层状地基轴向受荷单桩的边界单元法奇异处理

层状地基轴向受荷单桩的边界单元法奇异处理

1桩-土作用研究桩基面是土木工程中常见的基本形式。目前，它被应用于线性理论的分析和计算。Poulos提出了以Mindlin解为基础的比较完整的弹性理论法来分析桩基础,随后Poulos和Davis又对该方法进行了系统的归纳和总结,给出了一系列图表,供设计使用。Muki和Sternberg提出了虚拟桩的概念来分析桩-土相互作用问题,并把该问题最终归结为第2类Fredholm积分方程的求解。Butterfield和Banerjee运用边界单元法来分析桩-土作用问题,通过引入桩表面的未知虚拟力分布函数(包括径向和竖向),根据桩-土变形协调条件建立桩-土共同作用的奇异积分方程,通过对奇异积分方程的求解,得出桩的轴力和位移。对于层状地基中的桩-土作用问题,国内外不少学者也进行了研究。在国外,Chin等和Lee等分别研究了2层地基中的桩基计算问题,Lee和Small运用有限层法来分析了层状地基中的桩基;在国内,金波等、艾智勇、王建华等也分别对层状地基中的桩-土相互作用问题进行了分析。运用边界元法对桩-土相互作用问题进行研究有其独特的优点:该方法只在边界上剖分单元,并通过基本解把域内未知量化为边界未知量来求解,这就使得自由度数目大大减少,而且由于基本解本身的奇异性特点,使得用边界元法解决奇异问题时的精度较高,但合理反映真实地基性状的基本解的选取和对其奇异性的处理是运用该方法分析问题成功的关键。天然地基往往呈层状分布,故本文以层状地基内部作用一竖向集中力时的广义Mindlin解作为边界单元法的基本解,运用边界元法来分析层状地基中的轴向受荷单桩,克服了以往边界元法只能分析均质地基中的桩基础的缺陷;另外,本文采用精度控制来自动划分奇异积分区间的方法来处理基本解的奇异性。在此基础上,编制了相应的计算程序,并进行了数值分析和计算,研究结果表明,该方法具有较快的计算速度和良好的计算精度。2桩-土位移接触及虚拟竖向位移如图1所示,层状地基中的一根轴向受荷圆形单桩,长度为L,半径为a,桩周围第i层土的弹性模量、泊松比、厚度分别为Esi、vsi、ΔHi。根据间接边界元法的原理,假定一个虚应力系统ψ,当这个虚应力系统作用在层状地基中时,它会产生一个相应的边界位移和应力,而且这个边界位移和应力应该与实际桩的边界位移和应力条件完全一样。假设桩杆的竖向虚应力为ψs,并且它在层状地基深度为h处沿桩杆边界均匀分布。由桩杆上的一个微量高度dh处的竖向虚应力引起点D(r,z)的竖向位移为dw1(r,z),它可通过由点荷载(ψsadθdh)引起竖向位移的积分获得式中:w(h,r1,z)为r=r1时w(h,r,z)的值;w(h,r,z)为竖向集中力作用下层状地基竖向位移的基本解,具体的求解过程和表达式可参考文献。整个桩杆的竖向虚应力在D(r,z)点处引起的竖向位移为假设在桩端底面上的点o′(λ,θ,L)处作用竖向虚应力ψb,同理可得由于桩端虚应力ψb作用而引起点D(r,z)的竖向位移:因此,由于桩杆和桩端的虚应力引起的点D(r,z)处的竖向位移为式(4)可以通过下列边界条件求解:在D(r,0)处,σz=τrz=0;在D(a,z)处,且0≤z≤L,W(a,z)=f1(z);在D(r,L)处,且0≤r≤a,W(r,L)=f1(L)=常数。上述边界条件中f1(z)是一个预先假设的桩表面的虚拟竖向位移,且f1(L)为当z=L时f1(z)的值。通过预先假定的桩-土位移边界条件,可以求出桩表面处的虚应力ψs和ψb,具体过程详见下一节。将相应的桩-土位移边界条件代入式(4),可得3单桩地震差分求解式(5)为层状地基中桩基础的精确积分方程,然而,由于基本解的复杂性,要想获得其解析解是不可能的,只能获得其数值解。把桩杆划分为n个相等的单元,桩端划分为m个圆环。对于桩杆的第i个单元,其竖向位移可以表示为式中:i=1,2,3,…,n。对于桩端,同理有:式中:i=1,2,3,…,m。式(6)、(7)中不同的Kij值可以通过简单的积分求得,其表达式如下:未知的虚应力为对于刚性单桩来说,在给定桩顶位移的情况下,其桩侧及桩端所有的竖向位移都是相等的,所以,通过式(13)可以求得假设的虚应力,进而可以获得该问题的解答,但对于可压缩性单桩来说,由于桩的压缩性的影响,各个单元的竖向位移是不相等的。对于一维桩杆,有:式中:Ep为桩的弹性模量;Pz为深度为z处的桩的轴向荷载,它可以由下式获得:由于W是有关z的微分函数,因此,可以把它展开成关于z的泰勒级数形式(忽略3阶以上的无穷小量),其形式如下:对于单元2到n-1的表达式,可以将式(16)、(17)相减得到:式中:当h→0时,则O(h3)将以h的3次幂的形式趋向于0,可得如下的差分表达式:式中:i=1,2,3,…,n-1。对于单元1,引进桩顶边界条件0W=1(预先假定的桩顶位移),则式(18)可写成:对于桩端单元n,由于考虑到桩的边界条件和最后形成的线性方程组解的唯一性,可以直接从式(17)得到差分表达式:将式(19)~(21)写成式(22)的矩阵形式:式中:Wi-1、Wi分别为第i个单元的顶部和底部竖向位移(i=1,2,,n);Pi-1、Pi分别为第i个单元顶部和底部的轴向作用力,且满足式(23):如果从式(22)中解得了Wi,那么第i个单元的位移可以表示为桩端的位移可以表达为对于可压缩性单桩来说,可以先假定桩是刚性的,通过式(13)求出桩周所有虚应力分布值;然后通过式(15)得到各个桩单元的荷载Pz,将Pz的值代入式(22),得到一组新的桩侧和桩底位移Wi′、Wb′;将Wi′、Wb′代入式(13),得到一组新的虚应力分布值,进而可得到一组新的Pz′的值;通过多次迭代,直到相邻2次Pz′的差值在给定的范围内,即可以获得可压缩性桩基础的解,具体的细节可以参考文献。4多层地基中2个点的积分值由于边界元法的基本解在力的作用点和计算点重合时是有奇异性的,因而对奇异性的处理是获得精确结果的关键。本文采用精度控制以自动划分奇异积分区间的方法来处理基本解的奇异性,具体如下:在式(8)~(11)中,当i≠j时,因为积分核是有界的,故可采用常规的32点高斯积分来求数值积分;当i=j时,积分核是无界的,可以先规定一个数值积分的误差上限,即控制精度,然后对积分方程中的核函数进行处理。核函数的处理步骤如下。(1)将核函数以奇异点为分界点分成2段。(2)将这2段分别利用常规的32点高斯积分进行第1次数值积分。(3)由于积分核在一个边界点有奇异性,所以在较大的积分区间上所得到的值与真实值有较大的误差,因此,必须细化有奇异性的区间。为此,对第2步中的2段再等分(即分4段),并将前后2次的差值与给定的控制精度进行比较。(4)如果前后2次的差值大于给定的控制精度,则必须对前面n段再进行等分(即分成2n段);可以肯定的是,在这2n段中有2n-2段的积分边界已经不存在奇异性问题,所以其积分值是满足要求的,只有在奇异点边的2段仍有奇异性。(5)重复计算第4步,只要这2个有奇异点的积分区间小到一定程度,其值在前后2次的积分中的差值总会满足给定的控制精度。为了验证本文理论及程序的正确性,本文首先对比分析了一些算例。对于弹性半无限体中的单桩问题,可以把弹性半无限体看成是许多层性质相同的土层,并且土层总厚度与桩长的比值很大(比如大于1000)。文献曾对该问题进行了研究,这里为了对比其结果,对桩顶刚度(P/GDW)和桩周剪应力的分布进行了计算分析,结果如图2、3所示。图2中,W为桩顶位移,D为桩杆直径,G为桩周土的剪切模量,L为桩长,P为桩顶荷载,桩的压缩性为K=Ep/G,土体的泊松比取sv=0.5;图3中,τ为桩周的剪应力,且L/D=80,其他参数同图2。从图2、3中可以看出,本文的结果与文献的结果吻合得比较好,这就证明了本文理论和程序的正确性。图2还表明,对于不同的压缩性,在L/D小于20的情况下,桩顶刚度曲线几乎是重合的。这说明,桩的压缩性对给定的桩顶位移下的桩顶荷载的影响是可以忽略的。其实,实际工程中也是这样的,对于这样的短桩,桩本身所能承担的荷载相对来说是比较小的,且又由于桩长较小,因此,引起的桩的压缩量很小,达到了可以忽略的程度。对于层状地基中的单桩问题,本文与有限层法的算例进行了对比分析,结果如图4所示。算例中,层状地基由3层土组成,且每层土体的厚度分别为L、H、L-H;土体的弹性模量满足:Es1:Es2:Es3:=1:10:1;土体的泊松比均为0.499。L/D=25,桩的弹性模量Ep=1000Es1。由图4可见,本文方法与有限层方法的计算结果是一致的,这就再次验证了本文理论和程序的正确性。为了进一步研究和分析多层地基土中的单桩问题,本文设计了一个5层地基中的单桩分析算例。算例中,每层土的厚度满足:ΔH1:ΔH2:ΔH3ΔH4:ΔH5=0.2L:0.3L:0.1L:0.4L:L;每层土的弹性模量满足:Es1:Es2:Es3:Es4:Es5=2:3:2:1:4;每层土的泊松比均为0.4;桩的压缩性为K=Ep/Es1=10000,计算结果如图5、6所示。从图5可知,对于压缩性比较大的桩来说,桩顶刚度随着桩的长径比的增大而增大。从图6可知,土体的非均匀性对桩周剪应力的分布有明显的影响