三点抗弯强度

三点抗弯强度Documentnumber:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-

第18讲教学方案——弯曲切应力、弯曲强度条件基本内容梁横力弯曲时横截面上的切应力教1、掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上学切应力的分布和计算。目2、熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。的3、了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。重点本节重点：矩形截面梁的切应力、弯曲强度条件及计算。、难本节难点：掌握需要对梁弯曲切应力进行强度校核的各种情况。点§7-3弯曲切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力「又有剪应力「但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1.矩形截面梁图占-疔涪裁面宽度节碰力皓令対对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作图占-疔涪裁面宽度节碰力皓令対用剪力Q。现分析距中性轴Z为y的横线aa上的1剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪1力Q的方向一致。由于对称的关系，横线aa中i点处的剪应力也必与Q的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想aa线上各点剪应力的1方向皆平行于剪力Q。又因截面高度h大于宽度b,剪应力的数值沿横线aa不可能有太大变化，1可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1） 横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力Q。（c] （d）图方f烈据徽块干衝率劈应力（c] （d）图方f烈据徽块干衝率劈应力基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图6-6b所示。梁的横截面尺寸如图6-6c所示，现欲求距中性轴z为y的横线aa1处的剪应力e。过aa用平行于中性层的1纵截面aacc自dx微段中截出一微块11（图6-6d）。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力e'。微块左右侧面上正应力的合力分别为N和N，其中12

代』idAj学dA二非*（a）代』idAj学dA二非*（a）A* A*z zN二LdA二2 IIA*J（M+俪）儿dA二（M+dM）s®I IZA*式中，A*为微块的侧面面积，◎]Qn）为面积A*中距中性轴为y处的正应力，S*=JydA。1 z 1A*由微块沿x方向的平衡条件工x=0，得-N+N—T’bdx=0（C）12将式（a）和式（b）代入式（c）,得dMS*

dxbl图&T輻於廉函數应力的分布因石=Q'T‘=T,故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力工为QS*zblz6-3）式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q为截面上的剪力；I为整个截面对中z性轴Z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；S*为面积A*对中性轴的静矩。y对于矩形截面梁（图6-7），可取dA=bdy^，于是这样，式（6-3）可写成上式表明，沿截面高度剪应力T按抛物线规律变化（图6-7b）。在截面上、下边缘处，hy=±t=0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为3Q6-4）T6-4）max2A式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的32倍。2．圆形截面梁在圆形截面上（图6-8），任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得T=4Q（6-5）max3A兀式中A=-d2，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的43倍。3■工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上，其值为式中（S*）为中性轴一侧截面面zmax积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢’式中的%）可以从型钢表max字钢’式中的%）可以从型钢表max中查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为（~）Q,因此也可用下式计算工 的近似值max式中h为腹板的高度，d为腹板的宽度。1

§7-4弯曲强度计算根据前节的分析，对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件Q= max_max□［Q］ （6-6）max Iz式中［q］为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达为Q max<[Q](6-7)maxWz式中W二(6-8)zymax称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为［长度］3。国际单位用m3或mm3。对于宽度为b、高度为h的矩形截面，抗弯截面系数为bh2~6~6-9bh2~6~6-9)W二12zh2直径为d的圆截面，抗弯截面系数为—d—d4 _dWz=皆=呢6-10)内径为d，外径为D的空心圆截面，抗弯截面系数为竺（-竺（-a4）D（、Wz=旨晋（-a4）6-11)轧制型钢（工字钢、槽钢等）的W可从型钢表中查得。z对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。根据式（6-7），可以解决三类强度问题，即强度校核，截面设计和许用载荷计算。需要指出的是，对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。等截面直梁的p —般发生在Q|截面的中性