基于sdre的空天飞行器控制设计

基于sdre的空天飞行器控制设计

0非线性预测控制律设计随着空间技术的快速发展，作为新一代空间往返飞机的空天飞机引起了各国的高度关注。由于飞行环境变化大,飞行器气动参数受飞行高度和速度的影响变化剧烈,空天飞行器的高超声速无动力再入返回对飞控系统的稳定性和控制精度提出了较高的要求。近年来,国内外对空天飞行器先进非线性控制系统进行了广泛研究。非线性预测控制是一种基于模型的优化控制策略,根据性能指标预测未来一段时间内的最优控制律,已经在化工、冶金等复杂工业工程中得到广泛的应用。文献对有限时间和无限时间预测控制进行了比较。文献提出一种双模态的预测控制方式。然而非线性预测控制算法计算量大,耗时长,往往不能满足系统实时性要求,这也是非线性预测控制在飞控等快时变系统上应用较少的主要原因。文献针对一类非线性系统提出了基于SDRE(state-dependentRiccatiequation)的优化控制策略,简化了非线性HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程的求解,避免了两点边值的约束问题。虽然理论上SDRE只是一种次优控制,但其设计过程简单,计算量小,实时性强,在非线性控制中得到较为广泛的应用。但是SDRE只能保证系统平衡点领域内闭环系统渐进稳定。本文考虑的是基于SDRE的非线性预测控制问题,首先将非线性方程写成基于系统状态的被控形式,通过SDRE方程求解无限时间性能指标的预测控制律,然后根据SDRE构造有限时间预测控制的末端项,反复在线计算控制律并应用到被控对象中,形成的闭环系统具有一定的稳定性。最后通过空天飞行器飞行姿态的预测控制律设计的仿真算例,验证了该控制方法的有效性。1基于约束的预测控制考虑一类仿射非线性系统˙x=f(x)+g(x)u(1)式中,状态变量x∈Rn,控制变量u∈Rm,输出变量y∈Rm,f(0)=0。考虑具有如下形式的有限时间性能指标J(t,x(t),u(t))=12∫ΤtF(x(τ),u(τ))dτ+E(x(Τ))(2)式中F(x(t),u(t))=xΤ(t)Qx(t)+uΤ(t)Ru(t)(3)Q、R为正定对称权阵,T为预测时间。末端性能指标E(x(t))是一个连续可微的函数,E(0)=0,且对任意x(t)≠0,有E(x(t))>0。在t时刻,性能指标(2)的优化问题可以表示为minuJ(t,x(t),u(t))(4)对应约束条件u(τ)∈U(τ∈[tt+Τ])x(t+Τ)∈Ω(5)式中,Ω为系统状态末端域。通常,既有稳定性要求又有最优性要求的问题只能采用无限预测时间的预测控制律,但其计算过程复杂,计算量大,很难得到实际应用。因此我们希望用有限时间的预测控制来代替无限时间的预测控制,在减少计算量同时保证系统稳定性。有限时间预测控制的稳定性可以通过对系统末端状态变量加以一定的约束条件,并构造相应的性能指标末端项来保证。文献提出一种基于CLF(controlLyapunovfunction)函数设计的控制律,通过选择合适的CLF函数,若使其沿系统状态轨迹的导数保持负定,则设计的控制律使得闭环系统稳定。定义1对于输入受约束u∈U的被控对象(1),如果存在一个正定有界的连续可微函数V,若对任意x≠0,满足infu∈U{∂V∂x(f(x)+g(x)u)}≤-W(x)(6)式中,W(x)为连续正定函数。则V称为CLF(controlLyapunovfunction)2基于系统状态的riccti方程考虑具有如下形式的无限时间性能指标J(t)=12∫∞tL(x,u)dτ(7)式中L(x,u)=xΤQ(x)x+uΤR(x)u权阵Q(x)≥0∈Rn×n‚R(x)>0∈Rm×m记J*=minuJ(t,x(t),u(t))(8)无限时间的非线性规划问题可以通过如下HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)偏微分方程求解0=min{12xΤQ(x)x+J*Τ∂xf(x)-12J*Τ∂xg(x)R-1gΤ(x)J*∂x}(9)式中u(x)=-R-1gΤ(x)J*∂x(10)对于非线性系统来说,式(4)求解过程复杂,计算量大,往往很难求得解析解。基于系统状态的Riccati方程(SDRE)可以看成线性LQR方法在非线性控制中的推广,通过将非线性方程写成基于系统状态的被控形式,结合性能指标中权值的选取设计最优控制律,从而实现非线性系统的优化控制。首先将被控对象(1)转化为SDC(state-dependentcoefficient)形式˙x=A(x)x+g(x)u(11)其中A(x)=f(x)x(12)从上式可以看出,A(x)的选取并不唯一,因此SDRE只是一种次优控制。文献对式(11)的可控问题进行了详细的分析,这里只引用如下定义。定义2如果系统(7)满足(A(x),g(x))在状态域X内点点可控,则称系统(11)是可控的。根据式(11)设计优化控制律u(x)=-Κ(x)x=-R-1(x)gΤ(x)Ρ(x)x(13)式中,P(x)为满足如下SDRE方程的正定解。AΤ(x)Ρ(x)+Ρ(x)A(x)+Q(x)-Ρ(x)g(x)R-1(x)gΤ(x)Ρ(x)=0(14)引理1对于一类非线性系统(1),如果能写成SDC形式(11),并且在原点附近的一个领域内满足可控条件,,则满足式(13)和(14)的控制律u(x)使得闭环系统在原点处局部渐进稳定。3非线性预测控制律从前面的分析可以看到,有限时间预测控制的稳定性需要选择合适的性能指标末端项,而SDFRE正是对非线性系统无限时间性能指标的一种有效逼近,但SDRE只能保证在平衡点附近的一个区域内闭环系统稳定,因此本文将预测控制和SDRE两种方法结合起来,通过SDRE构造预测控制的末端项(CLF),从而保证了有限时间预测控制闭环系统的稳定性。具体设计步骤如下:(Ⅰ)将被控对象(1)转化为可控的SDC形式(Ⅱ)选择合适的权阵,通过式(14)得到对称正定阵P。(Ⅲ)选择有限时间性能指标中的系统状态末端项E(x(Τ))=12xΤ(Τ)Ρ(x)x(Τ)(Ⅳ)根据式(2)求得当前时刻非线性系统预测控制律u*(t)。(Ⅴ)u*(t)作用于当前时刻(Ⅵ)根据下一时刻t+Δt系统的状态,重复上一步的步骤,如此循环下去。定理1对于一类非线性被控系统(1),上述有限时间预测控制律可以使得闭环系统保持稳定。证明根据文献E(x(Τ))=12xΤ(Τ)Ρ(x)x(Τ)(15)在原点附近的领域内是一个CLF函数。记J*(x(t))=12∫t+ΤtL(x*(τ),u*(τ))dτ+E(x*(t+Τ))(16)根据动态规划理论J(x(t+Δt))=12∫t+Δtt+Δt+ΤL(x(τ),u(τ))dτ+E(x(t+Δt+Τ))=12∫t+Δtt+ΤL(x(τ),u(τ))dτ+∫t+Τt+Δt+ΤL(x(τ),u(τ))dτ+E(x(t+Δt+Τ))=J*(x(t))-E(x*(t+Τ))+E(x(t+Δt+Τ))-12∫tt+ΔtL(x*(τ),u*(τ))dτ+∫t+Τt+Δt+ΤL(x(τ),u(τ))dτ≤J*(x(t))-E(x*(t+Τ))+E(x(t+Δt+Τ))-12∫tt+ΔtL(x*(τ),u*(τ))dτ≈J*(x(t))+E˙(x(t+Τ))Δt-12∫tt+ΔtL(x*(τ),u*(τ))dτ根据定义1,当Δt→0时J˙=limΔt→0J(x(t+Δt))-J*(x(t))Δt=-(12L(x*(τ),u*(τ))+W(x))≤0有限时间的预测性能指标随时间递减,因此闭环系统稳定。证毕4空天飞机的飞行动机控制理论的设计4.1气动模型及参数空天飞行器姿态运动方程表示如下α˙=q-tanβ(pcosα+rsinα)+1mVcosβ(-L+mgcosγcosμ)(17)β˙=-rcosα+psinα+1mV(Ycosβ+mgcosγsinμ)(18)μ˙=secβ(pcosα+rsinα)-gVcosγcosμtanβ+LmV(tanγsinμ+tanβ)+YmV(tanγcosμcosβ)(19)p˙=l+(Ιyy-Ιzz)qrΙxx(20)q˙=m+(Ιzz-Ιxx)prΙyy(21)r˙=n+(Ιxx-Ιyy)pqΙzz(22)式中,α、β和μ为飞行器的迎角、偏航角和航迹倾斜角,p、q和r为飞行器的滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度。Ixx、Iyy和Izz为飞行器的惯性矩。D、L和Y分别为飞行器的阻力、升力和侧力,l、m和n为飞行器的滚转力矩、俯仰力矩和偏航力矩,表示为D=q¯SrefCD(23)L=q¯SrefCL(24)Y=q¯SrefCY(25)l=q¯bSrefCl(26)m=q¯cSrefCm-xcg(-Dsinα-Lcosα)(27)n=q¯bSrefCn+xcgY(28)式中,动压q¯=0.5ρV2‚ρ=ρ0e[-(r-R)/h0]为空气密度,R为地球半径,ρ0为海平面处的大气密度,h0为参考高度。S为飞行器翼面的参考面积,b为飞行器的翼展,c为飞行器平均气动弦长。CD、CL和CY为飞行器阻力系数、升力系数和侧力系数,它们是关于迎角α以及马赫数M的函数。Cl、Cm和Cn为飞行器滚转力矩系数、俯仰力矩和偏航力矩系数,它们是关于α,M,p,q,r以及飞行器操纵舵面δa,δe,δr的函数。飞行器模型和气动参数来自NASA的报告。飞行器质量为63503kg,机翼参考面积334.73m2。下面仅给出马赫数Mα=10,迎角α=-1°～45°情况下的阻力系数和升力系数的曲线图如图1、2所示。4.2权值阵的设计根据第2节的内容,选择系统状态变量x=[αβμpqr]Τ控制变量选为A(x)A(x)=[a110a13a141a160a22a23a240a26a31a32a33a340a3600000a46000a54000000a650]g(x)=[000000000b41000b52000b63]式中a11=-q¯SrefCLmVαcosβa13=gcosγcosμVμcosβa14=-tanβcosαa15=-tanβsinαa22=q¯SrefCYcosβmVβa23=gcosγsinμVμa24=sinαa26=-cosαa31=(tanγsinμ+tanβ)LmVαa32=YtanγcosμcosβmVβa33=-gcosγcosμtanβVμa34=secβcosαa36=secβsinαa46=(Ιyy-Ιzz)qΙxxa54=(Ιzz-Ιxx)rΙyya65=(Ιxx-Ιyy)pΙzzb41=1Ιxxb52=1Ιyyb63=1Ιzz根据文献,可检测A(x),g(x)上述,满足可控条件。权值阵设为Q(x)=[q1(x)Ι3×303×303×3q2(x)Ι3×3]R(x)=r(x)Ι3×3式中,q1(x)、q2(x)以及r(x)为设计参数。最后飞行器控制舵面可以由下式求解[δaδeδr]=G-1(⋅)[lmn]式中,G(·)构造如下g11=q¯bSrefCl,δaΙxxg12=q¯bSrefCl,δeΙxxg13=q¯bSrefCl,δrΙxxg21=q¯cSrefCm,δaΙyyg22=q¯cSrefCm,δeΙyyg23=q¯cSrefCm,δrΙyyg31=q¯cSrefCn,δaΙzzg32=q¯cSrefCn,δeΙzzg33=q¯cSrefCn,δrΙzz4.3基于lqr的预测控制本文假设空天飞行器无动力再入飞行,飞行速度为3000m/s,飞行高度为35km。飞行器初始姿态为α=5°,β=1°,μ=8°,p=q=r=0,姿态指令信号为αc=8°,βc=0°,μc=10°。并假设舵面限幅器限幅范围为±30°。选择q