考虑水平摩阻力的弹性地基分异计算

考虑水平摩阻力的弹性地基分异计算

用于分析winkler介质中有限的长梁的传统方法，如参数法、重叠法和变形能法，[1.2]。众多学者以此导出相应的计算公式并制成各种图表,在工程应用中起着重要的作用[3―5]。随着研究的不断深入,传统计算方法也不断得到补充和更新。文献[6―7]考虑了梁的剪切效应和土体非线性特征等影响因素,文献[8―10]则分别提出了DQEM法、修正刚度矩阵法和无网格局部PetrovGalerkin法等新的计算模式。这些研究成果都大大丰富了弹性地基梁的计算理论。弹性地基梁传统分析方法考虑地基与梁之间竖向变形协调,而对两者水平变形不协调导致的界面摩阻效应,一般认为对计算结果影响不大,可以忽略[1―2];而事实上,当梁与地基之间的接触较为粗糙时,界面摩阻效应的影响不能忽略[11―13]。不少学者对此进行了研究。文献得出了能够考虑水平摩阻力的弹性地基梁的部分解析解,但该解析解过于复杂,不便应用;文献采用杆系有限元法分析考虑水平摩阻力的弹性地基梁,可实现编程计算,但该法尚需假定满足边界条件的形函数;文献从结构矩阵位移分析法角度改进Winkler地基模型而得到考虑水平力作用的计算方法,其假设梁底地基切向力为线性分布的合理之处尚值商榷。为进一步促进弹性地基梁计算理论的发展,本文拟从分步计算的思路出发,考虑弹性地基梁竖向位移和水平位移的关系,采用分步计算方法求得考虑水平摩阻力的弹性地基梁的挠度及其内力分布。1计算模型的构建和分析思路1.1地基梁的变形类型本文主要研究弹性地基上的有限长梁计算,如不作特别说明,下述地基梁均指弹性地基上有限长梁,且作如下基本假定:1)地基梁属各向同性Euler-Bernouli梁范畴,其变形满足平截面假定和线弹性小变形假定。2)地基为具有水平和竖向反力的弹性支承体。其竖向受力和变形满足Winkler地基假定,即该点竖向反力与其沉陷成正比;水平反力则与梁底和地基间的相对位移成正比。3)地基梁在外荷载作用下,不产生纵横向耦合变形,其竖向位移和水平位移满足简单的几何关系。4)仅考虑地基梁竖向位移导致梁轴线拉伸引起的地基与梁之间的相对水平位移,不考虑梁体本身平动产生的位移。1.2地基反力系参数根据上述假定,竖向地基反力qz和水平向地基反力qx分别为:式中:kx、kz分别为水平方向和竖直方向的地基反力系数;u和w分别为梁在x方向和z方向的位移。由此建立弹性地基梁计算模型如图1所示。1.3弹性地基梁水平位移与竖向位移间的关系为简化计算,本文采用分步计算法,即首先不考虑摩阻力影响,计算此时竖向荷载作用下弹性地基梁的竖向位移;然后建立地基梁的水平位移与竖向位移之间的几何关系,求出相应的水平位移;求出各位移分量后,再利用式(1)求出水平方向和竖直方向地基反力,并作为荷载施加于弹性地基梁;最后,在所有荷载均知的情况下,即可求出梁任意截面的内力,并可根据内力重新计算其变形以及对地基梁进行强度和刚度分析。2在垂直负荷下，有限长梁的弯曲根据上述思路首先计算各种竖向荷载作用下弹性地基梁的挠度。2.1梁的抗弯刚度设均布荷载p作用下有限长梁挠度w为(图2):其中:β为无量纲系数,且有;EI为梁的抗弯刚度;b为梁的宽度;Q0、M0为文献中计算参数,且有:若取梁中点为坐标原点,根据对称性原则,只需对梁的右段进行研究,由式(2)可得:2.2梁右段挠度分段函数同前可得对称集中力F作用下有限长梁的挠度分段函数为(图3):当0<x<c时:当c<x<l-c时:当l-c<x<l时:其中,Q1、M1为计算参数,且有:同前取梁中点为坐标原点,对梁右段进行分析,可得挠度分段函数为:2.3部分挠度函数同前可得任意集中力F作用下有限长梁的挠度分段函数为(图4):当x<c时:当c<x<l时:当集中力位于梁中点时可取梁中点为坐标原点,根据对称性写出x≥0部分的挠度函数为:其中Q2、M2、Q3、M3、Q4、M4为计算参数,且有:2.4有限过载功能的局部分布同前可得局部均布荷载作用下有限长梁的挠度分段函数为(图5):当0<x<a时:当a<x<l/2时:其中Q5、M5为计算参数,且有:3单元水平位移和不定积分在竖向荷载作用下,梁体弯曲的同时产生拉伸变形,梁上各点将产生水平位移(图6);选取梁单元曲线长度ds,其在x轴上的投影为dx,则该单元水平位移du即为ds与dx之差,故有:根据二项式定理:当t较小时,有:利用式(15),可将式(14)化简为:则梁的水平位移为:式(17)为不定积分,其积分常数由已知的水平位移边界条件确定。3.2地基梁上荷载分布将求得的水平位移u(x)和竖向位移w(x)代入式(1),即可求得地基的水平摩阻力和垂直反力;由此可得地基梁上荷载分布如图7所示。由此可得任意截面m-m的内力为(图8):式中:xm为截面m-m的位置坐标;x1、x2为荷载p(x)的位置坐标,其他符号均见图8所示。由内力可重新计算弹性地基梁的挠度为:若考虑到弹性地基梁轴向变形和剪切变形对挠度计算的影响一般都很小,可忽略不计,则式(21)可简化为:4计算与分析4.1载作用下有限长梁的分析结果为验证分步计算法的可行性和合理性,选用文献中的算例进行计算。其中弹性地基梁上的荷载分布如图9所示,其主要计算参数如表1所示。利用前述竖向荷载作用下有限长梁的分析结果,采用分步计算法可得各结点的挠度w、剪力Q和弯矩M,并与文献杆系有限元法计算结果进行比较。其最终结果如表2和表3所示。由表2和表3结果可见,分步计算法所得弯矩和挠度均与文献杆系有限元法结果接近,表明本文计算是正确和可行的。然而,由于分步计算法不考虑弹性地基梁的纵横向耦合变形,未能考虑水平摩阻效应对剪力的影响,故无论软土或硬土,各节点剪力与不考虑摩阻效应的结果基本接近(误差在0.5%以内)。4.2kx对地基梁刚度和弯矩的影响为进一步探讨摩阻效应、水平向地基反力系数kx等对地基梁内力及挠度的影响,下面取两端自由的弹性地基梁,长度l=29m,宽度b=3.0m,高度h=1.0m,梁抗弯刚度EI=5.125×106kN·m2。梁中点作用一个集中荷载F=1000kN。kz=3.0×104kN/m3,kx=0、kx=3.0×103kN/m3、kx=3.0×104kN/m3、kx=3.0×105kN/m3、kx=3.0×106kN/m3和kx=3.0×107kN/m3。采用分步计算法进行比较分析如下。图10给出了不同kx下地基梁竖向挠度沿轴线的变化情况。由图10可见,随着kx的增加,梁的挠曲变形逐渐减小,但在梁端及其附近反而有所增大,其主要是由于水平摩阻力的存在导致梁的挠曲形态趋于平缓。图11为梁身弯矩随kx变化的关系曲线。显见,随着kx的增加,梁的弯矩逐渐减小,但在梁端附近反而略有增大,同理是由于水平摩阻力的存在导致地基梁刚度增大所致。此外,当kx>3.0×106kN/m3时,地基梁挠度和弯矩表现为突然急剧减小,其表明kx的取值对考虑水平摩阻力的地基梁计算有着显著影响,因此在实际工程中保证kx取值的正确非常重要。图12给出了不同kx下地基梁剪力沿轴线的变化。由图12可见,随着kx的增加,梁各点剪力均无甚变化。其原因是分步计算法不考虑地基梁的纵横向耦合变形,未能考虑水平摩阻效应对剪力的影响所致。5弹性地基有限长梁计算方法的选择(1)本文在假定地基为具有水平和竖向反力的弹性支承体的基础上,不考虑弹性地基梁的纵横向耦合变形,导出了考虑水平摩阻力的分步计算方法,为地基梁计算理论提供了一种新的计算思路和方法。(2)弹性地基梁与地基之间的界面摩阻力是普遍存在的。当地基较硬时,摩阻效应对地基梁挠度及内力的影响不容忽视,从工程的经济性原则出发工程设计应予