爱提分七年级暑假 第12讲-从等式到方程(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱从等式到方程知识精讲等式等式用等号“＝”连接，表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．如这样有等号的式子是等式；如这样不含等号的式子不是等式二．等式的性质等式基本性质等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式．用字母表示为：如果，那么等式基本性质等式两边同时乘以同一个数（或式子），或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍是等式．用字母表示为：如果，那么；如果且，那么等式基本性质等式具有传递性，果，，那么三．方程定义含有未知数的等式叫做方程定义中含有两层含义：①方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；②方程中必定有一个（可以是多个）待确定的数，即未知数．二者缺一不可．方程的解*注意：方程一定是等式,等式却不一定是方程等式有（1）、（2）、（3）、（5）、（6），其中（2）、（3）、（5）、（6）是方程方程的解方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；求得方程的解的过程，叫做解方程．*注意：（1）方程中含有的未知数可以不止一个，对于只含有一个未知数的方程，它的解也叫方程的根．（2）解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．（3）要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．方程相关概念已知数：一般是具体的数值，如中，和是已知数（的系数是，是已知数，但一般不说）．参数：有些情况下，方程的已知数需要用字母表示，习惯上常用等表示，这时等字母叫做参数．未知数是指要求的数，习惯上常用等字母表示．为了指明未知数，我们一般把方程称为“关于的方程”，其中是参数．四．一元一次方程定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，系数不等于的方程叫做一元一次方程．这里的“元”是指未知数的个数，“次”是指含未知数的项的最高次数．形式一元一次方程的标准形式：（，，是已知数）．一元一次方程的最简形式：（，，是已知数）．三点剖析一．考点：等式的性质及一元一次方程的概念．二．重难点：等式的性质及一元一次方程的概念．三．易错点：1．在解方程的过程中，移项不变号；2．去括号时容易漏乘括号内的项或弄错符号．等式的性质例题例题1、下列说法中，正确的是（）A.由，得B.由，得C.由，得D.由，得【答案】A【解析】A、正确．由题意，两边乘即可得到结论；B、错误．时，不成立；C、错误．由，得；D、错误．由，得；例题2、用适当的数或式子填空，使所得结果仍是整式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？（1）若，则_________，这是根据等式基本性质__________，等式两边同时__________（2）若，则_________，这是根据等式基本性质__________，等式两边同时__________（3）若，则_________，这是根据等式基本性质__________，等式两边同时__________（4）若，则_________，这是根据等式基本性质__________，等式两边同时__________【答案】（1）5；1；减5（或加）（2）；2；除以（3）3m；1；加3m（4）18；2；乘3【解析】首先对比等式两边发生的变化，观察是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，得出结论．例题3、运用等式性质进行的变形，正确的是_________（填序号）如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；

④如果，那么；⑤如果，那么；⑥如果，那么；

⑦如果，那么；⑧如果，那么；⑨如果，那么．【答案】④⑥⑧⑨【解析】①错误，在等式左边加c，等式右边减c，等式不一定成立（只有当时成立）；②错误，在等式两边同除以a时，要满足；③错误，在等式两边同除以c时，要满足；④正确，在等式两边同时乘c；⑤错误，看等号左侧的变化，应该是先减c，再减b，而等号右边的变化是先加2b，再加c，再减b．⑥正确，在等式两边同时乘c；⑦错误，在等式两边同除以c时，要满足；⑧正确，恒大于0；⑨正确，在等式两边同时乘例题4、下列利用等式的性质，错误的是（）A.由，得到B.由，得到C.由，得到D.由，得到【答案】B【解析】、在等式的两边同时乘以再加上1，等式仍成立，即，故本选项不符合题意；、当时，，但不一定等于，故本选项符合题意；、在等式的两边同时乘以，等式仍成立，即，故本选项不符合题意；、在等式的两边同时除以不为0的式子，等式仍成立，即，故本选项不符合题意．例题5、根据等式性质，下列结论正确的是（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么【答案】C【解析】A、左边除以2，右边加2，故A错误；B、左边加2，右边加，故B错误；C、两边都除以，故C正确；D、左边除以2，右边乘以2，故D错误；例题6、下列各式中，哪些是等式？，，，，，．【答案】等式：，，，．【解析】用“”连接，表示相等关系的式子，叫做等式随练随练1、设x，y，c是有理数，下列变形正确的是（）A.若x＝y，则x＋c＝y－cB.若，则2x＝3yC.若x＝y，则D.若x＝y，则xc＝yc【答案】D【解析】A、错误．c≠0时，等式不成立；B、错误．应该是：若，则3x＝2y；C、错误．c＝0时，不成立；D、正确．随练2、下列利用等式的性质，错误的是（）A.由a＝b，得到1－a＝1－bB.由，得到a＝bC.由a＝b，得到ac＝bcD.由ac＝bc，得到a＝b【答案】D【解析】当c＝0时，ac＝bc＝0，但a不一定等于b，故D错误。随练3、如果线段a，b，c，d满足ad＝bc，则下列各式中不成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵ad＝bc，∴，∴，．不一定成立的是．随练4、利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子（1）如果，则_____________，_____________（2）如果，则_____________，_____________（3）如果，则_____________，_____________【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论．一元一次方程例题例题1、下列式子是方程的个数有（）①，②，③，④，⑤A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】①没有未知数，②不是等式，⑤不是等式例题2、下列各式中是一元一次方程的是（）A.x－1B.3x＋2＝5C.x2－x＝0D.3x－2y＝1【答案】B【解析】由一元一次方程的概念可知：3x＋2＝5是一元一次方程．例题3、在方程①3x﹣y=2，②x+=1，③=1，④x=0，⑤x2﹣2x﹣3=0，⑥=中，是一元一次方程的有______（填写序号）．【答案】③④⑥【解析】方程①3x﹣y=2，②x+=1，③=1，④x=0，⑤x2﹣2x﹣3=0，⑥=中，是一元一次方程的有③④⑥．例题4、已知是关于的一元一次方程，求的值及方程的解．【答案】，【解析】由一元一次方程的定义可知，，且，所以，原方程即为，解得．例题5、如果方程（m－1）x|m|＋2＝0是表示关于x的一元一次方程，那么m的取值是________．【答案】－1【解析】由一元一次方程的特点得，解得m＝－1．例题6、方程（2a﹣1）x2+3x+1=4是一元一次方程，则a=___．【答案】【解析】由题意得：2a﹣1=0，所以a=．例题7、已知是关于x的方程的一个解，求的值．【答案】【解析】将代入方程，得．因此随练随练1、下列式子是方程的个数有（）①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】D【解析】②、⑤不是等式，其余均是等式，且含有未知数，因此是方程．随练2、下列方程是一元一次方程的是（）A.3x＋1＝5xB.3x2＋1＝3xC.2y2＋y＝3D.6x－3y＝100【答案】A【解析】A、是一元一次方程，故此选项正确；B、不是一元一次方程，故此选项错误；C、不是一元一次方程，故此选项错误；D、不是一元一次方程，故此选项错误；随练3、已知x2m－3＋1＝7是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A.－1B.1C.－2D.2【答案】D【解析】∵x2m－3＋1＝7是关于x的一元一次方程，∴2m－3＝1，解得：m＝2．随练4、关于未知数x的方程（a＋2）x2＋5xm﹣3﹣2＝3是一元一次方程，则a＝________，m＝________．【答案】﹣2；4【解析】∵关于未知数x的方程（a＋2）x2＋5xm﹣3﹣2＝3是一元一次方程，∴a＋2＝0，m﹣3＝1，解得：a＝﹣2，m＝4．随练5、如果x＝－2是方程8－ax－b＝3－2x的根，那么3－4a＋2b＝________【答案】5【解析】把x＝－2代入8－ax－b＝3－2x，可得：8＋2a－b＝3＋4可得：2a－b＝－1，把2a－b＝－1代入3－4a＋2b＝3－（－2）＝5．随练6、若是方程的解，求代数式值．【答案】【解析】将代入方程，解得，然后将代数式化简后代入值即可．拓展拓展1、把方程变形为，其依据是（）A.等式的两边同时乘以B.等式的两边同时除以C.等式的两边同时减去D.等式的两边同时加上【答案】B【解析】由方程变形为，得等式的两边都乘以2（除以），拓展2、如果，那么下列等式不一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、等式的两边同时加上，该等式仍然成立；故本选项正确；B、等式的两边同时减去，该等式仍然成立；故本选项正确；C、等式的两边同时乘以，该等式仍然成立；故本选项正确；D、当时，、无意义；故本选项错误；拓展3、把方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，则下列表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，即．拓展4、已知等式，那么下列等式中不一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、原等式两边都减去即可得，此选项正确；B、原等式两边都加上即可得，此选项正确；C、原等式两边都除以3即可得，此选项正确；D、在的前提下，两边都除以可得，故此选项不一定成立；拓展5、下列方程中，不是一元一次方程的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项正确；B、该方程化简后符合一元一次方程的定义，故本选项正确；C、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项正确；D、该方程为分式方程，故本选项错误；拓展6、已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】①是分式方程，故①错误；②，即，符合一元一次方程的定义．故②正确；③，即，符合一元一次方程的定义．故③正确；④的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④错误；⑤，即，符合一元一次方程的定义．故⑤正确；⑥中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥错误．综上所述，一元一次方程的个数是3个．拓展7、若方程是关于的一元一次方程，则=________【答案】2009【解析】由一元一次方程