2021-2022学年安徽省阜阳市太和中学高二下学期开学考试数学试题

20212022学年安徽省阜阳市太和中学高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据补集计算求解即可.【详解】因为，，所以.故选：C2．设复数（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的四则运算化简，然后由复数的模的公式可得.【详解】，.故选：B3．已知，那么命题p的一个必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先解不等式，得到不等式的解，利用集合之间的关系，判断充分必要性，得到结果.【详解】，运用集合的知识易知，A中是p的充要条件；B中是p的必要条件；C中是p的充分条件；D中是p的既不充分也不必要条件.故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判段，正确解题的关键是理解充分必要条件的定义.4．如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体中，，，，所以，故选：B5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对函数求导后代入数值即可.【详解】由，有.故选：A.6．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则A．31 B．28 C．25 D．23【答案】D【分析】根据椭圆定义，用m表示出和，再根据离心率求得m的值．【详解】焦点在x轴上，所以所以离心率，所以解方程得m=23所以选D【点睛】本题考查了椭圆定义及离心率，属于基础题．7．已知直线l过原点O，且点，到直线l的距离相等，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根据点到直线的距离公式即可.【详解】∵直线l过原点，并且选项中的直线的斜率都是存在的，故设所求直线的方程为，由已知及点到直线的距离公式可得，解得或，即所求直线方程为或；故选：D.8．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出导函数，只要在上有唯一零点即可得．【详解】由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.故选：B．9．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（

）A． B．9 C． D．10【答案】A【详解】连接P点和另一个焦点即为E，=．故答案为A．点睛：这个题目考查了椭圆的几何意义和椭圆定义的应用；椭圆上的点到两焦点的距离之和是定值，一般题目中出现点到其中一个焦点的距离，都会将点和另一个焦点连接起来，利用定义将两者转化．10．已知圆与直线交于，两点，过，分别作轴的垂线，且与轴分别交于，两点，若，则A．或1 B．7或 C．或 D．7或1【答案】A【分析】由题可得出，利用圆心到直线的距离可得，进而求得答案．【详解】因为直线的倾斜角为，，所以，利用圆心到直线的距离可得，解得或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题．11．已知奇函数，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由求出的值，进而可得的解析式，对求导，利用基本不等式可判断恒成立，可判断的单调性，根据单调性脱掉，再解不等式即可.【详解】的定义域为，因为是奇函数，所以，可得：，所以，经检验是奇函数，符合题意，所以，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增，由可得，即，解得：或，所以的解集为，故选：A.12．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径41=.考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；二、填空题13．在前n项和为的等差数列中，，，则数列的通项公式_________．【答案】【分析】先计算，公差，再利用公式直接写通项公式即可.【详解】因为，，所以，故公差，所以．故答案为：.14．已知四边形为平行四边形，且，，，则顶点的坐标为___________.【答案】【分析】根据相等向量的坐标相同即可求解【详解】设，根据题意，得，即，解得.故答案为：15．若函数在定义域上有零点，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】求导，根据导数求出函数的最小值即可.【详解】，当时，，当时，，在x=1取得极小值，也是最小值，∴最小值为，当时有零点，即时，函数有零点；故答案为：.16．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点A在双曲线C上，，直线与双曲线C交于另一点B，，则双曲线C的离心率为___________.【答案】【分析】根据题目条件设点A和B的坐标，带入双曲线方程即可.【详解】由于，不妨设点A的坐标为，点B的坐标为，有，解得，又由，，有，解得，，将点B的坐标代入双曲线方程，有，，解得，双曲线C的离心率为=；故答案为：.三、解答题17．在正项等比数列中，已知，且，，8成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，证明：数列的前项和.【答案】（1）；（2）详见解析.【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，，8成等差数列可求解，写出通项公式即可（2）由（1）知可得，裂项相消求和即可证明不等式.【详解】（1）设等比数列的公比为，∵，，8成等差数列，∴，即，即，解得，（舍去），∴.所以的通项公式为.（2）证明：由上知，∵，∴，∴，∴，即数列的前项和为.【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式，等差中项，裂项相消法求和，属于中档题.18．已知圆和直线相切于点.(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．【答案】(1)圆的标准方程为，直线的一般方程为；(2).【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可；（2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】(1)解：把点代入圆的方程，可得，解得，得的方程为，即，圆心为，所以，直线的斜率为，由圆的几何性质可知，则直线的斜率为，直线的方程为，即.(2)解：由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心，且直线的斜率为，直线的方程为，即．19．已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式；(2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值.【答案】(1)(2)0【分析】（1）利用切点在切线和曲线上，以及切点处的导数等于切线斜率可得；（2）构造函数，结合零点存在性定理判断两个函数图象有交点，然后可知..【详解】(1)由，可得，∴，∴，又，故，，可知函数的解析式为.(2)记函数，因为，，且的图象在区间上连续，故在区间上有零点，即直线与函数的图象有交点，所以函数图象上的点到直线的距离的最小值为0.20．如图，在五面体中，平面，，，M为的中点，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，令，求出点的坐标，利用空间向量法证明，，即可得证；（2）利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】(1)解：如图建立空间直角坐标系，令，所以，，，，，，，所以，，，所以，，所以，，，平面，所以平面(2)解：由（1）可知平面的一个法向量可以为，由，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为；21．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性与极值点.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由已知，把带入函数，先计算出，然后再求导，计算，最后利用点斜式写出切线方程即可；（2）对函数进行求导，然后进行因式分解，通过对进行分类讨论，比较两根大小，来判断的单调性与极值点..【详解】(1)当时，，则，且，所以所求切线的斜率为，故所求的切线方程为，即.(2)的定义域为，.①当时，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.此时，的极小值点为1.②当时，令，得或，（i）当时，，当时，；当时，.所以在和上单调递增，在上单调递减.此时，的极小值点为1，极大值点为.（ii）当时，对恒成立，所以在上单调递增，无极值点.（ⅲ）当时，，当时，；当时，.所以在和上单调递增，在上单调递减.此时，的极小值点为，极大值点为1.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，的极小值点为1，无极大值；当时，在和上单调递增，在上单调递减，的极小值点为1，极大值点为；当时，在上单调递增，无极值点；当时，在和上单调递增，在上单调递减，的极小值点为，极大值点为1.22．如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.（1）求直线AB的方程；（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：为定值.【答案