甘肃省兰州市高三第一次诊断性考试文数试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精甘肃省兰州市2017届高三第一次诊断性考试文数试题第Ⅰ卷一、选择题1。已知集合QUOTE,QUOTE，则QUOTE（）A。QUOTEB。QUOTEC。QUOTED.QUOTE【答案】A2.设复数QUOTE（QUOTE为虚数单位），QUOTE的共轭复数为QUOTE，则QUOTE(）A。1B.QUOTEC。2D。QUOTE【答案】C【解析】因为QUOTE，所以QUOTE，QUOTE,故选C.3.已知等差数列QUOTE的前QUOTE项和为QUOTE,若QUOTE，QUOTE，则QUOTE（)A。45B。90C.120D。75【答案】B【解析】因为QUOTE是等差数列,设公差为QUOTE，在QUOTE，解得QUOTE，QUOTE，故选B.4。已知某种商品的广告费支出QUOTE（单位：万元）与销售额QUOTE(单位：万元）之间有如下对应数据：2456830405060根据表中的全部数据,用最小二乘法得出QUOTE与QUOTE的线性回归方程为QUOTE，则表中QUOTE的值为(）A。45B.50C.55D.60【答案】D【解析】QUOTE，因为回归线必过样本中心点QUOTE，将此点代入QUOTE，可解的QUOTE。故D正确.5.下列命题中，真命题为（)A.QUOTE，QUOTEB。QUOTE，QUOTEC。已知QUOTE为实数,则QUOTE的充要条件是QUOTED.已知QUOTE为实数,则QUOTE，QUOTE是QUOTE的充分不必要条件【答案】D6.某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.QUOTEB。QUOTEC。QUOTED。QUOTE【答案】A7。设变量QUOTE满足不等式组QUOTE,则目标函数QUOTE的最小值是（)A。5B。7C.8D。23【答案】B【解析】根据已知，可先画出约束不等式组所表示的区域,如下图QUOTE所示:由于目标函数QUOTE图象越往右上越大，且其斜率绝对值小于QUOTE斜率绝对值，作图可知，QUOTE在QUOTE点取到最小值，点坐标可通过联立直线方程求解QUOTE,解得QUOTE，代入目标函数QUOTE，故目标函数的最小值为QUOTE.故本题正确答案为B。点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8.如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》“更相减损术”．执行该程序框图，若输入QUOTE的值分别为6，8，0时，则输出的QUOTE(）A。3B.4C。5D.6【答案】B9。已知圆QUOTE和两点QUOTE，QUOTEQUOTE，若圆QUOTE上存在点QUOTE，使得QUOTE，则QUOTE的取值范围是（）A。QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【答案】D【解析】设点QUOTE的坐标为QUOTE，QUOTE，QUOTEQUOTE，QUOTEQUOTEQUOTE即QUOTEQUOTEQUOTE所以QUOTE。答案：D.10。函数QUOTEQUOTE，如果QUOTE，且QUOTE，则QUOTE（）A.QUOTEB。QUOTEC。QUOTED。1【答案】C点睛：本题主要考查的正弦型三角函数的图像和性质，根据三角函数的“五个关键点”可以从图像中得到QUOTE，QUOTE，求得函数的解析式QUOTE,由QUOTE，可知QUOTE即得结果.11.已知双曲线QUOTEQUOTE的左，右焦点分别为QUOTE，点QUOTE为双曲线支上一点,若QUOTE，则双曲线QUOTE的离心率取值范围为（）A.QUOTEB。QUOTEC。QUOTED。QUOTE【答案】A【解析】根据双曲线定义，QUOTE，且点QUOTE在左支，则QUOTE,设QUOTE，QUOTE,则QUOTE，QUOTE,则QUOTE,QUOTE,在QUOTE中,QUOTE，则离心率QUOTE。∴QUOTE.故选A。点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由QUOTE和QUOTE得到两个方程三个未知数，为运算简洁，设QUOTE,QUOTE，整理方程可得到QUOTE,QUOTE,利用三角形两边之和大于第三边得不等关系即可求得离心率的范围.12。设函数QUOTE是定义在QUOTE上的偶函数，且对任意的QUOTE,都有QUOTE．当QUOTE时,QUOTE．若直线QUOTE与函数QUOTE的图象有两个不同的公共点,则实数QUOTE的值是（）A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE或QUOTED。QUOTE或QUOTE【答案】C考点：函数的奇偶性、周期性点评：此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用，用到了数形结合的思想方法第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13。QUOTE__________．【答案】QUOTE【解析】QUOTE.14.已知菱形QUOTE的边长为QUOTE，QUOTE，则QUOTE__________．【答案】QUOTE15.已知球QUOTE的半径为13,其球面上有三点QUOTE,若QUOTE，QUOTE,则四面体QUOTE的体积为__________．【答案】QUOTE【解析】QUOTEQUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE的外接圆的半径为QUOTE，QUOTE到平面QUOTE的距离为QUOTE，QUOTE，QUOTE四面体QUOTE的体积为QUOTE。点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．（2）若球面上四点QUOTE构成的三条线段QUOTE两两互相垂直，且QUOTE，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用QUOTE求解．16。已知数列QUOTE，QUOTE，若QUOTE,QUOTE，当QUOTE时，有QUOTE，则QUOTE__________．【答案】QUOTE【解析】由QUOTE得QUOTE,所以QUOTE，QUOTE所以QUOTEQUOTEQUOTE即QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE由于QUOTE，所以QUOTE，故QUOTE。三、解答题17.已知在QUOTE中，角QUOTE的对边分别为QUOTE,且QUOTE．(Ⅰ)求角QUOTE的大小；(Ⅱ）若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的面积QUOTE．【答案】（Ⅰ)QUOTE;(Ⅱ）QUOTE.试题解析：（1）在△QUOTE中，由正弦定理得QUOTE，即QUOTE，又角QUOTE为三角形内角，QUOTE所以QUOTE,即QUOTE，又因为QUOTE，所以QUOTE．（2）在△QUOTE中，由余弦定理得：QUOTE，则QUOTE即QUOTE，解得QUOTE或QUOTE，又QUOTE，所以QUOTE．考点：1．正弦定理;2．余弦定理；3．面积公式．18.“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，及“凑够一撮人就可以走了,和红绿灯无关"，某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”等三种形式进行调查获得下表数据：跟从别人闯红灯从不闯红灯带头闯红灯男生98041060女生34015060用分层抽样的方法，从所有被调查的人中抽取一个容量为QUOTE的样本，其中在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了66人,（Ⅰ)求QUOTE的值；（Ⅱ)在所抽取的“带头闯红灯"的人中，任选取2人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，求这2人中至少有1人是女生的概率．【答案】（Ⅰ）QUOTE；（Ⅱ）QUOTE.试题解析:(Ⅰ）由题意得：QUOTEQUOTE,解得QUOTE．(Ⅱ）因为所有参与调查的人数为QUOTEQUOTE,所以从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为QUOTE，其中男生为QUOTE人，女生为QUOTE人,设从“带头闯红灯”中抽取的6人中男生用QUOTE表示，女生分别用QUOTE表示,则从这6人中任选取2人所有的基本事件为：QUOTE,QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTEQUOTEQUOTE共有15个．这两人均是男生的基本事件为QUOTE，则至少有一个是女生的基本事件共有12个．故从这6人中任选取2人，至少有一个是女生的概率QUOTE.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.（2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求。对于基本事件有“有序"与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19。在正三棱柱QUOTE中，QUOTE，QUOTE，点QUOTE为QUOTE的中点．（Ⅰ）求证:QUOTE平面QUOTE；（Ⅱ）若点QUOTE为QUOTE上的点,且满足QUOTE，三棱锥QUOTE的体积与三棱柱QUOTE的体积之比为1：12，求实数QUOTE的值．【答案】（Ⅰ)见解析；(Ⅱ）QUOTE。(Ⅱ)∵QUOTE∴QUOTE过QUOTE作QUOTE于QUOTE,则QUOTE平面QUOTE，设QUOTE,则QUOTEQUOTE解得QUOTE所以此时QUOTE为QUOTE的中点，故QUOTE．20。已知函数QUOTE,QUOTE．（Ⅰ）若QUOTE在QUOTE上的最大值为QUOTE，求实数QUOTE的值．（Ⅱ)若对任意的QUOTE,都有QUOTE恒成立，求实数QUOTE的取值范围．【答案】（Ⅰ）QUOTE；(Ⅱ）QUOTE.【解析】试题分析:(Ⅰ)由QUOTE，得QUOTEQUOTE，令QUOTE,得QUOTE或QUOTE。由此列表讨论能求出QUOTE。

（Ⅱ)由QUOTE，得QUOTE.由已知得QUOTE.由此利用构造法和导数性质能求出QUOTE。（Ⅱ)由QUOTE,得QUOTE∵QUOTE,∴QUOTE，由于不能同时取等号，所以QUOTE，即QUOTE．∴QUOTEQUOTE恒成立．令QUOTE，QUOTE，则QUOTE当QUOTE时,QUOTE，QUOTEQUOTE,从而QUOTE所以函数QUOTE在QUOTE上为增函数，所以QUOTE所以QUOTE．点睛：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题。常用的方法有两个:（1）直接讨论找函数的最值，一般难度较大；（2）变量分离：可以转化为QUOTEQUOTE恒成立,构造函数QUOTE,QUOTE然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果。21.已知椭圆QUOTEQUOTE经过点QUOTE,且离心率为QUOTE．(Ⅰ)求椭圆QUOTE的方程；（Ⅱ）设QUOTE是椭圆上的点，直线QUOTE与QUOTE(QUOTE为坐标原点）的斜率之积为QUOTE．若动点QUOTE满足QUOTE，试探究是否存在两个定点QUOTE，使得QUOTE为定值？若存在，求QUOTE的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）QUOTE；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）设QUOTE，QUOTE，QUOTE，则由QUOTE得即QUOTE，QUOTE，因为点QUOTE在椭圆QUOTE上,所以QUOTE，QUOTE故QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE设QUOTE，QUOTE分别为直线QUOTE与QUOTE的斜率,由题意知，QUOTE,因此QUOTE所以QUOTE，所以点QUOTE是椭圆QUOTE上的点，所以由椭圆的定义知存在点QUOTE,满足QUOTE为定值又因为QUOTE，所以QUOTE坐标分别为QUOTE、QUOTE．请考生在22、23题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做,则按做的第一题记分．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线QUO