专题02一元二次方程的解法

专题02一元二次方程的解法经典考点经典考点：一、一元二次方程的基本解法:开平方法,配方法.公式法,因式分解法.二、配方法的灵活运用,必须区分:（1）代数式配方:例：3x2+6x﹣4一化1：二次项系数化为1—提取二次项系数；二配：加减一次项系数一半的平方；三写：写成完全平方的形式；四展开：展开合并同类项即可。典例：3x2+6x﹣4=3（x2+2x）﹣4=3（x2+2x+1212）﹣4=3[（x1）21]4=3（x1）27方程配方:一移、常数项到右边；二化：次项系数化为1—两边同除以二次项系数；三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方。四写：把方程左边写成完全平方的形式，方程右边直接合并同类项。五求解，根据平方根的定义，写出两个根，并化简。典例：:3x2+6x﹣4＝0，移项，x2+2x=43方程两边同时除以3，得得x2+2x=配方，得x2+2x+1=43则（x+1）2=7所以，x+1＝±213所以，x1=213-1，x2三、公式法的使用注意事项。使用公式法，必须先把方程化成一般式，然后分类讨论：当Δ=b24ac≥0时，才可以代入根公式。当Δ=b24ac<0时，方程没有实数根。 四、根的判别式的灵活运用(1)Δ=b24ac>0方程有两个不相等的实数根。(2)Δ=b24ac=0方程有两个不相等的实数根。(3)Δ=b24ac<0方程没有实数根。强调：逆用时，方程有实数根，则Δ=b24ac≥0实战训练实战训练一、配方法解方程基础练1．用配方法解下列方程：(1)x2(2)x2(3)2t(4)2x【答案】(1)x(2)x(3)t(4)x【详解】（1）移项，得x2配方，得x2∴(x-2)2∴x-2=3或x-2=-3，∴x1（2）移项，得x2配方，得x2∴(x+4)2∴x=-4±5，∴x1（3）2t移项变形，得t2配方，得t2∴t-7∴t-∴t1（4）2x移项变形，得x2配方，得x2∴x-7∴x-∴x1二、配方法提升含字母的方程2．用配方法解关于x的方程：x2【答案】x【详解】解：x2∴x2-2ax+a解得：x=a±2b，∴原方程的解为：x13．用配方法解方程：(x-1)2【答案】x【详解】解：由(x-1)2移项得(x-1)2配方得(x-1)2+2(x-1)+1=2，即所以原方程的解为：x14．已知关于x的一元二次方程(a-2)x(1)求a值；(2)用配方法解这个方程．【答案】(1)a=-2(2)x1=3【详解】（1）解：由题意得：a2解得a=-2．（2）解：当a=-2时，原方程为-4x整理得：x2x2x2x-12∴x-1=±2，∴x1=3三、配方法的应用求代数式最值与新定义5．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于【答案】见解析【详解】解：x∵x+42∴x+42故无论x取何实数，代数式x2+8x+17的值总大于6．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a²+4a+3．解：原式：=a²+4a+4-1=(a+2)²-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1)②M=2a2-4a+6，解：M=2a²-4a+6=2(a²-2a+1)+6-2=2(a-1)²+4∵2∴当a=1时，M有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解x²-4x-12；(2)若M=4x2+4x-1，【答案】(1)(x-6)(x+2)(2)当x=-12时，M【详解】（1）x²-4x-12=(=(x-2)=(x-6)(x+2)．（2）M=4=(4=(2x+1)2∵∴∴当x=-12时，M7．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2例如：分解因式x2例如：求代数式2x2+4x-6的最小值为2x2+4x-6=2x(1)分解因式：m2-4m-5=(2)当a为何值时，多项式-a(3)当a，b为何值时，多项式a2【答案】(1)m+1m-5(2)2，22；(3)a=-2，b=1，20．【详解】（1）解：m2（2）解：∵-a∴当a=2时，多项式-a2+4a+18（3）（3）∵a2∴当a=-2，b=1时，多项式a2+3b8．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+(1)【解决问题】数11“完美数”（填“是”或“不是”）；数53“完美数”（填“是”或“不是”）；(2)【探究问题】已知x2+y2(3)【拓展提升】已知S=2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），要使S为【答案】(1)不是，是(2)1(3)当k=36时，S为“完美数”，理由见解析【详解】（1）解：数11不能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，不是53=4+49=22+72，数53故答案为：不是，是；（2）解：已知等式变形得：x2即x-22∵x-22≥0，∴x-2=0，y+1=0，解得：x=2，y=-1，则x+y=2-1=1．故答案为：1；（3）解：当k=36时，S为“完美数”，理由如下：S=2==x∵S是完美数，∴x2∴k=12四、公式法解方程一找二判三代入9．用公式法解方程：(1)x2(2)2xx-3【答案】(1)x1=-1+(2)x1=3+2【详解】（1）xa=1，b=2，c=-6∴Δ∴x=解得：x1=-1+7（2）2x化简得xa=1，b=-6，c=1∴Δ∴x=解得：x1=3+2210．用公式法解下列关于x的方程：(1)x2(2)1a【答案】(1)当b2+4c≥0时，x1=b+(2)x1=【详解】（1）∵Δ=b2+4c，∴当b2当b2（2）原方程可化为：x2∵Δ=2∴原方程的解为：x1=2五、根的判别式的灵活运用。11．已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：该一元二次方程总有两个实数根；(2)若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)m≥2【详解】（1）证明：Δ=∵Δ=∴无论m取任何值，方程都有两个实数根．（2）∵x=(m+4)±

∴x1=2，∵方程只有一个小于4的根，∴m+2≥4，∴m≥2．12．证明：方程x-1x-2【答案】见解析【详解】证明：x-1x-2=k∴a=1，b=-3，c=2-k∵Δ=∴方程有两个不相等的实数根．13．已知关于x的一元二次方程x2+kx+k-2=0．求证：无论【答案】见解析【详解】证明：∵a=1，b=k，c=k-2，∴b2∵k-22∴k-22∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．14．已知关于x的方程mx(1)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰△ABC的底边长a=1，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)5【详解】（1）证明：∵Δ=∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）解：∵等腰△ABC的底边长a=1，∴b=c，∵b、c恰好是这个方程的两个根，∴该方程的根有两个相等实数根，∴Δ解得：m=1∴原方程为12解得：x1∵2、2、1能组成三角形，∴该三角形的周长为2+2+1=5．六、根据根的的情况，求参数的取值（范围）。15．当m取何值时，关于x的方程x2(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？【答案】(1)m<2(2)m=2(3)m【详解】（1）解：∵a=1，b=m-2，c=1∴Δ=b由题意，得：Δ=-4m+8>0∴m<2；（2）由题意，得：Δ=-4m+8=0∴m=2；（3）由题意，得：Δ=-4m+8<0∴m>2．16．若关于x的k+1x2+2kx+k=0【答案】k<0且k≠-1【详解】①当k+1=0时，即k=-1时，方程为-2x-1=0，只有一个实数根，不符合题意，②当k≠-1时，方程为一元二次方程，其中a=k+1，b=2k，c=k，∴Δ==4=-4k，要使方程有两个不相等实数根，则Δ=-4k>0∴k<0，∴k<0且k≠-1．综上所述，k<0且k≠-1．17．已知关于x的方程k+1(1)当k取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)k=-1(2)k<1且k≠-1【详解】（1）解：当k+1=0时，得：k=-1，此时-2k-1则方程4x-2=0为一元一次方程，它的根是x=1∴当k=-1时，方程只有一个根；（2）∵关于x的方程k+1x∴k+1≠0-2解得：k<1且k≠-1，∴k的取值范围是k<1且k≠-1．18．若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有实数根．求实数【答案】m≤【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ∴m≤9七、三种解方程方法的灵活选用。19．解下列方程：(1)x2(2)4x(3)2x-32【答案】(1)x1=2+(2)x(3)x1=【详解】（1）x解：x2∴(x-2)2∴x-2=±∴x1=2+（2）4解：∵a=4，b=-6，c=-3，∴Δ=∴x=6±∴x1（3）2x-