双材料叠合悬臂梁在自由端受集中力作用时的理论解

双材料叠合悬臂梁在自由端受集中力作用时的理论解

单元梁广泛应用于土木工程中，如车辆的单元弹簧、电源设计中的管道、桥梁等。对单元梁的强度和变形具有理论和实际意义。基于材料力学的梁理论,文献得到了简支叠合梁在纯弯曲变形时的弯曲正应力并与实验结果进行了比较,文献对受集中力作用的简支叠合梁在横力弯曲时的弯曲正应力进行了分析和实验,它们都得到了弯曲正应力沿梁的高度线性分布的结论。根据有2个广义位移的梁理论,文献研究了叠合梁的层间接触压力的分布情况,其中最新的文献研究表明:①接触压力与上、下层的弯曲刚度之比有关;②叠合梁受集中力作用时,在集中力作用的附近区域存在着接触压力,并随着离集中力作用处距离的增大,接触压力很快几乎趋于零;③叠合梁受均布载荷作用时,除了在梁的两端附近区域外,接触压力几乎是一常量。文献根据梁理论,研究了受均布载荷作用的简支叠合梁的层间接触压力的分布情况。目前,有关叠合梁的理论解的研究成果很少,本文采用弹性力学的应力函数法,求解双材料叠合悬臂梁在自由端受集中力作用时的理论解,并与有限元数值模拟结果进行比较。1变量y面将2根长度和宽度相同、高度和材料不同的矩形截面梁相互自然地叠合在一起,右端固支,左端自由并受集中力F作用,如图1所示。叠合梁的界面连续条件为:(v1)y=0=(v2)y=0(1)(σy1)y=0=(σy2)y=0,(τxy1)y=0=(τxy2)y=0,(τxy1)y=0≤f(σy1)y=0(2)力边界条件为:(σy1)y=-h1=0,(τxy1)y=-h1=0(3)(σy2)y=h2=0,(τxy2)y=h2=0(4)(σxi)x=0=0,∫0-h1(τxy1)x=0bdy+∫h20(τxy2)x=0bdy=-F(5)位移边界条件为:(ui)x=ly=0=0,(vi)x=ly=0=0,(∂vi∂x)x=ly=0=0(6)或(ui)x=ly=0=0,(vi)x=ly=0=0,(∂ui∂y)x=ly=0=0(7)其中,(1)式～(7)式的下标i=1,2分别表示上层和下层;f为上、下层之间的摩擦系数;b为梁的宽度。2应力函数的拟合应力分量可用应力函数表示为:σx=∂2ϕ∂y2,σy=∂2ϕ∂x2,τxy=-∂2ϕ∂x∂y(8)其中,应力函数ϕ满足双调和方程:∂4ϕ∂x4+2∂4ϕ∂x2∂y2+∂4ϕ∂y4=0(9)位移与应力的关系为:∂u∂x=1E(σx-νσy),∂v∂y=1E(σy-νσx),∂u∂y+∂v∂x=2(1+ν)Eτxy(10)其中,E和ν分别为弹性模量和泊松比。3应力分量的计算采用半逆解法求解。由材料力学方法可知,叠合梁上、下层中的弯曲正应力σxi沿梁高分别是线性变化的,故假设:σxi=x(Ai1y+Ai2)(11)其中,Ai1和Ai2(i=1,2)为待定常数。显然,边界条件(5)式中的(σxi)x=0=0自然满足。将(11)式代入(8)式中的第一式后,积分可得应力函数为:ϕi=x(16Ai1y3+12Ai2y2)+fi1(x)y+fi2(x)(12)其中,fi1(x)和fi2(x)是x的待定函数。将(12)式代入(9)式,可求得:fi1(x)=Ai3x3+Ai4x2+Ai5x,fi2(x)=Ai6x3+Ai7x2(13)其中,Ai3～Ai7(i=1,2)为积分常数;fi1(x)中略去了不影响应力分量的常数项;fi2(x)中略去了不影响应力分量的一次项和常数项。将(13)式代入(12)式得到应力函数为:ϕi=x(16Ai1y3+12Ai2y2)+(Ai3x3+Ai4x2+Ai5x)y+Ai6x3+Ai7x2(14)将(14)式代入(8)式可得应力分量为:σxi=x(Ai1y+Ai2)‚σyi=(6Ai3x+2Ai4)y+6Ai6x+2Ai7‚τxyi=-12Ai1y2-Ai2y-3Ai3x2-2Ai4x-Ai5(15)将(15)式代入(2)～(4)式后,可求得:Ai2=(-1)i-112hiAi1,Ai3=Ai4=Ai5=Ai6=Ai7=0(16)将(16)式代入(15)式,得到:σxi=12Ai1x[2y+(-1)i-1hi]‚σyi=0‚τxyi=-12Ai1y[y+(-1)i-1hi](17)将(17)式代入(10)式,可求得位移分量为:ui=112EiAi1{3x2[2y+(-1)i-1hi]-(2+νi)y2[2y+(-1)i-13hi]}+ωiy+u0i‚vi=-16EiAi1x{x2+3νiy[y+(-1)i-1hi]}-ωix+v0i(18)其中,ωi、u0i和v0i(i=1,2)为待定常数。将(17)式代入(5)式中的最后一式、(18)式代入(1)式和(6)式或(7)式,可求得:Ai1=-EiFE1Ι1+E2Ι2,ωi=Fl22(E1Ι1+E2Ι2),u0i=(-1)i-1Fl2hi4(E1Ι1+E2Ι2),v0i=Fl33(E1Ι1+E2Ι2)(19)其中,Ii=bh3i/12。将(18)式代入(6)式中的第三式或(7)式中的第三式,可得到同样的关系式。将(19)式代入(17)式和(18)式,可得应力分量为:σxi=-EiF2(E1Ι1+E2Ι2)x[2y+(-1)i-1hi]‚σyi=0‚τxyi=EiF2(E1Ι1+E2Ι2)y[y+(-1)i-1hi](20)位移分量为:ui=F12(E1Ι1+E2Ι2){3(l2-x2)[2y+(-1)i-1hi]+(2+νi)y2[2y+(-1)i-13hi]}‚vi=F6(E1Ι1+E2Ι2){(l-x)2(2l+x)+3νixy[y+(-1)i-1hi]}(21)由(20)式可见,在叠合梁的任一横截面上,上、下层中的弯曲应力σxi沿高度分别按线性规律变化,切应力τxyi沿高度分别按抛物线规律变化;当梁在自由端面的受力是按(20)式中第三式的形式分布时,在上、下层之间不存在接触压力σyi,当梁在自由端面的受力不是按(20)式中第三式的形式分布时,仅在梁的自由端附近的上、下层之间会产生接触压力,而在离自由端较远处将不存在接触压力,这与文献的结果基本吻合。由(21)式中第一式可见,由于ui是y的三次函数,因此变形后上、下层中的横截面不再保持为平面。在(20)式和(21)式中取E2=0即可得到单根梁情况下的应力和位移。如在(20)式中取E2=0,并将y换成y-h1/2,便可得到:σx1=-FΙ1xy,σy1=0,τxy1=F2Ι1(y2-h214)(22)(22)式与文献的结果相同。4叠合梁在x横截面上的弯矩和剪力m将(20)式代入:FΝi=(-1)i∫(-1)ihi0σxidy,Μi=(-1)i∫(-1)ihi0σxiydy,FQi=(-1)i∫(-1)ihi0τxyidy(23)可求得上、下层在x横截面上的轴力、弯矩和剪力分别为:FΝi=0,Μi=EiΙiE1Ι1+E2Ι2Μ,FQi=EiΙiE1Ι1+E2Ι2FQ(24)其中,M=-Fx和FQ=-F分别为叠合梁在x横截面上的弯矩和剪力。由(24)式可见,上、下层中的弯矩和剪力是按抗弯刚度分配的,即抗弯刚度大的层所承担的弯矩和剪力大。此外,在梁的自由端面,当上层所受的外力之和大于或等于FE1I1/(E1I1+E2I2)时,叠合梁在受力变形时,上、下层之间始终保持相互接触,上、下层中的应力和位移分别按(20)式和(21)式变化;当上层所受的外力之和小于FE1I1/(E1I1+E2I2)时,叠合梁在受力变形时,上、下层之间将会相互分离,各自独立变形,下层的变形大于上层的变形,上、下层中的应力和位移不再满足(20)式和(21)式,而是满足单根梁情况下的应力和位移。5单元密度和接触对对图1所示的叠合梁采用有限元分析软件Ansys进行数值分析。算例1取叠合梁的长度l=180mm,宽度b=24mm。上层材料为钢,其弹性模量E1=206GPa,泊松比ν1=0.3。下层材料为铝,其弹性模量E2=70GPa,泊松比ν2=0.3。上、下层的高度为h1=h2=24mm,集中力F=2.5kN。采用8节点带宽度的实体单元PLANE82,共划分了960个3mm×3mm的单元,在上、下层之间设置接触对,上层的下表面设置为目标面,下层的上表面设置为接触面,分别取摩擦系数为f=0和f=0.17进行计算,计算结果分别见表1和表2所列。可以看出,理论值与取摩擦系数f=0的有限元值吻合较好;正应力的理论值与有限元值吻合较好。计算表明,本文得到的理论解是正确的。算例2算例1中取h1=12mm,其余参数不变。上、下层之间的挤压应力如图2所示。有限元分析时,共划分了720个3mm×3mm的单元,取摩擦系数f=0,上、下层之间的接触处理与算例1相同。图2中还给出了算例1中摩擦系数f=0时上、下层之间的挤压应力。由图2可以看出,上、下层之间的挤压应力的理论值与有限元值在自由端附近相差较大,在离自由端稍远处,两者吻合较好;自由端附近上、下层之间的挤压应力