第1章 概率论的基本概念课后练习及其详解

1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢

c局便算赢家,若在一赌徒胜

a局(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”

为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.概率论的诞生及应用1.概率论的诞生12.概率论的应用

概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.2基本概念与理论一维随机现象高维随机现象数字特征极限定理

概率论部分3第一章概率论的基本概念

第一节随机事件的基本概念

第四节等可能概型(古典概型)

第三节频率与概率

第五节条件概率

第六节事件的独立性第二节事件的关系和运算4一、随机现象

二、随机试验第一节随机事件的基本概念五、小结三、样本空间样本点四、随机事件的概念5在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象

“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例：自然界所观察到的现象:确定性现象、随机现象一、随机现象

6在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1

“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.2.随机现象“函数在间断点处不存在导数”等.结果有可能出现正面也可能出现反面.确定性现象的特征条件完全决定结果7结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.实例3

“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.实例2

“用同一门炮向同一目标发射多发同一种炮弹,观察弹落点的情况”.结果:“弹落点会各不相同”.8实例4

“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为:

正品

、次品.实例5

“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.实例6“一只灯泡的寿命”可长可短.9随机现象的特征条件不能完全决定结果随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?101.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义：在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.二、随机试验11说明：

1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”、或“测量”等.实例

“抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.分析：

2.随机试验通常用E来表示.(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;121.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验(2)试验的所有可能结果:正面，反面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.133.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.4.考察某地区10月份的平均气温.5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.14三、样本空间样本点规定不含任何元素的空集为不可能事件，用表示。定义1.1：对于随机试验E，它的每一个可能结果称为样本点，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为E的样本空间或必然事件，用

或S表示。15TH16THTHHHTT17THTHHHTT1次0次2次有限样本空间18在某一批产品中任选一件，检验其是否合格19记录某大超市一天内进入的顾客人数

在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命

观察某地明天的天气是雨天还是非雨天

无限样本空间20注意1.样本空间的元素可以不是数；2.样本空间至少有两个样本点。21随机事件：随机试验E的样本空间S的子集(或某些样本点的集合），称为E的随机事件,简称事件.四、随机事件的概念22在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品

满足这一条件的样本点组成的一个子集

称为随机试验的一个随机事件

23基本事件：随机试验有两个基本事件和

随机试验有三个基本事件、和样本空间的两个特殊子集

它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件

它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生称之为不可能事件

由一个样本点组成的单点集

24写出掷骰子试验的样本空间,基本事件,

事件A—出现偶数,事件B—出现奇数例：事件C=“出现的点数小于7”，事件D=“出现的点数大于6”

基本事件解：用

表示掷骰子出现的点数为

25(1)样本点也是一个随机事件，它是不可分割的基本的随机事件(2)随机事件是由样本点构成的，它可以分解成样本点(基本随机事件)的并集样本点←→元素随机事件←→集合随机事件A

发生

A

中的某一个样本点发生样本点

发生

所有包含这个

的随机事件都发生区别样本点与随机事件26

五、小结随机现象的特征:1条件不能完全决定结果.2.随机现象是通过随机试验来研究的.(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.随机试验27每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件必然事件、不可能事件是两个特殊的随机事件3.随机试验、样本空间与随机事件的关系28一、随机事件的关系第二节事件的关系和运算三、小结二、随机事件的运算29

1.包含关系若事件A出现,必然导致B出现,则称事件B包含事件A,记作实例

“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示

B包含

A.

BA一、随机事件间的关系30

2.相等关系A

B

而且B

A.

则称事件A与事件B相等,记作A=B.3.互不相容(互斥)关系若事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互不相容.实例1:

抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.31“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示A与B互斥

AB互斥实例2:抛掷一枚骰子,观察出现的点数.即AB=321.事件的和(并)实例

某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件

A与

B的并.

BA二、随机事件间的运算332.事件的交

(积)推广34图示事件A与B

的积事件.

ABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.35和事件与积事件的运算性质363.事件的差图示A与B的差

AB

B实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.A事件“A出现而B不出现”，称为事件A与B的差.记作A-B.37若事件A、B满足则称A与B为互逆(或对立)事件.A的逆记作实例

“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.

BA4.事件的互逆（对立）对立38对立事件与互斥事件的区别

ABABA、B对立A、B互斥互斥对

立39例1设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;40解(6)不多于一个事件出现;41事件间的运算规律42逆分配律43例3

化简事件解：

原式44例4

在图书馆中随意抽取一本书，表示数学书，表示中文书，表示平装书.——抽取的是精装中文版数学书——精装书都是中文书——非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则：事件451、注意下列基本关系：基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

三、小结4647

2、概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间,必然事件不可能事件基本事件随机事件A的对立事件A出现必然导致B出现事件A与事件B相等全集空集元素子集A的补集A是B的子集A集合与B集合相等48事件A与事件B的差A与B两集合的差集事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素事件A与事件B的和A集合与B集合的并集事件A与B的积事件

A集合与B集合的交集491.若A是B的子事件，则

A

B=()，AB=()2.设

A与B同时出现时

C也出现，则(

)

①

A

B是

C的子事件；

②

C是

A

B的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.课堂练习③BA50

3.

设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为（）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4.设x

表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系①A={|x

a|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④A

B相容不相容51第三节频率与概率历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出52

柯尔莫哥洛夫

(A.H.Колмогоров1903-1987)

1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德等国的外籍院士及皇家学会会员.为20世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家53一.频率的定义与性质描述一个随机事件发生的频繁程度1.频率定义在相同的条件下，进行了

n次重复试验，记

nA

是A

发生的次数(又称为频数)；则定义随机事件

A发生的频率为

fn(A)=——。

nA

n542.

频率的性质

(1)(非负有界)0≤fn(A)≤1;(2)(规范性)

fn(S)=1;(3)(有限可加)

如果A1，A2，···，Am

两两互不相容，则有：

fn(A1＋A2＋···＋Am)=fn(A1)＋fn(A2)＋···＋fn(Am)55实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做

7遍,观察正面出现的次数及频率.试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波动最小随n的增大,频率

f呈现出稳定性56(1)

频率具有随机波动性，即对于同一个随机事件来说，在相同的试验次数下，得到的频率也不一定会相同。(2)

频率还具有稳定性，它总是在某一个具体数值附近波动，而随着试验次数的不断增加，频率的波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。大量的随机试验表明：频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性，称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。57

概率的统计定义在相同条件下重复进行的n

次试验中,事件A

发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,

且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A

的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用二.概率的定义581.定义:

S

是随机试验E

的样本空间，如果对于

每一个随机事件

A

定义一个实数

P(A)，满足：(1)

(非负性)对任意的随机事件

A，有P(A)≥0；(2)

(规范性)对必然事件

S，有P(S)=1；(3)(可列可加)

对于任意一列两两不相容的随机事件

A1，A2，···，则有：

P

(A1＋A2＋···)=P

(A1)＋P

(A2)＋···则这个集合函数

P(A)

就称为随机事件

A

的概率。

概率的公理化定义59(1)

不可能事件的概率为零：P

(

)=0；(2)

有限可加性：对于任意有限个两两不相容的随机事件

A1，···，Am，则有：

P

(A1＋···

＋Am)=P

(A1)＋···

＋P

(Am)；(3)

概率具有单调性：如果A

B，则P

(A

)≤P

(B

)；(4)随机事件的概率不超过1：P

(A

)≤1。2.概率的基本性质证明：利用概率定义中的可列可加以及非负性等。60三.概率的几个重要公式1.对立事件的概率，P

()=1–P

(A

)。2.减法公式，P

(B–A)=P

(B

)–P

(AB

)。3.加法公式，P

(A∪B

)=P

(A

)+P

(B

)–P

(AB

)。推论：P

(A∪B

)≤

P

(A

)+P

(B

)特别的当A

B，则P(B–A)=P(B)–P(A)61推广一般的加法公式对于任意的n

个随机事件A1，A2，···，An

，有

P

(A1∪A2∪···∪An)=练习：利用概率的加法公式证明：P

(A∪B∪C

)=P

(A)+P

(B)+P

(C)–P

(AB)–P

(BC)–P

(AC)+P

(ABC)62例1：假定“B

发生而A

不发生”

的概率是0.2，计算“A

发生或者B

不发生”的概率。分析：转化成符号表示，即已知P

(B–A)=0.2，需要计算的是概率：解法1.利用对立事件的概率公式解法2.利用概率的加法公式□63例2

：假定

P(A)=0.3，P(B)=0.5，分别计算(1)

A、B

不相容；(2)

A

B；(3)P(A∪B)=0.7时，概率P(B–

A)的值。

分析：由减法公式，P

(B–A)=P

(B

)–P

(AB

)

只需要计算出概率P(AB)。(1)

A、B互不相容即AB=

，得到

P

(B–A)=0.5；(2)A

B等价于AB=A，得到P(B–A)=0.2；(3)利用加法公式的另一形式：

P(A∪B)=P(A)+P(B–A)，得到P(B–A)=0.4。64例3

假定

P(A)=0.6，P(B)=0.7，

(1)什么情况下

P(AB)最大？最大值是多少？

(2)什么情况下P(AB)最小？最小值又是多少？解：(1)

对任意事件

A、B，P(AB)有一个上界，

P(AB)≤

min{P(A)，P(B)}；

(2)

根据概率的加法公式，

P

(A∪B

)=P

(A

)+P

(B

)–P

(AB

)

当

P(A∪B

)最大时，P(AB)

最小。A

B时P(AB)最大，最大值就等于P(A)=0.6A∪B=S

时P(AB)最小，最小值就是P(AB)=0.365例4：假定某学院一年级新生共1000人都参加期末

3门课程(数学、英语、政治)考试。已知数据如下：问三门课程都不及格的有多少人？或者等价的，全部课程都不及格的学生占多大的比例？730690810数学780英语850政治940100065066分析：从这1000个学生中随机地选取一个，分别用A、B、C表示如下事件：

A={数学及格}，B={英语及格}，C={政治及格}

需要求出的是概率：根据题意，有：

P(A)=0.78,P(B)=0.85,P(C)=0.94,P(AB)=0.73,P(AC)=0.69,P(BC)=0.81,P(ABC)=0.65;

利用概率的加法公式可算出P

(A∪B∪C

)=0.99，因此随机选一个学生，他的三门课程都不及格的概率=1–P

(A∪B∪C

)=0.0167例5：小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,

两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解：事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率

(2)至少有一类问题能答出的概率

(3)两类问题都答不出的概率(2)(3)68第四节等可能概型

(古典概型)一.等可能概型

(古典概型)的定义如果一个随机试验

E

满足：(1)试验的样本空间

S只包含有限个样本点，(2)

每一个样本点发生的可能性相同。这种随机试验就称为等可能概型，或古典概型。古典概率的计算公式P(A)=———————————————随机事件A包含的样本点个数样本空间S包含的样本点总数69例1：抛一枚均匀硬币三次，计算P{恰好出现一次正面

}。提示：这里有两种构造样本空间的形式，①以随机试验的全部结果构造

S1={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，

THT，TTH，TTT}

因此P(A)=3/8；古典概型问题中，样本空间的构造必须保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。此解法不正确，因为各基本事件发生的可能性不等。②以正面出现的次数构造

S2={0，1，2，3}因此P(A)=1/4。701.加法原理与乘法原理假设做一件事情可以采用A

或B

两类不同的方式，A方式有n

种不同的方法可以完成这件事，B

方式有m

种不同的方法可以完成这件事，则完成这件事情一共有n＋m

种不同的方法。如果有若干类方式，就把所有方式的各种方法全部相加二.排列组合的有关知识加法原理71则从甲城市到乙城市一共有：2＋4＋3=9条线路

：2

：4

：3城市甲城市乙例2：分析两颗均匀骰子抛掷出的点数和{2，3，…，12}的全部情况，它们各自对应多少个样本点？72假设做一件事必须经过A

与B

两个不同的步骤，步骤A包含了n

种不同的方法，步骤B包含了m

种不同的方法，则完成这件事情一共有n×m

种不同的方法。如果有若干个步骤，就把所有步骤的各种方法全部相乘乘法原理73

：2

：4

：3城市甲城市乙乡村丙

2

3从甲城市到丙乡村的线路一共有：9×(3＋2)条。74从

n

个不同的物体中，无放回地任意取出

m

个(1≤

m

≤

n)排成有顺序的一列，称为

n

取

m

的不可重复排列

(又称为：选排列

)

。(1)不可重复的排列2.基本的排列组合公式不同的排列方法一共有：

Pnm=n×(n–1)×…×(n–m+1)=————例如：从26个英文字母中任取2个字母排列，所有不同的方式一共有P262=26×25=650。

n!(n–m)!75思考1：假定40个人的生日都是随机地分布在一年的365

天中，则“没有两个人的生日相同”所包含的不同排列方式一共有P36540

。

把m

个不同的小球随机地放进n个不同的盒子中，每个盒子里的小球最多只能有一个。所有不同的放法一共有Pnm

种。有限制放球模型

不可重复排列76(2)可重复的排列从n个不同元素中允许放回地任意取m个出来排成有顺序的一列(即取出的这些元素可以相同)。所有不同的排列方式一共有

n×n×…×n=nmm例如，一个城市的电话号码是

8位数字，那么理论上这个城市可以容纳

108

，即一亿个电话。足球彩票有313种可能，可能等等。77无限制放球模型

允许重复排列把m

个不同的小球随机地放进n个不同的盒子中，每个盒子里的小球个数不加任何限制。所有不同的放法一共有nm

种。思考2：假定40个人的生日都是随机地分布在一年的365

天中，则所有不同的排列方式一共有36540

。

78(3)二项式组合从n个不同元素中不允许放回，任意取m个(

m

≤

n)来构成一个集合，称为

n

取

m

的组合。构成这个集合的不同的组合方法一共有Cnm

。几个基本的组合公式：

Cnm=Cnn–m

，Cn0=Cnn=1，

Cnm=——————=——

n!Pnmm!(n–m)!m!79例4：某人的

10张100元纸币中有

3张假钞，现在从中随机抽出

4张。

则所有不同的取法一共有：

恰好只取出一张假钞的所有取法共有：C104=——————=210种，C31×C73=3×————=105种，恰好只取出一张假钞的概率为105/210=0.5，同理，取到的全是真币的概率为35/210=1/6。思考3：假如这是一个赌局。当取到的4张都是真币，则归你所有；否则输100元。你是否愿意参加？

10×9×8×74!

7×6×53!80例如，把15个学生平均分到3个班里，每班

5个，则所有不同的分配方案有：__________(4)多项式组合把n

个不同的元素分成k个部分，各个部分包含的元素个数分别是：m1，m2，…，mk

；则全部不同的分配方式一共有：二项式组合的推广

15!5!×5!×5!81(2)介绍的4种排列组合方式都具有等可能性。Remark(1)排列与组合的区别在于：

排列必须考虑顺序，而组合不考虑顺序。(3)排列与组合都可以用来构造样本空间。古典概率的计算，一般是先求出样本空间里的样本点总数，再从中挑选出随机事件包含的样本点个数。一个接一个取：排列；一次取若干个：组合82三.古典概率的一些典型模型例5

：在

N

件产品中包含了

M

件次品，分别采取无放回与有放回这两种抽样方式从中随机取出

n

件产品，求恰好取出了

k

件次品的概率。解.①(无放回抽样的情况)

把所有的产品编号，样本空间构造成：从N

件不同产品中同时取出n

件产品的所有的二项组合方式；因此，样本空间里的样本点总数一共有CNn

。1.随机抽样模型83利用乘法原理，“取出的n

件产品中包含了

k

件次品”这个随机事件的讨论分解成两个步骤：因此，无放回抽样时恰好取出k

件次品的概率为：概率论中称为是超几何分布的概率公式M

件次品中取

k

个次品CMkN–M

件合格品取出n–k

件CN–M

n–k84②

(有放回抽样的情况)

仍然把所有产品编号，样本空间构造为：一个接一个从

N件产品中取出n件产品的所有不同的有放回排列方式；此时，样本空间中的样本点总数一共有Nn

个。取出的

n

个产品中究竟哪

k

个是次品CnkM

件次品中取

k

个次品

M

kN–M

件合格品取出n–k

件(N–M)

n–k因此，有放回抽样时恰好取出k

件次品的概率为：概率论中称为是二项分布的概率公式85购买彩票的“秘诀”从1~35个号码中随机抽取7个号码，全部可能一共有：C357=6,724,520奇数号码与偶数号码之比：

5:2=C185×C1724:3=C184×C1733:4=C183×C174

0.17330.30940.288886每个盒里最多一个小球，即有限制的放球模型，包含的样本点个数是PNn

个。例6：把

n

个小球随机放进

N(n

≤

N)个盒子里，即每个小球都以同样的概率

1/N

落入某个盒子中。计算每个盒子里最多只有一个小球的概率。解.由于每个小球都可以被放进N

个盒子中的任何一个，因此根据无限制的放球模型，样本空间中包含的样本点总数有Nn个；2.随机分配模型

PNn

Nn因此，每个盒子最多一个小球的概率是

p=——。87生日问题

假定每个人的生日在一年

365天里是等可能的，随机挑选

n(n

≤365)个人，那么至少有两个人的生日相同的概率是：p=1–———n20233040506480100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9990.9999997

P365n

365

n分房问题88解.对复杂随机事件的概率，讨论它的对立事件例7

一颗骰子掷

4次至少得到一个六点与两颗骰子掷

24次至少得到一个双六，哪一种情况更容易出现？3.德·梅尔问题“一颗骰子掷

4次”一共有64种可能情况，其中，“一个六点都没有出现”包含了54种；因此，一颗抛4次至少一个六点的概率为：p1=1–——≈0.52；

54

6489同理，“两颗骰子掷

24次”一共有3624种可能，其中，“一个双六都没有出现”包含了3524种；因此，两颗抛24次至少一个双六的概率为：即，更可能的是一颗抛4次至少出现一个六点。思考4

抛掷两颗骰子，最可能出现的点数和是哪一个？p2=1–———≈0.49

35

24

36

24901、n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。课堂练习912、n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：

1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n

1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n

2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n

2)种可能。由此得所求概率为：923、

将

15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有93因此所求概率为(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为944、某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周内接待12次来访共有95小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222

12次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为96

5（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率1/N被分配在间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)某指定间房中各有一人

;(2)恰有间房，其中各有一人；

(3)某指定一间房中恰有人。

解先求样本空间中所含样本点的个数。首先，把n个人分到N间房中去共有种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。97(2)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为

(1)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为

(3)某指一间房中恰有m人，可能的分法为

进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为

:（1）

（2）

（3）

98引例袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球.

现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.

若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？设

A

表示任取一球，取得白球；

B

表示任取一球，取得木球.古典概型第五节条件概率一.条件概率的定义99所求的概率称为在事件A

发生的条件下事件B

发生的条件概率。记为解

列表白球红球小计木球426塑球314小计7310同除10100设A、B为两事件,P(A)>0,则1.定义从而有称

为事件

A

发生的条件下事件

B

发生的条件概率，记为:101注：条件概率也是概率,故具有概率的性质：

非负性

归一性

可列可加性

102（1）古典概型

可用缩减样本空间法（2）非古典概型

用定义与有关公式条件概率的计算方法103例1

某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?

设A表示“能活20岁以上”的事件;B表示“能活25岁以上”的事件,则有解104

10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：设A={第一个取到次品}，

B={第二个取到次品}，例2用缩小样本空间的思想也可得到答案105条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系若一般地条件概率无条件概率1062.乘法公式(计算随机事件交事件概率的公式)乘法公式

如果

P(A)

＞

0，则有

P(AB)=P(A)

P(B|A)一般的乘法公式

设A1

，A2

，…，An

是任意的n

个随机事件，并且P(A1A2…An)＞0

，则有：

P(A1A2…An)=P(A1)×P(A2|

A1)×P(A3

|A1A2)×…×P(An－1

|

A1A2…An－2)×P(An

|

A1A2…An－1)相应地

如果

P(B)

＞

0，则有

P(AB)=P(B)

P(A|B)107例3、

假定

盒中有1个黑球与

n–1个白球，

n

个人依次各取一个小球，问第

k(1≤

k

≤

n)

个人取到这个黑球的概率是多少？

第一种解法：古典概型的理论。不妨把黑球编成

1号，其余白球依次为2，…，n。所有

n

个人的全部取球方式有

n!

种，而第

k个人取到黑球则有(n–1)!种情况，因此，所求的概率与k

无关，为1/n

。抽签结果与抽签顺序无关第二种解法：利用乘法公式求解。108P{第一个人取到黑球}=1/n

；P{第二个人取到黑球}=P{(第一个人取到白球)∩(第二个人取到黑球)}=P(第一个人取到白球)

×P{(第二个人取到黑球)|(第一个人取到白球)}=——×——=—同理，第三个人取到黑球的概率是：——×——×——=—；n–111

n

n–1nn–1n–211

n

n–1n–2n109

······

对于任意第k

个人的情况，利用若干个随机事件交事件的乘法公式，他取到黑球的概率仍然是：实际上，如果有m

个黑球，n–m个白球，n

个人依次无放回各取走一个小球。则任意的第k

个取到黑球的概率就是m/n

，与k

无关(证明要用到全概率公式)。n–1n–2n–

k+111

n

n–1n–

k+2n–

k+1n——×——×…×————×————=—。110二.全概率公式与Bayes(贝叶斯)公式1.样本空间

S

的划分(或完备事件组)样本空间也可以被划分成无穷多个随机事件的和定义：如果随机事件A1，A2，…，An

满足：

(1)Ai∩Aj=

,对所有的

i

≠

j

；

(2)A1∪A2∪…∪An=S.

则称A1，A2，…，An

是样本空间S

的一个划分。思考

A–

B、B–

A、AB、是否构成S

的一个划分。

1112.全概率公式与贝叶斯公式对任意的

m≥1，有：假定随机事件组A1，…，An

是样本空间S

的一个划分，B

是任意的一个随机事件，则：全概率公式贝叶斯公式这两个公式也适用于对样本空间的无穷划分112图示证明:化整为零各个击破113全概率公式贝叶斯公式若干原因结果如果把随机事件B

看成是结果，随机事件组A1，…，An

看成可能导致结果B

发生的若干原因，贝叶斯公式在决策理论中有重要应用：不断地根据新得到的信息来修正原来的观点。114例4产品使用的元件由三个工厂提供，数据如下：厂家次品率所占份额甲厂0.020.15乙厂0.010.80丙厂0.030.05(1)随机从仓库取一件，求取到次品的概率；(2)如果取到次品，最可能是来自哪个工厂的产品？最不可能的又是哪个工厂的？解.以A、B、C

分别表示取到的这个元件来自工厂甲、乙、丙，D表示这个元件是次品。因此已知：

P(A)=0.15,P(B)=0.8,P(C)=0.05;P(D|A)=0.02,P(D|B)=0.01,P(D|C)=0.03.115(2)根据Bayes公式，

P(A|D)=——————=—————=0.24，同理，P(B|D)=0.64，P(C|D)=0.12。这个次品最有可能是乙厂，最不可能是丙厂的。(1)根据全概率公式，P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.0125；所求的两个问题既为:需要求出P(D)，以及比较三个条件概率：P(A|D)，P(B|D)，P(C|D)的大小。P(A)P(D|A)0.15×0.02

P(D)0.0125116“先验概率”与“后验概率”先验概率：过去经验或知识后验概率：有新的信息以后对过去认识的修正厂家次品率所占份额条件概率甲厂0.020.150.24乙厂0.010.800.64