mathematica实验报告范文(通化师范学院数学系)

PAGEPAGE1实验题目：人口增长问题与曲线拟合数学系0901班1号某某某1.实验问题英国人口学家马尔萨斯（Malthus）根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型.这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，阿单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比.2.实验准备Ｃlear[]清空变量DSolve[]求解微分方程……3.实验分析3.1人口指数增长如果将人口数量看作离散数据，设今年人口为x0,k年后人口为xk,年增长率为r,则有xk=x0(1+r)k.根据国家统计局的数据，1990年我国人口总数为11.3368亿，2000年人口总数为12.6583亿，10年人口平均增长率由xk=x0(1+r)k求得1.096％，以这个增长率进行计算，可预测2010年、2050年全国人口总数分别为14.1161亿、21.831亿（程序1）.80年代我国的人口平均增长率为1.48％，如果按这个增长率计算，2010年、2050年我国人口总数将分别为15.209、27.373亿（程序1），从中能看到我国计划生育政策的效果.我们可以利用微积分的知识对人口做如下分析：记时刻t的人口为x(t),将x(t)视为连续、可微函数，记初始时刻（t=0）的人口为x0，人口增长率为r，于是t到t+△t时间内人口的增长量为x(t+△t)-x(t)=rx(t)△t.令△t→0，可得到如下微分方程利用程序2解得此结果表明人口将按指数规律无限增长（r>0）.因为通常r<<1,所以可用近似关系，这就是指数增长模型的离散近似形式.记y(t)=lnx(t),a=lnx0,则y(t)=a+rt.据此线性关系，我们做下面的实验，使用最小二乘法来拟合美国1790至1990年的人口数据，用t=1,2,…,12表示1790，1800，…各年份，所得的r是指10年的增长率.可以看到19世纪以前美国人口的增长基本符合指数增长模型（程序3）年份179018001810182018301840人口（百万）3.95.37.29.612.917.1年份185018601870188018901900人口（百万）23.231.438.650.262.976.0年份191019201930194019501960人口（百万）92.0106.5123.2131.7150.7179.3年份1970198019902000人口（百万）204.0226.5251.4281.4类似地，按指数模型拟合美国1790年至2000年的人口数据（程序4）.从中可以看出，当用19世纪以后美国的人口统计资料与指数增长模型比较时，出现了相当大的差异.产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著.如果当人口较少时，相对于资源而言，人口增长率还可以看作常数，当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少.许多国家人口增长的实际情况完全证实了这一点.为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数的假设.3.2人口阻滞增长将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),根据前面的分析，r(x)应是x的减函数.此时有一个最简单的假定是：设r(x)为x的线性函数r(x)=r-sx,这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率.设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为xm，称为最大人口容量.当x=xm时增长率应为零，即r(xm)=0,由此确定出s=r/xm.于是上式中r、xm是根据人口统计数据或经验确定的常数，因子（1-x/xm）体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用，求解上述微分方程得（程序5）上述人口增长模型称为阻滞增长模型，容易知道人口增长率dx/dt是关于x的一条开口向下的抛物线，它表明人口增长率随着人口数量x的增加而先增后减，在x=xm/2处达到最大值.x是关于t的一条S曲线，拐点在x=xm/2处，当t→∞时x→xm，如下图（为了编程绘图，取x0＝0.1，xm＝1，r=0.8,这不会影响图形的大致走向，程序6）.前面给出的初始微分方程为：，其中r(x)=r-sx将r(x)代入，得dx/dt=(r-sx)x,两端同时除以x得依据此关系，我们做下面的实验（程序7），使用最小二乘法来拟合美国1800年至1990年的人口数据，要先将数据由（t，x）转换成（dx/dt/x,x），其中年份t依然用自然数代替，t取值为0，1，…，1.实验中用中心差商近似代替微商，即其中h取值为1，通过实验拟合可以求得r、s,再计算xm＝r/s,x0可根据已知数据得到，从而确定了方程x(