九年级上第01讲 一元二次方程定义及解法 讲义+练习

第第1讲讲一元二次方程定义及解法概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、一元二次方程的定义2、一元二次方程的一般式3、直接开方法解一元二次方程4、配方法解一元二次方程教学目标1、掌握一元二次方程的定义.2、掌握一元二次方程的不同解法.教学重点能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.教学难点配方法解一元二次方程.【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：一、课堂导入1、我们都学过哪几种方程？2、观察方程，结合以前学过的知识，你能否求出它的根？3、今天我们就学习一种新的方程——一元二次方程.二、复习预习复习提问1．什么叫做一元一次方程？定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

一般形式：ax+b=0（a、b为常数，a≠0）。一元一次方程标准形式:

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1一元二次方程的定义【教学建议】通过前面的引导，得到学过的几类方程，建议类比方式得出一元二次方程的定义。1．方程的分类：通过上面的复习，引导学生答出：学过的几类方程是没学过的方程是x2-70x+825=0，x(x+5)=150．这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．”据此得出复习中学生未学过的方程是(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．同时指导学生把学过的方程分为两大类：特点总结：（1）该方程为整式方程。

（2）该方程有且只含有一个未知数。

（3）该方程中未知数的最高次数是2。考点考点2一元二次方程的一般式1.一元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，可化为：x2+5x-150=0．从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．2.要判断一个方程是否为一元二次方程的方法：

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程。点拨：①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，她就成为一元一次方程了。反之，如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；

②任何一个一元二次方程，经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先化成一般形式，再判断；

③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以咋确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；

④项的系数包括它前面的符号。如：x2+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x2+4x-1=0的常数项是-1而不是1；

⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。考点考点3直接开平方法直接开平方法回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课例1解方程(2x-1)2=81解:两边直接开平方得：2x-1=±9，解得：x1=-4，x2=5.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．1、本题是解一元二次方程的有关知识，掌握直接开平方法解一元二次方程是解答此题的关键；2、把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解；3、接下来，根据直接开平方法解一元二次方程的方法，结合题目中的方程，一一进行解答即可.考点考点4配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程我们研究方程x2+6x+7=0的解法：将方程视为：x2+2·x·3=-7，即x2+2·x·3+32=32-7，∴(x+3)2=2，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．1.移项:把常数项移到方程的右边;2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;4.开方:5.求解:解一元一次方程;6.定解:写出原方程的解.考点1一元二次方程的定义三、例题三、例题精析类型一一元二次方程的定义例题1例题1下列方程是一元二次方程（）A．x+2y=1B．C． D．例题2例题2【教学建议】本题主要是考察一元二次方程的一般式化简，关注一般式的特征结构是关键。类型二一元二次方程的解例题1例题1已知一元二次方程的一个根是，求代数式的值.类型三直接开平方法例题1例题1方程x2﹣4=0的解是（） A、x=2 B、x=﹣2 C、x=±2 D、x=±4类型四配方法例题1例题1用配方法解方程x2-7x-1=0．

四、课堂运用四、课堂运用基础基础判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．

用配方法解方程时，原方程应变形为（）A.B.C.D.若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为．解方程：（1）；（2）．解：解：巩固巩固一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．B．C．D．用配方法解方程时，原方程应变形为（）A．B．C．D．（1）解方程：．解：（2）若是方程的一个根，求代数式的值．解：拔高拔高将一元二次方程化成的形式，则的值为．已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及的值.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值。Y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4∵(y+2)2⩾0∴(y+2)2+4⩾4∴y2+4y+8的最小值是4.(1)求代数式m2+m+4的最小值；(2)求代数式4−x2+2x的最大值；(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20m的栅栏围成。如图,设AB=x(m)，请问：当x取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?五、课堂小结五、课堂小结1、一元二次方程的特点；

（1）该方程为整式方程。（2）该方程有且只含有一个未知数。（3）该方程中未知数的最高次数是2。

2、一元二次方程的判断方法：

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。3、直接开平方法（1）本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．（2）直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．4、配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．六、课后作业六、课后作业基础基础已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则m的值为（）A．1B．0C．1D．1或1将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+4方程的解为．先化简，再求值：，其中．巩固巩固在解方程时，甲同学说：由于，可令，，得方程的根；乙同学说：应把方程右边化为0，得，再分解因式，即，得方程的根．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是（）A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误对于代数式，通过配方能说明它的值一定是（）A．非正数B．非负数C．正数D．负数一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0，试求a2+b2-c2的值的算术平方根．若是方程的一个根，求代数式的值．答案与解析拔高拔高用配方法将关于x的方程可以变形为，那么用配方法也可以将关于x的方程变形为下列形式（）A.B.C.D.关于x的一元二次方程ax2+bx－2018=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．小明遇到下面的问题：求代数式的最小值并写出取到最小值时的值.经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决