第二章有导体时的静电场

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第2章

有导体时的静电场2第2章有导体时的静电场目录§1静电场中的导体§2封闭金属壳内外的静电场§3电容器及电容§4静电演示仪器§5带电体系的静电能量3

以静电场基本规律为依据，讨论有导体存在时对静电场的影响。静电场中放入导体后，导体和电场相互影响，相互制约,经历一个极短暂的时间，达到平衡状态。我们研究的前提：假定导体在电场作用下已处于平衡，结合基本规律分析，解决问题。4电场的基本性质方程仍是本章研究的问题仍然是静电场场量仍是电场强度和电势5§1静电场中的导体一、导体和绝缘体1.导体存在大量的可自由移动的电荷2.绝缘体理论上认为无自由移动的电荷也称电介质3.半导体介于上述两者之间本章讨论金属导体对场的影响6二、导体的静电平衡1．

静电感应+++++++++感应电荷7++++++++++++8++++++++导体内电场强度外电场强度感应电荷电场强度9定义：

导体内部和表面都没有电荷作宏观定向运动的状态。2、静电平衡：电荷不动3、静电平衡条件：导体内部任何一点处的电场强度为零10注意：（1）“点”指导体内部宏观的点

（物理无限小体元）。（2）平衡条件中，根本的是（若有非静电力时，例导体接了电池，平衡时静电力、静电场不等于零)。11导体三、导体静电平衡的性质1.导体为等势体，表面为等位面证明：导体内部任取两点a、b122.导体内部没有电荷，电荷

只分布在导体表面证明：在导体内任取体积元由高斯定理任取体积元电荷只能分布在导体表面！133.导体表面附近的电场①14②E与σ的关系取扁柱面为高斯面外法线方向写作ΔS15四、带电导体所受的静电力设是导体表面含P点的小面元，是P点的电荷面密度，则受到的静电力是除外所有电荷在P点贡献的场强导体表面附近的场强为可以分为两部分其中是在P1

的场强，是除16外的电荷在P1

的场强。P1点在导体附近，所以代入前式可得最后可得：17对导体表面作积分，可得整个导体所受的静电力。由上述讨论可知：导体表面稍微往外的

P1处的总场强为

它由两个部分构成，即18其中如果考虑导体表面稍微里面一点P2，则而的连续性保证于是故场强在导体表面一点p的突变完全是由含小面元的场强的突变引起的。19五、孤立导体形状对电荷分布的影响

1.

孤立导体的电荷分布由自身的形状和电荷总量决定表面突出的尖锐处（曲率为正且较大）:电荷面密度较大比较平坦地方（曲率较小）:电荷面密度较小20表面凹进部分（曲率为负）：电荷面密度最小尖端放电实验给出了一个尖形导体的等势面、电力线和电荷分布，如图。＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋导线即：用导线连接两导体球，则必有：孤立导体表面的电荷面密度与导体表面的曲率半径有关：曲率半径大处电荷密度低；即：表面上愈尖锐处电荷密度越大。孤立导体表面的电荷分布定性的证明：22由于带电导体尖端附近的电荷密度最大，按照导体表面电场公式，该处的场最强。2、尖端放电现象在尖端处的空气可能被电离而出现尖端放电现象，如图。23

尖端放电会损耗电能,干扰精密测量还会对通讯产生危害。然而，尖端放电也有很广泛的应用。尖端放电现象的利与弊例如：静电加速器、感应起电机、避雷针等。24<电风实验>++++++++++将带电的尖端物体接近火苗，由于尖端放电，电离空气，将发现火苗被吹偏，称为电风实验。253.避雷针高层建筑物上的避雷针也是利用导体的尖端放电现象。尖端处：曲率大，电荷面密度大，导体表面的场强也大；这个电场击穿空气，产生电子和离子并加速它们；加速的电子和离子与空气分子碰撞，进一步产生大量的电子和离子，被电离的空气成为导体。﹢﹢﹢﹢﹢﹢﹢26

雷雨时节，大块的云层顶部带正点，底部带负电，在接近地面时，地面感应产生正电荷。云层与地面距离在３-４Km，其电荷大到足以使云层与地面产生一个20-30MV甚至100MV的电势差。如果没有避雷针地面与云层就会遭受雷击；当装上避雷针由于尖端放电，率先把周围空气击穿，使云与地面电荷不断中和，将大规模的放电变为小规模的放电，从而避免电荷积累和大规模放电带来的危害。因此，避雷针实际上是“引雷针”。27闪电闪电28294.金属尖端的强电场的应用-场离子显微镜(FIM)

场离子显微镜结构如下图所示，其主要结构为一玻璃真空容器，平坦的底部内侧涂有荧光粉，用于显示图像。被检测样品为阳极（一般为单晶细丝，顶端曲率半径约为20~200nm的针尖），把样品置于高真空的空间中，并固定在容器的轴线上，在空间中放入成像气体(He、Ne、Ar等)中。为了减小样品表面原子热振动，通常用液氮或液氦降低样品温度，以提高像的分辨率。先将容器抽到1.33×10-6Pa的真空度，然后通入压力约1.33×10-1Pa的成像气体。图

场离子显微镜示意图

给样品正高压，样品接+（10~40）kV高压，而容器内壁通过导电镀层接地，一般用氧化锡，以保持透明。在样品加上足够高的电压时，强电场使样品附近的成像气体原子发生极化和电离，使附着在样品上的成像气体解离成带正电的阳离子。在荧光屏，上面有一电子通道倍增板，其作用是将微弱成像的离子束转化为信号很强的电子束。最后，以电子射到荧光屏幕，我们就能在屏幕上看到一颗一颗的原子亮点！

图

场离子显微镜示意图

带正电的气体离子接着被电场加速射出，打到接收器讯号被放大。荧光屏上即可显示尖端表层原子的清晰图像。如图所示，其中每一亮点都是单个原子的像。图钨单晶尖端的场离子显微镜图像34六、导体静电平衡问题的讨论方法困难：

因为电场影响导体，使导体电荷发生重新分布；反过来，重新分布的电荷，又会改变电场的分布，这使得问题陷入了循环的地步，在数学上有相当的困难。原则:1.静电平衡的条件353.电荷守恒定律或电力线的两条性质2.基本性质方程36例1：证明如图的静电感应现象中，A是带正电的点电荷，B是中性导体，试证导体B左端的感应负电荷绝对值小于施感电荷。证：根据电力线的性质1,B的左端一定有电力线终止。37这些电力线的发源地为：（1）A上的正电荷。（2）B上的正电荷。（3）无限远。∵沿电力线方向电位降低，与导体平衡时等势体矛盾∴（2）不可能。38B右端的正电荷发出的电力线又终止于无穷远处,,所以（3）不成立。∴终止于B左端的电力线全部来自A上的正电荷，而A的电力线有可能终止于感应电荷，也可能终止于无穷远，即感应电荷一定不大于施感电荷。39（1）接地时导体上不能有正电荷，若B上有正电荷，发出电力线可能：①到无穷远:沿电力线电位降低②到本身的负电荷:与导体是等位体矛盾,所以唯一可能是导体B上没有正电荷。（2）接地只能说明电位为零，只提供了当地交换电荷的可能性。讨论40例2：中性封闭金属壳内有正点电荷q，求壳内外壁感生电荷的数量。+q解：根据电场线的性质，由q发出的电力线的条数正比于q；这些电力线不会在无电荷处中断，也不能穿过导体（因导体内场强为0），它只能止于壳的内壁，所以壳内壁的总电荷为-q；又因壳为中性，内外壁电荷的代数和为0，故外壁总电荷为q。41例3.把例1的导体B接地,试证B上不再有的点。证：选择地与无限远电势相等，即。设B上某点有，它所发出的电力线只能延伸到无限远，故。另一方面，B导体接地要求，这与矛盾。所以B导体上不能有的点。42说明：1）导体B右则的正电荷在接地后不存在可以认为它们沿着接地线流入了大地（实际是大地的电子流向导体中和了正电荷）。而且，即使接地线在导体B左侧结论仍然成立。2）接地不但使B右侧的正电荷流光，而且改变了导体B左端的负电荷分布。43例4接地导体球附近有一点电荷q,如图所示。求导体上感应电荷的电量。解:导体接地，即设感应电量为Q由于导体是个等势体，可知o点的电势为0;由电势叠加原理有关系式：44SS例5两块平行放置的面积为S的金属板，各带电量Q1、Q2,板距与板的线度相比很小。求：

②若把第二块金属板接地，以上结果如何？EIEIIEIIIQ1Q2

①静电平衡时,金属板电荷的分布和周围电场的分布。45EIEIIEIIIQ1Q2解：无限大带电平面：静电平衡条件电荷守恒•P1•P246解得：EIEIIEIIIQ1Q2•P1•P2取向右为正47电场分布：EIEIIEIIIQ1Q2•P1•P248EIEIIEIIIQ1Q2如果第二块坂接地，则

4=0电荷守恒高斯定理静电平衡条件解得：•P49§2

封闭金属壳内外的静电场腔内腔外导体壳的结构特点：两区域：

腔内、腔外两表面：

内表面、外表面内表面

外表面50理论上需说明的问题是：1)腔内、外表面电荷分布特征2)腔内、外空间电场分布特征基本思路:从特例开始-然后得出结论一、腔内无带电体时场的特征内表面处处没有电荷腔内无电场结论51即或者说腔内电势处处相等证明:在导体壳内紧贴内表面作高斯面S。因为导体内场强处处为零，所以S52由高斯定理得高斯面内电量代数和为零，即由于空腔内无带电体，所以因为导体体内场强处处为零531）处处不带电，即处处无净电荷2）一部分带正电荷，一部分带等量负电荷还需排除第2种情况，用反证法证明假设：内表面有一部分带正电荷一部分带等量的负电荷。54这与导体是等势体矛盾。故说明假设不成立！?则电力线从正电荷向负电荷。证明了：腔内无带电体时内表面处处没有电荷

腔内无电场551)导体壳是否带电?2)腔外是否有带电体?未提及的问题在腔内说明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)的电量及分布无关结论56二、腔内有带电体时场的特征用高斯定理证明：S在导体壳中作高斯面S如图，因为导体体内场强处处为零

所以可见57腔内的电场1)与壳内电量q有关2)与几何因素(腔内带电体、腔内表面形状）有关，与壳外电荷无关。（内要影响外）。581)壳是否带电?2)腔外是否有带电体?腔内的场只与腔内带电体电量、形状、位置）及腔内的几何因素、介质有关，与壳外电荷无关

（外不影响内）。未提及的问题或者说在腔内结论59

腔内部的电场：只与腔内带电体（电量、形状、位置）及腔内壁的几何因素、介质有关,或说：在腔内任一点小

结

腔外部的电场：只与腔外带电（电量、形状、位置）及腔外壁的几何因素、介质有关。或说：在腔外任一点60三、静电屏蔽的装置---接地导体壳静电屏蔽：腔内、腔外的场互不影响腔内场:只与内部带电量及内部几何条件及介质有关腔外场:只由外部带电量和外部几何条件及介质决定61思考：不接地行吗？62

屏蔽外电场外电场

空腔导体可以屏蔽外电场,使空腔内物体不受外电场影响。这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等。空腔导体屏蔽外电场

封闭导体壳,壳内外场强的关系63

接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响。导体壳接地，内外电场互不影响——静电屏蔽接地导体电势为零

屏蔽腔内电场：++++++++64例：有一外半径，内半径的金属球壳，在球壳内放一半径的同心金属球，若使球壳和金属球均带有的正电荷。问两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？65解：根据静电平衡的条件求电荷分布作球形高斯面作球形高斯面66根据静电平衡条件作球形高斯面67意味着球壳内表面带作球形高斯面意味着球壳外表面带68总结:69球心的电势70§3.电容器及其电容一、孤立导体的电容电容只与导体的几何因素有关——固有的容电本领。孤立导体的电势定义:(capacitor)71单位:法拉FSI制：72例求真空中孤立导体球的电容(如图)设球带电为

Q解：导体球电势导体球电容介质几何73例：欲得到1F

的电容，孤立导体球的半径应该为多大？解：由孤立导体球电容公式知地球平均半径约为74二、电容器及其电容

由静电屏蔽--导体壳内部的场只由腔内的电量和几何条件决定(相当于孤立)腔内导体表面与壳的内表面形状及相对位置