根式函数值域

探究含有根式的函数值域问题含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。1.平方法例1：求y=v1-x+、：x+3的值域两边同时平方得：:—(x+1)解：由题意知函数定义域为［两边同时平方得：:—(x+1)y2二4+2X2-2x+3=4+2利用图像可得y2el4,8］，又知y〉0「.ye析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为y2=a+几击的形式，先求y2的范围，再得出y的范围即值域。2.换元法例2：求值域1)y二2x-px一12)y=x+\；4-x2解:(1)首先定义域为［1,+4，令t=、；x-1(t>0)，将原函数转化为0te0te[0,+8)，ye15"8析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。则原函数转化为：y=则原函数转化为：y=2sina+2cosa=2J2sina(2)首先，函数定义域为xel-2,2］，不妨设x二2sina，令ae兀兀一一勺込_

析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。3.数形结合法例3:1)求y3.数形结合法例3:1)求y二fG-2)+占十8)2)求y=、：，X2—2x+2十¥X2—6x+13的最小值。解:(1)y=(-2)+的值域。2+|x+8|+(I其解析式的几何意义为数轴上的一动点x,到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得至【」yg1o,+』+(I(2)解析式可转化为y=定义域为R，进行适当的变形fe—1^1+C-3)+4-(x—1)+(0—1)+G-3)+G-2)由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。点P(x,0)到A(1,l)和B(3,2)的距离之和。即y=PA+PB，结合图形可知y=PA!+PB=近3，其中A心,—1)min析:根据解析式特点，值域问题转化成距离问题，结合图形得出最值，进而求出了值域。例4：1)求y=x+1一耳3-x2+2x的值域2)求y=2、.：x+1+—x的值域解：(1)函数定义域为xg令u=-兀2十2x，v=x+1消去x可得U2+C—2)=4当xgI—1,3］时，ugIo,2］，vgt),4〕169169原解析式可化为y=v-u，即v=u+y原值域问题可转化为：过圆弧U2+C-2)=4(uwb,2],velo,4])上的一动点Cv),且斜率为i的直线系v=u+y在v轴上的截距y的范围问题。结合图形可得,当直线过点°，4)时，y二4，当直线与圆弧相切时y二2-彳袒maxmin所以原函数的值域为L—141,4]2)函数定义域为xe1-1,6]令u=2jx+1，v=壬6-x，消去x可得U2+4v2=28其中ue0,2^71ve原函数可转化为y二U2+4v2=28其中ue0,2^71ve原函数可转化为y二v+u，即v=-u+y原值域问题可转化为：过椭圆+—=1287(ue0,2^7]ve0,「71上的一点C,卩)且斜率为-1的直线系v=—u+数形结合可得，当直线过点g汀时，y在卩轴上的截距y的范围问题。当直线与椭圆弧相切时，u2+4v2=28消去u得5v2-2yv+y2-28=0v=-u+yy7miny=35或者y=r：35舍去)得ye析：本组题目借助于直线与曲线的位置关系(常用的是直线与圆，直线与椭圆)，巧妙地把复杂的值域问题转化成截距问题，不管是把值域问题转化成动定点间的距离问题还是直线与曲线的位置关系问题，数形结合的方法，都可以巧妙地避开复杂的运算，使运算过程大大简化，但要求解析式具有某种明显的几何意义。向量法例5：求y=12、19-x+5叮x-10的最大值。解：解析式的定义域是xe10,19]，解析式可以看成是2个向量的数量积，不妨设^=(12,5)，b^C；⑪刁，五二^),所以y=b，其中|罚=13，慣3，根据向量的数量积定义得从農|£|肉=39,当且仅当£和b同向的时候，“二”成立，即1^I—10=^■■19—1，x=1915，

因为x=1915G110,19],所以最大值为39。169利用函数单调性例6：求函数y=匸2x+4一、6-x的值域解：函数定义域为xel-2,6]，易知函数在L2,6]上是单调递增数列。当x=一2时，丁=一2J2，当x=6时，丁-4minmax所以函数的值域为ye-2迈,4]析：若函数解析式可以比较方便判断他的单调性，那用这种方法就比较简洁。尤其是在填空题中，从函数的单调性入手可以提高做题的速度。导数法例7解：求函数y»2x+4-、：x+3例7解：函数定义域为xe1-2,+a))函数定义域为当x--2时，02,匚+3―叮2x+4〉0y打0函数在L2'+")上单调递增，又f(-2)=-1-1,+』.函数的值域为析：导数法是求函数值域的一个有力的工具，只不过含根式的函数求导过程比较繁琐，在实际操作的时候，注意运算的准