第四章 环境统计的描述性统计学

张宝林

内蒙古师范大学化学与环境科学学院环境统计课程主要内容第一章绪论第二章环境统计调查和数据整理第三章环境统计的概率论基础第四章环境统计的描述性统计学第五章环境统计的推断性统计学第六章常用多元统计分析及其软件实现第七章地统计学简介第四章环境统计的描述性统计学收集了感兴趣的数据集，如何弄清它的意义？整理和总结，使其易于理解。数据直观形象的图表和描述数据某种性质的数值量度，依赖于要描述的数据类型（定量的或定性的）。第四章环境统计的描述性统计学一旦数据被收集后，我们必须在它们中寻找所包含的信息。在数据文件中可以直接看到数据，但是如果数据很多，我们无法全部理解。必须用一定的方法使我们能够从数据中提取信息，并转化成可用的形式。数据分析通常包括图、表和计算。三者均包含一定程度的数据简化。如计算平均值，10个女孩的年龄求平均，10个数字变成了一个。简化使得数据理解和从数据中提取新型信息变得容易多了。第四章环境统计的描述性统计学简化的不利之处，，不能够再恢复最初的观测数据，当我们分析数据时，几乎总会丢失某些信息，好的统计学家在这2个相互矛盾的考虑中寻求平衡。强调重要信息而忽略噪音，同时不想丢失感兴趣的细节。（足球比赛的结果和过程）。如何描述数据通常依赖于我们进行怎样的分析-即在哪里用它、由谁用，目的是什么？第四章环境统计的描述性统计学描述性统计问题4要素感兴趣的总体或样本被研究的一个或多个变量（总体或样本单位的特征）表格、图形或者数字概括工具确定数据类型推断性统计问题5要素感兴趣的总体被研究的一个或多个变量（实验单位特征）实验单位样本基于包含在样本中的信息对总体的推断推断的可靠性度量第四章环境统计的描述性统计学统计图已经有200多年历史了。但出现图的历史要远远晚于其它重要的数学发现。最初，图非常罕见，人工绘制，很不精确。现在，计算机软件，作图简单而准确，很少手工画图。过多依赖计算机，可能会出现坏图。大众媒体中，报纸新闻杂志和电视，图代表的信息大量出现。第四章环境统计的描述性统计学图的种类最简单的，根据一个变量概括数据，如性别、年龄或IQ，只包含数据文件中的一列。较复杂的图根据2个变量概括数据，包含数据的2列。三个或多的变量作图比较困难。统计图是用点、线、面、体来形象地表达数量资料的1种方式，常用的统计图有条图(棒图)、圆图(饼图)、统计地图、线图、直方图、散点图等。统计图的种类很多，应根据资料的类型和目的选用合适的统计图。定性资料可选用的统计图有条图、圆图、统计地图等；定量资料可选用的统计图有直方图(或多边图)、普通线图、半对数线图、散点图等。不同的统计图，以不同的方式或姿态来形象化地表达资料。因此，掌握各种统计图的特征，有助于正确选用统计图第四章环境统计的描述性统计学作图的主要目的：帮助研究者从数据中提取信息帮助把信息传递给别人。第四章环境统计的描述性统计学第一节描述定性数据的图形法和数值法第二节描述定量数据的图形法第三节描述定量数据的数值方法第四节描述统计的SAS实现第一节描述定性数据的图形法和数值法

在描述定性观测值时需要的概念类：每个观测值落入一类并且只能落入一类（或组），给出落入每一类的观测值个数或相对于观测值总数的比例。对给定的类，类或组的频数是指落入这个类中的观测值的个数；对给定的类，类或组的相对频率是指落入这个类中的观测值个数相对于观测值总数的比例。第一节描述定性数据的图形法和数值法

1977年与能源有关的死亡事故原因的相对频率类（原因）频数（事故数）相对频率（比例）煤矿坍塌70.156溃坝40.089煤气爆炸280.622闪电10.022核反应堆10.022燃油火灾40.089总计451.000第一节描述定性数据的图形法和数值法

定性数据的描述常用条形图和饼图。第一节描述定性数据的图形法和数值法

条形图

用等宽长条的长短或高低表示按某一研究指标划分属性种类或等级的次数或频率分布。如果只涉及一项指标，则采用单式长条图；如果涉及两个或两个以上的指标，则采用复式长条图。第一节描述定性数据的图形法和数值法

条形图

在绘制条形图时，应注意以下几点：（1）纵轴尺度从“0”开始，间隔相等，标明所表示指标的尺度及单位。如果不是从0开始，会夸大。（2）横轴是长条图的共同基线，应标明各长条的内容。长条的宽度要相等，间隔相同。间隔的宽度可与长条宽度相同或者是其一半。（3）在绘制复式长条图时，将同一属性种类、等级的两个或两个以上指标的长条绘制在一起，各长条所表示的指标用图例说明，同一属性种类、等级的各长条间不留间隔。第一节描述定性数据的图形法和数值法

条形图

易于显示变量每一个取值中的观测数，在显示总的观测数时却不好。易于显示整个的观测数和变量的第一个类别的观测数，显示其他的类别则不好。第一节描述定性数据的图形法和数值法

条形图

为2个分类变量作图72人，32人选听了文学课后，6人犯了新罪；40人选去了监狱，18人在释放后犯了新罪。堆积条形图清楚表明听课的人再次犯罪的人较少，到底有多少不是很清楚，因为不是从0开始第一节描述定性数据的图形法和数值法

条形图

为2个分类变量作图72人，32人选听了文学课后，6人犯了新罪；40人选去了监狱，18人在释放后犯了新罪。簇状条形图都从0开始，易看到多少人犯了新罪，但不容易看出多少人选择了听课第一节描述定性数据的图形法和数值法

条形图

为2个分类变量作图72人，32人选听了文学课后，6人犯了新罪；40人选去了监狱，18人在释放后犯了新罪。百分比堆积条形图听课的犯人比进监狱的犯人再次犯罪的比例少，给犯人讲课是不是减少犯罪的一种有效途径？第一节描述定性数据的图形法和数值法

饼（圆）图用于表示计数资料、质量性状资料或半定量（等级）资料的构成比。所谓构成比，就是各类别、等级的观测值个数(次数)与观测值总个数(样本含量)的百分比。把园图的全面积看成100%，按各类别、等级的构成比将园面积分成若干分，以扇形面积的大小表分别表示各类别、等级的比例。第一节描述定性数据的图形法和数值法饼（圆）图分类变量（Categoricalvariable）是指它的任2个观测值或者相同，或者不同。观测值不能够被排序，一个观测值并不比另一个多什么。如性别，男和女。第一节描述定性数据的图形法和数值法饼（圆）图。72名犯人服刑后1-2年内是否犯新罪，24人犯了新罪。易于显示每一组的相对大小，表示分类变量较好，因其取值没有次序。（园饼的一块移到其它位置不改变图的含义）用于表示每一组有多少的观测数时不是很好。组较多时也不是很好。第一节描述定性数据的图形法和数值法

饼（圆）图绘制园图时，应注意以下三点：（1）圆图每3.6°园心角所对应的扇形面积为1%。（2）圆图上各部分按资料顺序或大小顺序，以时钟9时或12时为起点，顺时针方向排列。（3）圆图中各部分用线条分开，注明简要文字及百分比。第一节描述定性数据的图形法和数值法

帕雷托图将定性变量的类或组按照高度从左向右排列的条形图。在过程和质量控制中常用。意大利经济学家第一节描述定性数据的图形法和数值法

统计地图第二节描述定量数据的图形法

定量数据是由有某种意义的数值标度的数据组成。用于描述、总结和检测数据，常采用点图、茎叶图和直方图。第二节描述定量数据的图形法

点线图（lineplot）优点：直观看到数据的分布随变量的取值变化（疏密程度）；简化数据，信息无损失。缺点：不适于大数据集第二节描述定量数据的图形法

点线图（lineplot）水平轴表示定量变量。数据集中每次测量的数值用位于水平轴上的点表示。当数据重复时，点放在另一点之上，在个数值位置形成一个柱。第二节描述定量数据的图形法

茎叶图茎为测量值小数点左面部分，叶是剩下的小数点右面的部分。观测值很多时效果不好。第二节描述定量数据的图形法

茎叶图构造茎叶图的步骤：1把数据集中的每一个观测值分为茎、叶2部分；2将茎依次排成一列，从最小的茎开始到最大的茎结束；3处理整个数据集，把每一观测值的叶放在恰当的行上，最好升序排列。第二节描述定量数据的图形法

直方图（Histogram）英国统计学家KarlPearson1895年在脚注里做了定义。根据变量的取值范围来显示观测数的最常用的图。变量的取值被分成了区间，通常有相同的长度，每一区间内的观测数用矩形来表示。观测数？直方图的形状第二节描述定量数据的图形法

直方图构造直方图的步骤：1计算极差；2把极差分成5-20个组。最小的组界比最小值小3计算组频数4计算组相对频率5作图

确定直方图中组的个数数据集中观测值的个数组的个数少于255-625-507-14多于5015-20第二节描述定量数据的图形法

盒形图1以画在上下四分位数的直线为边界画出一个长方形，在盒子中以直线标出中位数。2将距离每一关键点1.5IRQ处的点记作数据的内篱笆，连接关键点和内篱笆；3外篱笆3IRQ。第二节描述定量数据的图形法

做图：优秀的标准（1983）图优性是指：在最短的时间内用最少的笔墨在最小的空间里给观众最多的思想第二节描述定量数据的图形法

有史以来最好的一幅统计图：法国工程师CharlesJosephMinaral1861年所作。显示了拿破仑军队在俄国的可怕命运（422000变成1000人）。展示了军队的大小、位置、方向、撤退时的气温。第三节描述定量数据的数值方法

数值描述性度量是由数据集计算得到的数值，常包括：中心趋势度量：帮助确定相对频率分布中心位置的度量；变异的度量：围绕中心波动的度量；相对位置的度量：描述数据集中一个观测值相对位置的度量。第三节描述定量数据的数值方法

中心趋势度量：算数平均、中位数和众数；变异的度量：极差、方差和标准差；相对位置的度量：百分位数和Z得分。第三节描述定量数据的数值方法1随机变量2误差3总体和个体4样本5概率与频率6样本的频数分布7参数和统计量8正态分布第三节描述定量数据的数值方法1随机变量随机变量（randomvariable）指取值不能事先确定的观察结果，通常简称为变量。随机变量有一个共同的特点是不能用一个常数来表示，而且理论上讲，每个变量的取值服从特定的概率分布。随机变量可分为两种类型：离散型变量和连续型变量。第三节描述定量数据的数值方法2误差误差（error）指实际观察值与观察真值之差、样本指标与总体指标之差。误差可分为系统误差和随机误差，两种误差的区别见表1-1。第三节描述定量数据的数值方法3总体和个体总体：研究对象的所有可能的观测结果成为总体。个体：总体中的每一个观测单元。第三节描述定量数据的数值方法4样本从总体中随机抽取部分观察单位，其测量结果的集合称为样本（sample）。样本应具有代表性。所谓有代表性的样本，是指用随机抽样方法获得的样本。

如果有一桶豆子，有红色、有白色．红色的豆子到底有多少呢?数豆子？抓豆子？第三节描述定量数据的数值方法4样本内在有偏的样本“1924级的耶鲁毕业生平均年收入有25111美元。”《时代》(Time)杂志在评论纽约《太阳》(sun)报的某篇报道。抽样过程：仅仅代表了1924级耶鲁学生中可以联系到的，并愿意站出来说出所赚数目的这个特殊群体。当然，它的真实性还建立在这样一个假定基础之上——这些绅士说的都是真话。有3种谎言；谎言，糟糕透顶的谎言和统计资料。————Disraeli第三节描述定量数据的数值方法4样本内在有偏的样本1936年《文学文摘》的惨败。曾经准确顶测了1932年美国大选的1000万个《文学文摘》的订阅者对1936年的大选进行了预测，通过电话，他们向这个倒霉的杂志编辑信誓旦旦地保证，兰登(London)将在竞选中脱颖而出，并且与罗斯福(Roosevelt)所得的票数比是370：161。这样一个久经考验的调查群体怎么可能产生误差呢?有3种谎言；谎言，糟糕透顶的谎言和统计资料。————Disraeli第三节描述定量数据的数值方法4样本最基本的样本是随机样本，它是指完全遵循随机的原则从总体中选出样本。总体即形成样本的母体。从索引卡片档案中将每隔l0个的名字抽出来，从许多纸张中任意抽出50张。随机样本的检验标准是：总体中的每个名字或事物是否具有相同的几率被选进样本?纯随机抽样是惟一一种能有足够把握利用统计理论进行检验的抽样方法。但它同样存在着缺陷。第三节描述定量数据的数值方法4样本国家民意调查中心派出两组调查人员对一个南方城市的500名黑人进行提问，一组调查人员由白人组成，另一组是黑人“如果日本占领美国，你认为黑人的境况会得到改善还是变得更糟?”黑人调查组中，9％的被调查者回答“变好”，而白人调查组该比例只有2％。回答“变坏”的比例也不相同，黑人调查组是25％，而白人调查组则是45％。第二个问题是用“纳粹分子”替代“日本”，两组的结果大体相同。第三个问题试图探寻被调查者对前两个问题的真正态度。“你认为目前致力于打败轴心国比在本国内进一步推进民主更重要吗?”黑人调查组中，选择“打败轴心国”的比例是39％，而白人调查组则是62％。第三节描述定量数据的数值方法5概率与频率概率（probability）又称几率，是度量某一随机事件A发生可能性大小的一个数值，记为P（A）。0＜P（A）＜1。在相同的条件下，独立重复做n次试验，事件A出现了m次，则比值m/n称为随机事件A在n次试验中出现的频率（frequency）。当试验重复很多次时P（A）=m/n。第三节描述定量数据的数值方法6样本的频数分布第三节描述定量数据的数值方法6样本的频数分布（1）、求全距（2）、确定组数（3）、确定组距：组距(i)＝全距／组数（4）、确定组限及组中值（5）、归组划线计数，作次数分布表第三节描述定量数据的数值方法6样本的频数分布频数表可用于揭示资料的分布特征和分布类型，在文献中常用于陈述资料，它便于发现某些特大或特小的可疑值，也便于进一步计算指标和统计分析处理。第三节描述定量数据的数值方法7参数和统计量参数是总体的测量值。希腊字母统计量是样本的观测值。英文字母参数如总体均数、总体率等。总体参数是固定的常数。多数情况下，总体参数是不易知道的，但可通过随机抽样抽取有代表性的样本，用算得的样本统计量估计未知的总体参数。统计量（statistic）是指样本的统计指标，如样本均数、样本率等。样本统计量可用来估计总体参数。总体参数是固定的常数，统计量是在总体参数附近波动的随机变量。第三节描述定量数据的数值方法7参数和统计量重点介绍平均数（mean）、标准差（standarddeviation）与变异系数（variationcoefficient）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。7参数和统计量平均数统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数（arithmeticmean）、中位数（median）、众数（mode）、几何平均数（geometricmean）及调和平均数（harmonicmean）7参数和统计量平均数：算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。（一）直接法主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。设某一资料包含n个观测值：x1、x2、…、xn，则样本平均数

可通过下式计算：7参数和统计量平均数：算术平均数某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均体重。由于Σx=500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n=107参数和统计量平均数：算术平均数（二）加权法对于样本含量n≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数：7参数和统计量平均数：算术平均数：（二）加权法将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。7参数和统计量平均数：算术平均数：（二）加权法计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重为750kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？7参数和统计量平均数：算术平均数基本性质1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。

<7参数和统计量平均数：算术平均数对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均数为：式中，N表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数（

）作为总体平均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数

是总体平均数μ的无偏估计量。7参数和统计量平均数：中位数将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。中位数简称中数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。7参数和统计量平均数：中位数。7参数和统计量平均数：中位数（一）未分组资料中位数的计算方法监测分析某试样中某成分含量（%）：1.61，1.65，1.68，1.70，1.72，1.75，1.901.61，1.65，1.68，1.70，1.72，1.73，1.75，1.907参数和统计量平均数：中位数。7参数和统计量平均数：中位数（二）已分组资料中位数的计算方法某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间整理成次数分布表如表所示，求中位数。7参数和统计量平均数：中位数。7参数和统计量平均数：中位数i=15，n=68，因而中位数只能在累加头数为36所对应的“57—71”这一组，于是L=57，f=20，C=167参数和统计量平均数：几何平均数n个观测值相乘之积开n次方所得的方根，称为几何平均数，记为G。它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。7参数和统计量平均数：几何平均数为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值，即7参数和统计量平均数：几何平均数某波尔山羊群1997—2000年各年度的存栏数，试求其年平均增长率。7参数和统计量平均数：众

数资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值，称为众数，记为M0。7参数和统计量平均数：众

数。7参数和统计量平均数：众

数莎士比亚著作中的众数7参数和统计量平均数：调和平均数资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为调和平均数，记为H。调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率或畜群不同规模的平均规模。7参数和统计量平均数：调和平均数某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头；3世代190头，4世代210头，试求其平均规模。7参数和统计量平均数：调和平均数例：据甲、乙、丙三厂的实际废水量和处理率，计算平均处理率。甲18%

30000t乙23%

25000t丙30%

18000t（30000+18000+25000）（1/0.18）×30000+（1/0.23）×25000+（1/0.30）×150007参数和统计量平均数统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。对于同一资料，算术平均数>几何平均数>调和平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。7参数和统计量反映数据变异程度大小的变异指标用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。如果各观测值变异小，则平均数对样本的代表性强；如果各观测值变异大，则平均数代表性弱。因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。变异指标的应用亦根据资料的不同而选取不同指标进行描述。常用的变异指标有极差、四分位数间距、方差、标准差和变异系数，尤其是方差和标准差更为常用。7参数和统计量极差极差（range）亦称全距，即最大值与最小值之差，用于资料的粗略分析，其计算简便但稳定性较差。全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。全距大，则资料中各观测值变异程度大，全距小，则资料中各观测值变异程度小。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。7参数和统计量百分位数与四分位数间距百分位数（percentile）是将n个观察值从小到大依次排列，再把它们的位次依次转化为百分位。百分位数用Px表示，0＜x＜100,如25%位数表示为P25。四分位数间距（inter-quartilerange）是由第3四分位数（Q3=P75）和第1四分位数（Q1=P25）相减计算而得，常与中位数一起使用，描述偏态分布资料的分布特征，比极差稳定。其计算公式：QR=Q3-Q17参数和统计量标准差标准差的意义为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，即（

），称为离均差。离均差？7参数和统计量标准差标准差的意义虽然离均差能表达一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即Σ（

）=0，因而不能用离均差之和Σ（

）来表示资料中所有观测值的总偏离程度。7参数和统计量标准差标准差的意义为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值n求得平均绝对离差，即Σ|

|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。7参数和统计量标准差将离均差平方，来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。将各个离均差平方，即(

)2，再求离均差平方和，即Σ，简称平方和，记为SS；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即Σ

，求出离均差平方和的平均数；为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度n-1，于是，采用统计量Σ表示资料的变异程度。7参数和统计量统计量Σ

称为均方（meansquare缩写为MS）,又称样本方差，记为S2，即S2=相应的总体参数叫总体方差，记为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算公式为：σ2

μ）2/N

统计学上把样本方差S2的平方根叫做样本标准差，记为S，即：7参数和统计量标准差7参数和统计量标准差相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：σ=在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差σ。7参数和统计量标准差标准差的计算方法（一）直接法

对于未分组或小样本资料，可直接利用公式来计算标准差。计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。7参数和统计量标准差标准差的计算方法（一）直接法

对于未分组或小样本资料，可直接利用公式来计算标准差。计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。n=10，经计算得：Σx=5400，Σx2=2955000，7参数和统计量标准差标准差的计算方法（二）加权法

对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。式中，f为各组次数；x为各组的组中值；Σf=n为总次数。

7参数和统计量标准差7参数和统计量标准差的特性（1）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。（2）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。（3）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则所得的标准差是原来标准差的a倍或