轴对称图形与等腰三角形 单元作业设计

PAGEPAGE1安徽省第一届中小学作业设计大赛初中数学作业设计第十五章轴对称图形与等腰三角形初中数学第十五单元作业设计一、单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学八年级第一学期沪科版轴对称图形与等腰三角形单元组织方式☑自然单元口重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1轴对称图形第15.1（P118-119）2两个图形成轴对称第15.1（P120-122）3坐标轴中点的对称特征第15.1（P123-124）4线段垂直平分线性质第15.2（P128-129）5线段垂直平分线判定第15.2（P129-130）6等腰三角形性质定理1第15.3（P132-133）7等腰三角形性质定理2及推论第15.3（P133-134）8等腰三角形判定定理第15.3（P134-135）9等腰三角形判定推论第15.3（P136-137）10等边三角形判定及推论第15.3（P137-138）角平分线作法第15.4（P141-142）12角平分线性质第15.4（P143-144）13角平分线判定第15.4（P144-145）14第15章小结15章（P148-149）15第15章评价15章（P148-149）二、单元分析（一）课标要求本章课标要求（2022新版）通过具体实例了解轴对称和轴对称图形的概念，探索它们的基本性质；认识和欣赏自然界和生活中轴对称图形；在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系；理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理；理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索等边三角形的性质定理和判定定理；理解角平分线概念，了解角平分线性质和判定，能够利用尺规作图作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线，并能证明其正确性.（二）教材分析1． 知识网络腰三角形和角的平分线，其内容用图表概括如下：2． 教材分析决实际问题，而且对今后继续学习几何知识具有十分重要的意义.本章的后面三泛.判定.难点:轴对称和轴对称图形的区别和联系、线段的垂直平分线、角的平分线和判定的综合运用.3． 学情分析规范地表达与推理与论证.还要重视对引导后结果的表述.三、单元学习与作业目标1.了解轴对称概念、轴对称图形概念及生活中的轴对称图形、线段的垂直平分线的概念、三角形外心、内心概念；2.理解轴对称的基本性质、等边三角形的性质和判定；3.会画简单平面图形关于给定对称轴对称后的图形，能掌握线段的重直平分线的性质定理和逆定理、角的平分线的性质定理和逆定理、等腰三角形的判定，会用尺规作图作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线、能应用“直角三角形中30°锐角所对边等于斜边的一半”解决问题;4.能利用轴对称进行简单的图案设计、应用所学知识解释生活中的对称现象，能解决简单的实际问题，能利用等腰三角形性质解决实际问题，提高应用意识；5.能够应用所学知识解释生活中对称现象，解决简单实际问题，在观察、操作、论证的过程中，发展空间观念，激发学习图形的兴趣.6.能对归类比等活动猜想所得结论进行推理验证，能运用文字、符号、几何语言描述和表达思考过程和推理方法.四、单元作业设计思路分层设计作业.每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量1-4量1-3题，要求学生有选择地完成）.具体设计体系如下：五、课时作业课题：15.1.1轴对称图形作业1（基础性作业）1.先判断下列图形是否为轴对称图形，如果是，画出它的对称轴. （1） （2） （3） （4）2.ABCDAC.ACB AC3.如图，△ABC中，AB=11，AC=9，D在AC边上，△ABD沿BD折叠后点A落在BC边上E处，△CDE的周长为13，求BC的长．ADDB E C【作业分析与设计意图】第13幅风车图是一个旋转对称图形，这是在九年级下册中才出2题对轴对称33题是轴对称图形的一个应用，涉及了线段的转化，体现了数形结合和整体思想，有一定的综合性.【参考答案】1. 2.CD=2,∠BAD=126°3.解：由折叠可知，BE=AB=11,DE=DA∵△CDE的周长为13∴CD+DE+EC=CD+DA+EC=AC+EC=13又∵AC=9∴EC=13-9=4∴BC=BE+EC=11+4=15作业2（发展性作业）【数学操作实践】1.面文字你能判断它是哪个朝代的吗？它是轴对称图形吗？若是，请你尝试画出它所有对称轴，试着用一张圆形纸片剪一个这样的钱币. 【作业分析与设计意图】本题改编于教材P120页练习第2题，从中国古代钱币出发，把实物模型抽再剪，引导学生积累生活经验和数学活动经验，促进学生应用意识和创新意识.【参考答案】1.清朝，是轴对称图形，如图所示剪纸时，可以先折叠再剪，形式多样，不限定方式.2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，8分钟）3．评价设计15.1.1轴对称图形作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2、课题：15.1.2两个图形成轴对称作业1（基础性作业）1.如图，正方形的边长为6．则图中阴影部分的面积为 ．CD2.如图，△ABC与△关于直线l对称，BB交l于点O．则下列结论：①②l有 .

③//④一定正确的是AlAlOC3.如图，在22的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中阴影部分是一个格点三角形．作出一个与阴影部分成轴对称的格点三角形，请尽可能多画（至少作出两种）.【作业分析与设计意图】第1应用；第2题为教材P121页思考的再探究，对线段垂直平分线和对称图形对应3题属于开放性问考热点，这里也体现了源于教材，贴近中考，提炼思维的命题意识.【参考答案】1. 18解析：S

=1S 166182.①②④

阴 2正方形ABCD 23.参考案例如图所示 作业2（发展性作业）1.【问题情境】（1）如图，小明站在A处，l为一面镜子，请作出小明关于l对称点A'Al【问题解决】（2）如图ABCD是一个长方形的台球面，有M、N两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球M，才能使M先碰到台边BC反弹后再击中球N？在图中画出M球的运动线路．DNNMC【问题延伸】（3）A后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后为直线ll上找一动点得最小，你能找出P点位置并说明理由吗.BAl【作业分析与设计意图】心思想.【参考答案】1.【问题情境】AlAA'【问题解决】DNMNMM'【问题延伸】BAlPA'理由：因为P点处，有最小值.2.要求时间（作业1，10分钟；作业2，10分钟）3.评价设计15.1.2两个图形成轴对称作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2PAGEPAGE11规范性作业规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2课题：15.1.3坐标轴中点的对称特征作业1（基础性作业）1. 点A（3,4）关于x轴对称点坐标为 ，关于y轴对称点坐标为 .变式1：若点A（-2，a）与点B（b,3）关于x轴对称，则a+b的值 .变式x轴对称点坐标为 ，关于y轴对称点，用一句话概括你的发现.2. 的三个顶点的坐标分别是得到A'

,B',C'A'

,B',C'A'

,B',C'△A'B'C'

和△ABC的位置关系.yAOBAOBC【作业分析与设计意图】第1题在母题后设置了两个变式小题，母题是直接求某点关于x轴，y轴的1则是逆向应用，变式2为教材P124页问题[1]xy轴对称，实质就是关于原点呈中心对识铺垫，第2题是教材P124页练习2变式，通过横坐标乘1（数的变化）会得联系，体现了重要的数形结合思想.【参考答案】1.变式1.-5变式若两点关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数.2. ABC和△A'B'C'关于y轴对称.作业2（发展性作业）1. 点8个单位后得到P'和点P关于xm= .【变式-数形结合】点P（2,m）向上平移8个单位后得到P'和点P关于直线x=-1对称，则m= .2. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(2,yyA①B C ④ O② x③（1）第2次变化之后，点A的坐标是 ，（2）第2022次变化后，点A的坐标是 ，（3）第n次变化后，点An的特征.【作业分析与设计意图】第1题为教材P126页习题15.1第5要学生根据题意，画出图形去理解把握，第2题则是考查了一个规律变化问题，【参考答案】1. （3）数字n必须满足除以4之后能余1，即n=4k+1，其中k为正整数.2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，10分钟）3．评价设计15.1.3坐标轴中点的对称特征作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2课题：15.2.1线段的垂直平分线性质作业1（基础性作业）1.已知线段AB为圆心，a为半径画弧，任写一个符合条件的a的取值 .2.已知：如图，x轴平分线段AB，点P在x轴上，点A，B在y轴上.（1）若点AB点坐标是 ；（2）若AB=m，则B点坐标是 .yAP O xB3.教材P128页介绍了尺规作图线段AB出“已知”，“求证”和“证明.”E EA O BF【作业分析与设计意图】

A O BF第12题是教材P131页习题15.2第1到字母，体现了新课标（2022版）增设的“增强代数推理”应用的体现.第3题是教材P128页注意标[2]变式，要求学生写出已知求证证明，让学生既能“口头表达”，也能“书面表达”，培养学生严谨数学思考和论证能力.【参考答案】1.4m2. （2）(0, )2已知：线段AB，AE=AF=BE=BF求证：EF垂直平分线段AB证明：在△AEF和△BEF中AEBAFBEFE

∴△AEF和△BEF（SSS） ∴∠AEF=∠BEFAEBEOO在△AEO和△BEO中EOEO∴AO=BO,∠AOE=∠BOE∵∠AOE+∠BOE=180°∴∠AOE=∠BOE=90°∴EF垂直平分线段AB

∴△AEO≌△BEO（SAS）作业2（发展性作业）1.一张长方形纸片ABCD，AB=3，BC=4（1）用两种方式作线段BD的垂直平分线（2）若BD的垂直平分线交AD，BC于E和F点，连接BE，求△ABE周长；（3）BD垂直平分EF吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由.DC【作业分析与设计意图】第1题是教材P128页“问题[1]”变式,在教材原来左右折叠基础上作延伸处第二种通过对长方形纸片折叠，达到效果；第（2）问体现了对垂直平分线的应用；第（3）问学生如果不好理解，可以动手操作，在操作中发现思路，体验过思维能力，猜想探究能力.【参考答案】1.（1）方法一：用直尺作图（2）方法二折叠长方形ABCD，使得B，D两点重合；（2）解：∵EF垂直平分BD，∴EB=ED∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=3+4=7（3）解：BD垂直平分EF,理由如下：∵EF垂直平分BD∴BO=DO,∠BOE=∠DOE=90°在△BOE和△DOE中OBODBOEDOOEOE∴△BOE≌△DOE（SAS）∵AD∥BC∴△BOE≌△BOF（AAS）∴OE=OF∵EF⊥BD∴BD垂直平分EF2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，7分钟）3．评价设计15.2.1线段的垂直平分线性质作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2、课题：15.2.2线段垂直平分线判定作业1（基础性作业）1.如图，四边形ABCD中，CD垂直平分AB，∠ACB+∠ADB=228°，则∠.CA BD2. 垂直平分的度数为 ．DADB E C3.ABCA落在BC边上，敏敏发现当折痕DE∥BC分别为说明为什么吗？ADD EB C【作业分析与设计意图】第1题是教材P130页练习2变式，考查了线段垂直平分线基本应用，第2了知识点的综合性和关联性，第3题实践操作，还是以学生常见的三角形为背来要学的“中位线”，在前期的研究过程中给未来学习做好铺垫.【参考答案】1.∠CAD=66°2.∠ABD=64°3.理由如下：由折叠可知：DADA',ADEA'DE∵DE∥BC∴B,A'DE'B∴BDA'B,∴DBDA'∴AD=BD,即D是AB的中点同理 E是AC的中点作业2（发展性作业）1.l是线段AB点在直线lPB．llPAB2.如图，将放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为，点C的坐标为，（1）找出原点O的位置，并画出直角坐标系（2）用无刻度直尺找出一点P点坐标 .AABC【作业分析与设计意图】第1题是教材P131页习题15.2习题3特殊到一般，渗透了“特殊与一般”的数学思想，扩展学生的空间想象力；第2题用无刻度直尺作图前提是了解需要满足的条件，先逻辑推理再解决问题，发展学生推理能力和应用意识.【参考答案】1.证明:连接与直线L交于点C，连接BC∵直线L是线段AB的垂直平分线∴CA=CB在△PBC中，PC+BC＞PB2.（1）作图如下：OOPyx2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，10分钟）3．评价设计15.2.2线段的垂直平分线判定作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2PAGEPAGE21创新性作业创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2课题：15.3.1等腰三角形性质定理1作业1（基础性作业）1.填空（1）等腰三角形顶角为100°，那么它底角度数为 ；（2）等腰三角形底角度数为40°，那么它顶角度数为 ；（3）等腰三角形一个角度数为40°，那么它底角度数为 ；（4）等腰三角形一个外角为40°，那么它的底角度数为 .2.等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于D，AD=4，则周长为 .3.如图，AB＝AC＝AD，且AD∥BC，∠BAC＝54°，求∠D的度数．A DB C【作业分析与设计意图】第1题以一个问题串的形式出现，从告知等腰三角形顶角，到等腰三角形2题是对“三线合一”性3题也是常见的“平行线+角平分线得等腰”小模型初步体现，也是后续作角平分线一个重要理论证明依据.【参考答案】1.（1）40° （2）100° （3）40°或70°（4）20°2.∠ADB=90°,BD=33.解:∵AB=AC,∠BAC＝54°∴∠ABC=∠C=63°∵AB=AD,AD∥BC∴∠ABD=∠D,∠D=∠DBCDDBC1ABC16331.5∴2 2作业2（发展性作业）1.在△ABC为直线BCAP，则∠BAP的度数是 ．2.的垂直平分线DE交AC于点AB于点E，∠C＝66°．（1）求∠A的度数；（2）求∠CBD的度数．AEEDB C【作业分析与设计意图】第1P为直线BCP点方向不确定性，用圆规以C为圆心，CA为半径作图就不容易遗漏，体现了数形结合思2题结合了线段垂直注知识点的“源”和“去”.【参考答案】1.75°或15°2.∴∠ABC=∠C=66°∠A=180°-66°×2=48°（2）∵DE垂直平分线段AB∴DA=DB∴∠DBA=∠A=48°∴∠CBD=66°-48°=18°2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，10分钟）3．评价设计15.3.1等腰三角形性质定理1作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2课题：15.3.2等腰三角形性质定理2及推论作业1（基础性作业）1.如图，△ABC中，AB=AC，DM，EN分别垂直平分AB，CDAMMNB D E C（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若BC=12cm，求△ADE的周长；（3）去除题干中“AB=AC”这个条件，当∠BAC=100°时，求∠DAE度数；（4）在（3）的条件下，若∠BAC=α，用含有α的式子表示∠DAE.【作业分析与设计意图】第1题改编于教材P133页例1，以层层递推的方式设置了4素养.【参考答案】1.解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AB，CD∴DA=DB,EA=EC∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠B=∠DAB=∠C=∠EAC在△ABD和△ACE中BCABAC∴△ABD≌△ACE（ASA）（2）∵DM，EN分别垂直平分AB，CD∴DA=DB,EA=EC∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=12cm.（3）∵∠BAC=100°∴∠B+∠C=80°又∵DM，EN分别垂直平分AB，CD∴DA=DB,EA=EC∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC∴∠ADE+∠AED=2（∠B+∠C）=2×80°=160°∴∠DAE=20°（4）由（3）得∠ADE+∠AED=2（∠B+∠C）=2×（180-a）=360°-2a∴∠DAE=180°-（360°-2a）=2a-180°作业2（发展性作业）1.如图，等边三角形ABC在a和b之间任意移动，顶点A和C始终落在a和b两条直线上，a∥b，则∠2－∠1= . A a1B 2 bC2.已知，如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，（1）找出一对全等的三角形并证明；（2）延长BD交CE于P，求它们较小的交角度数.DADEB C【作业分析与设计意图】第1的值却始终为定2题实际上是一个“手拉手”旋转模型，和上一题一样，当图形不断变化时，可以先将图形“静”下来，研究某个特殊位置后再推广到一般位置，从而达到解决问题的目的.【参考答案】1.∠2-∠1=60°2.证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB=ACAD=AE,∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中ABACBADCAADAE∴△ABD≌△ACE（SAS）（2）解：∵△ABD≌△ACE∴∠ABF=∠ACE在△ABF和△CDF中，∠AFB=∠CFP∴∠BPC=∠BAC=60°2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，10分钟）3．评价设计15.3.2等腰三角形性质定理2及推论作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2课题：15.3.3等腰三角形判定定理作业1（基础性作业）1.为BC求△ABC各内角度数.AB C D2.△ABC中，AB＝AC＝6，△ABC面积为12，E为AB边上一动点，P为底边中线AD边上一动点，则PE+PB的最小值为 .AEEPB D C【作业分析与设计意图】第1题为教材P136页练习1变式，通过改变数量关系，进一步对课堂所学基本知识，基本概念加深理解和应用，第2题考查了“将军饮马”模型下的最值，P了知识点间的融合应用.【参考答案】1.解:设x∵CA=CD∴∠CAD=∠D=x∴∠ACB=2x∵AB=AC,∠BAC=3∠CAD∴ABCACB2x,BAC3x∴2x2x3x180∴x7

360

540∴ABCACB ,BAC .7 72.4作业2（发展性作业）1.某数学兴趣小组开展了一次数学活动，其过程如下：如图，设∠BAC＝α（0°在两条射线上，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1，若只能摆放5根相同的小棒，则α的取值范围是 ，若最多能摆放n根相同的小棒，则α的取值范围是多少（用含有n2246αA C【作业分析与设计意图】第1题是教材P136页练习2变式，教材给出了具体度数，这里反其道而行5发展学生数学抽象能力.【参考答案】1.15≤a＜18

90n1

a90n理由如下：若只能放5根相同的小棒，则BB由6a90由5a90

解得.15≤a＜18若最多摆放n根相同的小棒，则n1)a90则 解得

90

a

90na90

n1 n2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，10分钟）3．评价设计15.3.3等腰三角形判定定理作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2课题：15.3.4等腰三角形判定推论作业1（基础性作业）1.分别是交于O点，求证：△OBC为等腰三角形ADDOEB C2.已知，如图，AB，CD交于M点，M为AB中点，∠AMD=2∠B，∠C+2∠D=180°，求证：AC=DMCAAMBD【作业分析与设计意图】第1题是教材P139页练习5变式，从角平分线到中线，从角度到线段长，变的是条件，不变的是思路，第2题为教材P138页练习1变式，这题很经典，引导学生思考到利用等腰三角形两腰相等证明两条线段相等也是初中数学重要的方法之一.【参考答案】1.证明：∵AB=AC,CD，BE分别是AB，AC边上中线PAGEPAGE31在△BCD和△BCE中BDCEBCCB∴△BCD≌△BCE（SAS）∴∠OBC=∠OCB∴OB=OC（等角对等边）∴△OBC为等腰三角形2.证明：∵∠AMD=2∠B=∠B+∠D∴∠B=∠D∴MD=MB∵∠AMC=∠DMB=180°-2∠D又∵∠C+2∠D=180°∴∠C=∠AMC∴AC=AM∵M为AB中点∴AM=BM=AC作业2（发展性作业）1.【问题发现】如图，等腰△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是AB，AC边上高，求证：CD=BEADDEB C如果不是，请说明理由并给出反例示意图.【作业分析与设计意图】第1题实质对上面第1题的再探究，教材中角平分线，中位线都是成立的，2换，命题是否依然成立？如何证明，一步步的设想驱动学生作图，思考和探究，培养学生严谨的数学反推和论证思维.【参考答案】1.证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵CD，BE分别是AB，AC边上高∴∠BDC=∠CEB=90°在△BDC和△CEB中∴△BDC≌△CEB（AAS）∴CD=BE【问题思考】已知：在△ABC中，BE⊥AC、CD⊥AB,垂足分别为D、EBE=CD求证：AB=AC证明：∵BE⊥AC、CD⊥AB∴∠BDC=∠CEB=90°在RT△BDC和RT△CEB中BECDBCCB∴RT△BDC≌RT△CEB（HL）∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，6分钟）3．评价设计15.3.4等腰三角形判定推论作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2课题：15.3.5等边三角形判定定理及推论作业1（基础性作业）1.判断正误三个角都相等的三角形是等边三角形（ ）有两个角等于60°的三角形是等边三角形（ ）三角形一边上高和中线重合的三角形是等边三角形（ ）有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形（ ）2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，过点A作AD⊥AB，交BC边于点D，若AD=2，则BC的长为 .AB D C3.若等腰三角形的底角为（用含有a的式子表示）【作业分析与设计意图】第1心判别，第2题是教材P139页练习6变式，变化的是条件，不变的是图形，当然思路也要跟着改变；第3题需要通过作图，结合等腰三角性质和30°所对直角30°呢？性.【参考答案】1.√√√√2.6解析：∵AB=AC∴∠B=∠C=30°∴∠BAC=120°∵AD⊥AB∴∠BAD=90°,∠DAC=∠C=90°∴AD=CD=2在RT△BAD中，∠B=30°∴BD=2AD=4∴BC=2+4=63.解：作BD⊥AC,垂足为D∵∠A=∠ABC=15°∴∠BCD=30°∴在RT△BCD中，BD1a2∴S 1a1a1a22 2 4作业2（发展性作业）1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，AE，BD交于F点（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）求∠BFE的度数；（3）如图2，当D在△ABC内时，BD延长线交AE于F，则（2）的结论是否依然成立？如果成立请证明.FDFDDA BF EB C E C图1 图2【作业分析与设计意图】第1题是教材P140页第12题变式，教材中B,C,E三点共线，如果不共线呢？是否依然成立，体现了从特殊到一般的数学思想，问题（3）是在现有问题基础上进一步拓展，在变化过程中寻求不变的关系，开放性探究，通过“不确定性结构”，引导学生摆脱题型套路的枷锁，落实创新思维的锻炼.【参考答案】1.（1）证明：∵△ABC和△DCEA是等边三角形∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+ACD=∠DCE+∠ACD即∠BCD=∠ACE在△ACE和△BCD中CCBACEBCCCE∴△ACE≌△BCD（SAS）（2）解：∵△ACE≌△BCD∴∠CAE=∠CBD∵∠BMC=∠AMF∴∠AFB=∠ACB=60°∴∠BFE=120°（3）∠BFE=120°,理由如下：∵△ACE≌△BCD∴∠CAE=∠CBD∵∠BMC=∠AMF∴∠AFB=∠ACB=60°∴∠BFE=120°2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，8分钟）3．评价设计15.3.5等边三角形判定及推论作业评价表评价指标等级备注ABC准确性作业准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2、课题：15.4.1角的平分线作法作业1（基础性作业）1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于1MN的长为半径作弧，两弧相交于点AC于D2.CDNPA M B2.如图，∠CAD是△ABC的外角．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE，过C点作CF⊥AE，垂足为F，交AD于（2）若AB=AG，求证∠BCG=90°.CB A D【作业分析与设计意图】第12题为河池中考真题改编，在落实尺规作图后增添了等腰三角形性质的综合考查，体现了知识点联系.【参考答案】1.∠CDB=65°解析：∵∠ACB＝90°，∠A=40°∴∠ABC=50°∵BD平分∠ABC∴∠ABD=25°∴∠CDB=90°-25°=65°2.（1）作图如下：ECFB A GD（2）证明：∵AE平分∠CAD∴∠CAF=∠GAF∵CF⊥AE∴∠AFC=∠AFG=90°又∵AF=AF∴△AFC≌△AFG（ASA）∴AC=AG,∠ACG=∠AGC∵AB=AG∴AB=AC∴∠B=∠ACB∵∠B+∠ACB+∠ACF+∠AGF=180°∴∠BCA+∠ACG=90°即∠BCG=90°作业2（发展性作业）1.问题一：尺规作图包含着重要的几何原理，在学习了尺规作图作一个角的平分线后，敏敏同学继续和同学探索角平分线尺规作图,她的思考过程如下：如图，要作∠AOB的角平分线，可以借助等腰三角形“三线合一”性质，“先构造以O为顶点的等腰三角形，…”请根据这个思路帮敏敏用不同于教材中的方法作∠AOB的角平分线ADHHO B O E问题二：你还能找出另外的方法吗？（提示：可参考15.3.1基础作业第3题的原理）个方法都证明下.【作业分析与设计意图】第1几何证明作为支撑，一旦有了理论依据，尺规作图方法不再是唯一化，标准化，3很好的培养学生数学兴趣和素养.【参考答案】方法①：作底边DE的垂直平分线；方法②：在OA上任意取一点C点作CD∥OB，在CD上截取CE=OC，则OE即为∠AOB平分线2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，10分钟）3．评价设计15.4.1角的平分线作法作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2、课题：15.4.2角的平分线性质作业1（基础性作业）1.求△ADB的面积．AC D B2.是∠BAC为垂足，连接EF交AD于G．（1）求证：AE＝AF．（2）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．AEGEGB D C【作业分析与设计意图】第1题为常见的应用，需要求△ADB的面积，在已知一边的前提下需要知思维导向；第2题为教材P146页练习第2题改编，在教材熟悉问题的基础上连接了EF，对图形进一步探究，对基本图形的本质再一次延伸，体现课内到课外的连贯性.【参考答案】1.解：作DE⊥AB，垂足为E∵AD平分∠CAB，∠C=∠DEA=90°∴DE=DC=8-5=3∴SADB

1ABDE1103152 22.（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，DEDEADADPAGEPAGE41∴AE＝AF；（2）解：AD⊥EF，理由如下：∵DE＝DF，AE＝AF，∴AD是EF的垂直平分线，∴AD⊥EF．作业2（发展性作业）ABC中，AD平分∠BAC，（1）求证S△ABD：S△ADC＝AB：AC；（2）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，求DC的长．AB D C【作业分析与设计意图】第1的两部分，那么角平分线会得到怎样的结论？教材在P152页C组复习题第1题解决问题.【参考答案】1.（1）解：作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为E、F∵AD平分∠BAC∴DE=DF

1ABDE:12 2

ACDF=AB：AC（2）解：∵S△ABD：S△ADC=AB：AC=BD：CD=5：4∴BD5CD4∵BD+CD==BC=6∴5CDCD64∴CD832．要求时间（作业1，10分钟；作业2，7分钟）3．评价设计15.4.2角的平分线性质作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2、课题：15.4.3角的平分线判定作业1（基础性作业）1. 在△ABC是△ABCO到△ABC＝130°，则∠A的度数为 ．2. 如图，AD、CE分别为△ABC的两个外角角平分线，BP为△ABC内角平分线，证明AD，CE，BP一定交于同一点.EAEAPB C【作业分析与设计意图】第1心概念，重视内心本质特征，通过角平分线性质解决问题；第2题是教材P145题的证明理解相对困难，这里再一次复习，弥补课堂疑难点.【参考答案】1. 80°证明：作OF⊥ABOG⊥ACOH⊥BC∵AD、CE分别为△ABC的两个外角角平分线∴AP、CP相交于点O，OH=OGOG=OF∴OF=OH∴点P在∠ABC的角平分线上∴AD，CE，BP一定交于同一点.F EA PO DGB C H作业2（发展性作业）1. 如图有a、b、c三条公路，先要建一个货物中转站到三条公路的距离相等，这样的中转站共有 个.aacb2. P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．（1）∠BPC的度数是 ．（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？ （3）证明：AB＝PC．APPB C【作业分析与设计意图】第1题是教材P147页第4题变式，为角平性质的应用，从理论到应用，落2分线基础上增加了∠ABC＝60°，也引导学生想到构造等边三角形解决问题，引导学生能关于数学概念，方法等内部联系构造所需条件.【参考答案】1. 4个2. （2）是解析：作OE⊥ABOF⊥ACOG⊥BC∵OB平分∠ABC,OC平分∠ACB∴OE=OF∴点P是在∠BAC的角平分线上（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，APB CPG∵AP、CP分别为∠BAC、∠ACB的平分线，∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，∴△PGC为等边三角形，∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，在△ABC和△CGA中，∠ACB=∠CAG，∠ABC=∠G，AC=CA∴AB＝CG，又∵PC＝CG，故AB＝PC．2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，8分钟）3．评价设计15.4.3角的平分线判定作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.作业作业2C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2课题：第15章小结作业1（基础性作业）1. 已知，如图△ABC中，∠B=20°，∠C=30°，AC=4（1）A关于BC的对称点AB C；（3）P为BC边上任一点，过P点分别作PM⊥AC，PN⊥CD，求证PM=PN；AMB P CNDAD与BC交于OP点与OA FA FOD（5）K，I分别为BC，CD上两动点，当KD+KI取最小值时，作出K点位置并说明理由AKIB KID【作业分析与设计意图】第1图和性质，第（3）题对角平分线性质作了考查，第（4）题重点针对30°角所对而来，在减少学生阅读量同时增加做题量，真正做到“减量增质”，既落实了“双减”，又不耽误学生的学习.【参考答案】1. （1）尺规作图：作出点A关于BC的对称点D，连接BC，CD（保留作图DADB C（2）填空：∠BDC=20° AD=4（3）AMB P CND证明：∵由作图可知△ABC≌△DBC∴∠ACB=∠DCB∵PM⊥AC,PN⊥CD∴PM=PN（4）证明：∵∠C=30º,OF⊥AC∴OC=2OF∵OF2CF2OC2∴CF=同理可得，OF=3AF3（5）3

∴CF==

×3AF=3AF解：作AI⊥CD,交BC于点K，点K就是所求的点理由如下：∵点A与点D关于BC对称∴BC垂直平分AD∴KA=KD∴KD+KI=AK+KI根据两点之间线段最短和垂线段最短可知点A到BC的距离AI的长度AKB CID作业2（发展性作业）1. 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形．A ADEDDEDB C B C图1 图2（1）如图1，当D，E分别在AB，AC上时，求证BD=CE；（2）如图2，当D，E不在AB，AC么？（3）如果△ABC和△ADE并和你同学做交流.【作业分析与设计意图】第1当为平面内任一点的时，结论是否依然成立，这里体现了从特殊到一般思想，第（3）问把图形进一步一般化，由等边三角形到等腰三角形，逐渐弱化条型应该是学生做题中不断总结出来的，而非告知模型生搬硬套的.【参考答案】1. （1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形∴AB=AC,AD=AE即:BD=CE（2）解：成立，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等边三角形∴AB=AC,AD=AE∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即：∠BAD=∠EAC∴△BAD≌△EAC∴BD=CE（3）成立（4）请把上述探究整理成一份数学解题笔记，总结下这类问题问题的通解通法，并和你同学做交流.2．要求时间（作业1，10分钟；作业2，10分钟）3．评价设计第15章小结作业评价表评价指标等级评价指标等级备注ABC准确性作业1A等，答案正确、过程正确.B等，答案正确、过程有问题.C等答案不正确过程不完整答案不准确过程错误或无过程.作业2规范性作业1A等，过程规范，答案正确.B等，过程不够规范、完整，答案正确.C等，过程不规范或无过程，答案错误.作业2创新性作业1A等，解法有新意和独到之处，答案正确.B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.作业2综合评价等级作业1B综合评价为A等C综合评价为B等其余情况综合评价为C等.作业2、轴对称图形与等腰三角形单元作业评价一.判断正误，对的打“√”，错的打“×”（1）轴对称图形至少有一条对称轴……（ ）（2）线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等……（ ）（3）等腰三角形的底角一定是锐角……（ ）（4）直角三角形中，30°所对的直角边等于另一边的一半……（ ）（5）任意三角形内部一定存在一点，到三边距离相等……（ ）（6）任意三角形内部一定存在一点，到三个顶点距离相等……（ ）二.选择题，每小题只有一个选项正确1. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）C．正方形 D．平行四边形2. 如图，线段AC