结构力学-结构的稳定计算

土木工程学院工程力学学科组李强HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY

结构力学STRUCTURALMECHANICS1哈工大土木工程学院§16.1两类稳定问题概述

结构中的某些受压杆件，当荷载逐渐增大时，除了可能发生强度破坏外，还可能在材料抗力未得到充分发挥之前就因变形的迅速发展而丧失承载能力，这种现象称失稳破坏，其相应的荷载称为结构的临界荷载。压杆的实际承载能力应为上述两种平衡荷载中的最小者。2哈工大土木工程学院

所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。球在三个位置都能处于平衡，但受到干扰后表现不同：如小球受到干扰后仍能恢复到原先的平衡位置，则称该状态为稳定平衡如小球受到干扰后失去回到原先的平衡位置的可能性，则称该状态为不稳定平衡如小球受到干扰后可停留在任何偏移后的新位置上，则称该状态为随遇平衡3哈工大土木工程学院

结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。结构的失稳类型第一类失稳（分支点失稳）第二类失稳（极值点失稳）4哈工大土木工程学院FPO

FPl第一类失稳的基本特征

FPcrI稳定II不稳定FP<FPcr时，杆件仅产生压缩变形。轻微侧扰，杆件微弯；干扰撤消，状态复原（平衡路径唯一）。FP≥FPcr时，杆件既可保持原始的直线平衡状态，又可进入弯曲平衡状态（平衡路径不唯一）。完善体系结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，称分支点失稳。5哈工大土木工程学院

发生第一类失稳的还有：FPFP他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质发生突变，产生了两种性质截然不同平衡路径。6哈工大土木工程学院

l第二类失稳的基本特征FPFPOFPcr初始缺陷使得开始加载杆件便处于微弯状态，挠度引起附加弯矩。随荷载增加侧移和荷载呈非线性变化，且增长速度越来越快。荷载达到一定数值后，增量荷载作用下的变形引起的截面弯矩的增量将无法再与外力矩增量相平衡，杆件便丧失原承载能力。

非完善体系是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点，该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。7哈工大土木工程学院

他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。发生第二类失稳的情况：FPFPqFPFP8哈工大土木工程学院

当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值点失稳（跳跃屈曲）。扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征FPΔllfFPOFPcr由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题9哈工大土木工程学院

稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超过临界状态之后的后屈曲平衡状态。10哈工大土木工程学院

§16.2有限自由度体系的临界荷载确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目称为体系失稳的自由度。DOF=1DOF=2DOF=

FPEI=

FPEI=

EI=

EI=

kkFP11哈工大土木工程学院

主要计算方法：静力法——根据临界状态的静力特征（即平衡形式的二重性），寻找平衡路径交叉的分支点，可精确得到理论上的临界荷载值。能量法——依据能量特征来确定体系失稳时临界荷载。体系取得平衡的充要条件是任意可能位移和变形均使势能取得驻值。12哈工大土木工程学院一、静力法在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。

FPk

lFPkEI1=

第一解：第二解：FR1、单自由度完善体系的分支点失稳yxOABAB13哈工大土木工程学院

临界荷载：(1)大挠度理论

FPFPcrI稳定II不稳定(2)小挠度理论大、小挠度理论临界荷载相同14哈工大土木工程学院

FRFPk

l

FPkl

2、单自由度非完善体系的极值点失稳yxOABAB15哈工大土木工程学院

ε＝0ε＝0.1ε＝0.20.5360.421.370.6950.381.471.57FP/klε0.6950.5360.4150.10.20.3FP/klθOε＝0求极值点处的临界荷载1.00(1)大挠度理论16哈工大土木工程学院

(2)小挠度理论AFPk

l

ε＝0.1ε＝0.2ε＝00.0FP/klθ0.20.40.60.81.01.00.80.60.40.21.21.41.6ε＝0B17哈工大土木工程学院

结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说失稳都属于第二类失稳。第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比较复杂，但却是精确解。分析结论18哈工大土木工程学院

第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。分析结论第一类失稳仍有其重要地位19哈工大土木工程学院

例题：用静力法求图示结构的临界荷载FPcr平衡方程特征方程特征根llhEI1=

EIEIFPFP

FP

解：从临界平衡状态的两重性出发ABCDABCDAD20哈工大土木工程学院

y2y1EI=

2kkABCFP2FPEI=

ll2ky2ky12kkFP2FPABC例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。21哈工大土木工程学院

稳定方程屈曲时可确定y1和y2的比值位形图11.3610.367临界荷载22哈工大土木工程学院

lllkkFPkkFPy1y2ABCDFRC=ky2FRB=ky1FyA=FPy1/lFyD=FPy2/lFxA=FPEI=

EI=

EI=

例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。23哈工大土木工程学院

111124哈工大土木工程学院

计算步骤：1中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位置的一个可能变形状态；2在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力图；建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析的特征方程；由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；5最小特征值即临界荷载。25哈工大土木工程学院

多自由度体系失稳的基本特点：1多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；2具有n个自由度体系的失稳时共有n个特征对，即有n个可能失稳形态；3对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称或反对称的；4真实的临界荷载是n个特征值中的最小者，其它特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。26哈工大土木工程学院

二、能量法依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的位移和变形均使得总势能EP取得驻值，即总势能的一阶变分等于零（δEP=0）。该驻值条件等价于平衡条件保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要考察体系总势能的二阶变分状态：稳定平衡

随遇平衡

不稳定平衡

27哈工大土木工程学院

变形体系势能：=荷载势能+变形势能由广义坐标变分的任意性关于广义坐标ai

的齐次方程广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。关于广义坐标的总势能驻值条件：28哈工大土木工程学院

例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr解：从临界平衡状态的能量特征出发llhEI1=

EIEIFPFP

FP

ABCDABCDAD系统总势能29哈工大土木工程学院

例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr解：从临界平衡状态的能量特征出发llhEI1=

EIEIFPFP

FP

ABCDABCDAD表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的30哈工大土木工程学院lllkkFPABCD

kkFPy1y2

EI=

EI=

EI=

例题：用能量法求图示体系的临界荷载FPcr.解：31哈工大土木工程学院

1111势能驻值条件特征向量方程组特征方程（非零解条件）特征值特征向量（失稳形态）临界荷载32哈工大土木工程学院kkFPABCD

2kkFPy1y2EI=

EI=

EI=

从能量角度观察失稳位移图形可以发现:当两种情况下铰结点(弹簧)位移数值相等时,反对称位移形态的D点水平位移较大。或者说，D点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。

y1

1kkFPy233哈工大土木工程学院

§16.3无限自由度体系的临界荷载引入假定：

1杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变；

2材料是线弹性的；

3屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。无限自由度稳定问题的主要计算方法仍然是静力法和能量法34哈工大土木工程学院

FPFPl1.等截面压杆的临界荷载MFR静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。一、静力法yxO对无限自由度体系，平衡方程是微分方程而不是代数方程，这是与有限自由度体系不同的。ABAB35哈工大土木工程学院

1.等截面压杆的临界荷载边界条件:x=0时,y=0;x=l

时,y=0FPFPlMFRyxOABAB36哈工大土木工程学院

边界条件:x=0时,y=0;y'=0

x=l

时,y=0FPl例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.FPMFRyxO解：建立变形体平衡方程ABAB37哈工大土木工程学院

非零解需要系数行列式为零，得稳定方程这是以αl为自变量的超越方程，通常用试算法或图解法求解稳定方程的最小正根。零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。38哈工大土木工程学院

设：

y1=ly2=tanl变形曲线不是唯一的，是一组形状相同而幅度不同的曲线族（类似振型）。

图解法:两条线有无穷多交点，即有无穷组解。最小的非零根：

l=4.493

039哈工大土木工程学院

lFPkEI1FPkyxFRl刚性杆I1I2

=nI1ACBDFP

M例题：静力法求图示排架的临界荷载FPcr，和柱AB的计算长度。解：建立变形体平衡方程40哈工大土木工程学院边界条件:x=0时y=0

x=l

时y=

y'=0

FPkyxFR

41哈工大土木工程学院展开，得超越方程：讨论：

（1）如果I2=0，则k=0当EI1为有限值时，αl≠0，所以（2）如果I2=∞，则k=∞42哈工大土木工程学院

（3）如果I2=I1

，则k=3EI/l3有讨论（1）、（2）知试算法:令则所以27.094.43.05.862.30.50.0432.212.20-0.024-0.52.01.6-34.543哈工大土木工程学院

分析对称杆件的失稳变形形态FPFP由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。FPFPFPFP实际结构中压杆的支承常是弹性的：44哈工大土木工程学院

FPFPFPFPFPFPFPFP对称的失稳的位移形态反对称失稳的位移形态45哈工大土木工程学院

当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，应将固定支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的临界荷载上限、下限可由概念分析得出。反对称情况，如刚架梁EI1→0,对应悬臂柱，得临界荷载下限：反对称情况，如刚架梁EI1→∞,对应滑动支座，得临界荷载上限：讨论：∴刚架反对称临界荷载变化范围：对称失稳临界荷载下限发生在EI1→0时，压杆柱顶相当于铰链支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故刚架的失稳只能是反对称的。46哈工大土木工程学院

2.变截面压杆的临界荷载工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化杆。这两类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解，或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限形式，计算较为复杂。lI1I2l2l1FPyxOFP以图示体系为例分段建立平衡微分方程：设：47哈工大土木工程学院

2.变截面压杆的临界荷载平衡方程的解：积分常数由边界条件和两段连接点连续条件确定：当x=0时，y1=0；从而导出B1=0当x=l

时，

y2′＝0

；导出A2

－B2tanα2l

=0当x=l1

时，y1=y2、y1′=y2′导出lI1I2l2l1FPyxOFP48哈工大土木工程学院

2.变截面压杆的临界荷载由齐次方程非零解条件，令系数行列式为零：展开后求得特征方程当EI2=10EI1,l2=l1=0.5l时,得最小根α1l1=3.953

49哈工大土木工程学院

二、能量法对变截面压杆或轴向荷载复杂情况用静力法确定临界荷载比较繁杂。此时用能量法可取得较好效果。能量法的基本原理和步骤同于有限自由度体系稳定分析，即利用势能驻值原理，在势能的一阶变分等于零的情况下，根据位移取非零解的条件确定荷载特征值，临界荷载是所有特征值中的最小值。压杆的失稳曲线可以用一组满足边界条件的基函数线性组合而成。其组合系数称为广义坐标，广义坐标个数为自由度数。50哈工大土木工程学院

压杆在挠曲平衡状态时若有多个沿轴向作用不同位置的荷载，则荷载势能应变能荷载势能51哈工大土木工程学院体系势能

由体系势能的驻值条件52哈工大土木工程学院临界荷载的上限

由于压杆失稳的位移曲线一般很难精确预计和表达，用假设的位移曲线通过能量法求得的临界荷载往往是近似解，其近似程度取决于选取位移曲线与真实曲线的吻合程度。所以恰当选取位移函数是成功应用能量法的关键。53哈工大土木工程学院由边界条件设变形函数

FPl例题：能量法求图示体系的临界荷载.取一项时一阶基函数广义坐标a1解：FP

yxOAB54哈工大土木工程学院代入能量法的驻值条件

误差48％由广义坐标非零解的要求

55哈工大土木工程学院误差3.6％

取两项时56哈工大土木工程学院由边界条件设变形函数

微段以上部分荷载

微段以上外力势能：

lq例题：能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载.解：取一项时xdx

yxO57哈工大土木工程学院外力势能

应变能体系势能

由广义坐标非零解要求

由体系势能驻值条件误差5.88％

58哈工大土木工程学院取两项时变形能外力势能体系势能

59哈工大土木工程学院由势能的驻值条件由广义坐标非零解要求

60哈工大土木工程学院稳定方程最小根比精确解仅大0.01％显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅增加。用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。

61哈工大土木工程学院

FPlFPyxO例题：试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临界荷载.解：（1）假设挠曲线为抛物线AB62哈工大土木工程学院

（2）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载FH引起的挠曲线比精确解大22.0％

63哈工大土木工程学院

比精确解大1.3％

64哈工大土木工程学院

（3）假设挠曲线为正弦曲线与精确解完全重合，说明所设位移曲线就是失稳的位移曲线。65哈工大土木工程学院

例题：试求两端简支的变截面压杆的临界荷载。已知截面惯性矩为：解：根据边界位移条件设变形函数FPlyxO（1）取一项作为近似位移函数求得AB66哈工大土木工程学院

（2）取两项作为近似位移函数求得两次计算结果已经很接近，相对差值不到0.01，由此可以了解近似程度。67哈工大土木工程学院§16.4组合压杆的临界荷载由欧拉临界荷载计算公式可知：要提高临界荷载的数值，应加大截面惯性矩或减小计算长度。通过施加约束可以改变计算长度；通过分散截面面积可以增大截面惯性矩。利用组合结构可以达到增大惯性矩的目的。

由于承重的需要或构造上的原因而在工程施工中广为应用的组合压杆（如桥梁的上弦杆、厂房的双支柱、无线电桅杆和起重塔吊等），通常是由两个型钢（肢杆）用若干联接件相联组成的“空腹柱”，按其联接件形式分缀条式和缀板式两种。68哈工大土木工程学院缀条式：用角钢或小型槽钢与肢杆连成桁架式。缀条与肢杆的连接视为铰结。缀板式：用条形钢板将肢杆连成封闭刚架形式。缀板与肢杆的连接视为刚结。

缀合构件通常有两种形式：69哈工大土木工程学院组合压杆的横截面

yyxx当绕y-y

轴失稳时，临界荷载的计算与实腹杆相同。当绕x-x

轴失稳时，由于缀合构件的连接，截面惯性矩增大，但剪切变形也增大，使得临界荷载值相应下降。组合压杆稳定性分析的关键在于确定整体剪切变形对临界荷载的影响70哈工大土木工程学院弯矩产生的曲率

剪力产生的附加曲率

截面形状系数矩形截面为1.2圆形截面为1.11

一、剪切变形对临界荷载的影响微元体分析剪切变形71哈工大土木工程学院对两端铰支杆压杆（FR=0）

所以

FPFRyxO72哈工大土木工程学院为不计剪变临界欧拉力

剪力修正系数实体压杆中剪力对临界荷载的影响很小，可略去不计。但对组合压杆必须考虑剪切影响

73哈工大土木工程学院

二、缀条式组合压杆的临界荷载首先取压杆的一个节间分析

当剪切角不大时

通常肢杆的横截面面积远大于缀条的横截面面积，因此只需计入缀条的影响。相邻节间共用一对缀条，故计算时只需计算图中的一对横杆。

x74哈工大土木工程学院设

Ap---水平缀条截面积.xAq---倾斜缀条截面积.75哈工大土木工程学院若略去横杆影响，两侧都有缀条，则上式为

76哈工大土木工程学院若用r

代表两肢杆截面对整个截面形心轴x

的回转半径,即并且,一般α为30°～60°,故可取并引入长细比若采用换算长细比λh,则有上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式.

77哈工大土木工程学院

1/21/21/21/2三、缀板式组合压杆的临界荷载将缀板式组合压杆视为单跨多层刚架，近似认为肢杆由剪力作用引起的弯曲变形的反弯点位于相邻