm、Cm、Dm。这是因为在[0,a]区间上级数是一个完整的正交三角函数族,m取值必须从零开始。将m=0时对应的双曲函数改为y的多项式。既是对齐次微分方程进行分离变量分析的结果,又可以保持待定常数的完整性。该级数在x=0和x=a时不为零值,符合x=0和x=a均为自由边挠度不为零的变形特点。同理E0、F0、G0、H0分别为n=0时的En、Fn、Gn、Hn。这与文献中一对边自由方向所采用的级数是相同的。特解W2主要与荷载有关。由于式(1)实质上是板法向力的平衡条件,因此所有已知法向力,包括作用在板上的法向荷载q(x,y),作用在角点上的竖向集中力,作用在边界上竖向剪力都应有相应的特解。因此有W21、W22、W23分别为角点集中力,边界剪力,板面荷载对应的特解。它们必须服从以下规则:(1)W21、W22要分别满足角点集中力条件和自由边剪力分布条件,相互之间不发生关联。即W21在自由边上对应的剪力为零值,W22在自由角点上对应的集中力为零值。(2)W23在自由角点上对应的集中力为零值,在自由边上对应的剪力为零值。(3)W21、W22、W23组成的组合特解要满足式(1)所示的平衡微分方程。显然该特解可以同时满足自由角点集中力条件和自由边上剪力分布条件。1.1ra、rb、rc、料的反力角点上的集中力包括作用在自由角点上的竖向荷载也包括角点处柱支座的支反力,相应的特解为式中RA、RB、RC、RD分别为图1(a)所示角点A、B、C、D的角点力,RA、RD方向向上取正值,RB、RC方向向下取正值。并有式(6)表示与四个角点集中力对应的等效板面均荷为。1.2各边界上剪力展开系数的修正边界竖向剪力包括作用在边界上的分布剪力、局部分布剪力、集中力以及位于边界处柱支座产生的支反力。在x=0和y=0边界上剪力向上取正值,在x=a和y=b边界上剪力向下取正值。首先将各种剪力展成相应的单三角级数,同一边界上对应的展开系数相加,分别得以级数形式表示的每条边界上剪力值。取式中Sox1和Sox2分别为n=0时的Snx1和Snx2,Soy1和Soy2分别为m=0时的Smy1和Smy2,它们不仅表示n=0和m=0时边界剪力的展开系数,同时也包括边界上作用的均布剪力。则并有式(9)表示四个边界上分布剪力对应的等效板面均荷为。1.3板面相对挠线性方程的选择板面法向荷载q(x,y)包括作用在板面上的分布荷载,局部分布荷载,集中荷载,还包括处于板面内柱支座产生的柱支反力。所有荷载方向向下取正值。与W23对应的荷载q1(x,y)为扣除D∇4W21和D∇4W22以后的荷载值。将各种荷载展成双重三角级数的形式,且对应的展开系数相加后得其中S00表示m=0和n=0时相应的板面荷载展开值,即q1(x,y)对应的板面均荷。对四边自由的矩形板,所有法向作用力组成一个自平衡力系,因此S00=0,有利用板的8个边界条件即得以Am(A0)、Bm(B0)、Cm(C0)、Dm(D0)、En(E0)、Fn(F0)、Gn(G0)、Hn(H0)为未知量的8组线性方程,表1列出x=0和x=a二个边界4个边界条件对应的方程左端系数项,其中an1、an2、an3、an4、cn0、cn1分别为shαy、chαy、αyshαy、αychαy、y0、y在[0,b]区间上对级数的展开系数,其值可利用三角级数的正交性导出。同理y=0和y=b边界对应的方程与此相似。方程右端项包括板的边界条件以及特解W2对应的边界条件值。计算时,通解W1中级数取项数与特解W2中级数取项数可以不同。因为后者与系数矩阵的阶数无关,适当增大W2中级数取项数可以提高计算精度,并加快收敛速度。由于式(3)中A0y+B0,E0x+F0项代表了板的刚体平移和刚体转动,与板内力无关,而自由边界均为力的边界条件,因此在这8组方程中都不包含A0、B0、E0、F0这4个待定常数,即方程组的数量多于待定常数的数量。为使方程有唯一解,必须删除4个多余方程。这4个方程按下列方法选择:由于A0、B0、E0、F0是对应m=0和n=0时的常数,在x轴方向和y轴方向要各删去2个方程。在x轴方向上,由表1可知n=0对应的方程为(12-1)、(13-1)、(14-1)、(15-1),其中式(14-1)和式(15-1)的系数项均为6H0,右端项均为零值,这二个方程必须删去一个,另一个可在其余三个方程中选择。A0、E0和(B0+F0)的常数值和常数和值由支座处的位移条件确定,即Δ1、Δ2、Δ3分别为柱支座1、2、3处的竖向位移,方向向下取正值。这种处理方法具有明确的物理含义。由于在求解静定弯曲时要撤去柱支座代之以支反力,作用在板上的所有荷载(包括柱支反力)组成一平衡力系,因此由边界条件得到的解仅为一个完全悬空板在该平衡力系作用下弯曲变形的形状,称为板面相对挠曲线。板的实际挠曲线需要引入三个柱支座处的位移条件后才能确定。2柱支反力及弯矩变化情况逆向分析验证法是首先假定板的相对挠曲线和柱支座处的竖向位移值,逆向推算相应的荷载条件、边界条件,柱支座处的支反力值及板的实际挠度曲线。然后用本文方法计算与理论值进行比较,从而可以客观真实地判断本方法的计算精度。算例1:设板面相对挠曲线,板实际挠曲线为。A0、E0、(B0+F0)由式(16)确定。反推相应的荷载条件及边界条件,其中,板的自由角点力条件为RA=0,RB=0,RC=0,RD=-1(-μ)qab/3;自由边剪力分布条件为x=0时Vx=0,x=a时Vx=-qa(4-μ)/6,y=0时Vy=0,y=b时Vy=-qb(4-μ)/6;板面荷载q(x,y)=q;对图1(b)、(c)、(d)所示的支承情况,三个柱支反力均为零值。有代入全部边界条件,并将组合特解W2对应的边界条件值移到方程右端,得方程组右端项全部为零值,即在通解W1中得除A0、E0、(B0+F0)外其它待定常数均为零值。则与理论解完全相同。算例2:设板相对挠曲线为。由柱支座处位移条件,可确定板面实际挠曲线。逆向推算角点力条件、自由边剪力分布条件及板面荷载条件,由平衡条件计算柱支反力,用本文方法确定W21、W22、W23,再利用边界条件求出通解W1中待定常数值。与算例1不同,特解W22、W23要采用级数形式,表2列出对图1(d)所示方板(a=b、μ=0.3时)挠度和弯矩系数值并与理论解的比较。计算时通解W1中级数取前5项,特解中级数取前25项,计算结果中的前4位有效数字与理论解相同。可见本方法具有很高的计算精度,收敛快,且挠度与弯矩收敛同步。算例3:图1(d)所示矩形板,在角点D作用向下单位力,ΔA=ΔB=ΔC=0,角点力RD=-1。由平衡条件得三个柱支反力RA=-1,(方向向下)RB=RC=-1,(方向向上)。W1为式(3)所示,,W22=0,W23=0,利用边界条件及支座处位移条件得所有待定常数均为零,即,与理论解相同。算例4:图1(d)所示矩形板,角点A、B、C发生支座位移ΔA、ΔB、ΔC,无其它荷载作用。W1为式(3)示,W21=0、W22=0、W23=0,利用边界条件得除A0、B0、E0、F0以外常数全为零值。由柱支座处位移条件得,有与理论解相同。3座发生沉陷a、b、c、d角点及d时的弯曲分析法当柱支座多于3个时,撤去多余的柱支座而代之以未知力,得到一个静定弯曲的基本体系。分别计算基本体系在原荷载或单位未知力作用下的弯曲,由多余支座处的位移条件求出未知力,采用叠加法即可求解。例:四角点支承的矩形板,当四个柱支座发生沉陷ΔA、ΔB、ΔC、ΔD时的弯曲解法为:先撤去D角点支座而代之未知力RD(向上为正)。由例4可知基本体系在支座位移ΔA、ΔB、ΔC作用下挠度为,由例题3可知基本体系在D角点作用向上单位力时挠度。由角点D的位移条件得支反力,由叠加