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文档简介
广东省汕头市潮南区两英镇重点中学2024-2025学年初三下学期3月数学试题测试考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,已知点A,B分别是反比例函数y=(x<0),y=(x>0)的图象上的点,且∠AOB=90°,tan∠BAO=,则k的值为()A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣42.从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图正确的是()A. B. C. D.3.在实数,有理数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.整数a、b在数轴上对应点的位置如图,实数c在数轴上且满足,如果数轴上有一实数d,始终满足,则实数d应满足().A. B. C. D.5.下列运算正确的是()A.2+a=3 B.=C. D.=6.如图,在Rt△ABC中,∠B=90º,AB=6,BC=8,点D在BC上,以AC为对角线的所有□ADCE中,DE的最小值是(
)A.4 B.6 C.8 D.107.关于的方程有实数根,则整数的最大值是()A.6 B.7 C.8 D.98.如图,点D在△ABC的边AC上,要判断△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的是()A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C. D.9.下列计算正确的是A.a2·a2=2a4B.(-a2)3=-a6C.3a2-6a2=3a2D.(a-2)2=a2-410.我市某小区开展了“节约用水为环保作贡献”的活动,为了解居民用水情况,在小区随机抽查了10户家庭的月用水量,结果如下表:月用水量(吨)8910户数262则关于这10户家庭的月用水量,下列说法错误的是()A.方差是4 B.极差是2 C.平均数是9 D.众数是9二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.分解因式:____________.12.一组正方形按如图所示的方式放置,其中顶点B1在y轴上,顶点C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3……在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的顶点C1的坐标是(﹣,0),∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2018B2018C2018D2018的顶点D2018纵坐标是_____.13.已知点P是线段AB的黄金分割点,PA>PB,AB=4cm,则PA=____cm.14.观察下列等式:第1个等式:a1=;第2个等式:a2=;第3个等式:a3=;…请按以上规律解答下列问题:(1)列出第5个等式:a5=_____;(2)求a1+a2+a3+…+an=,那么n的值为_____.15.如图,数轴上点A所表示的实数是________________.16.垫球是排球队常规训练的重要项目之一.如图所示的数据是运动员张华十次垫球测试的成绩.测试规则为每次连续接球10个,每垫球到位1个记1分.则运动员张华测试成绩的众数是_____.17.在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图:确定图1中所在圆的圆心.已知:.求作:所在圆的圆心.曈曈的作法如下:如图2,(1)在上任意取一点,分别连接,;(2)分别作弦,的垂直平分线,两条垂直平分线交于点.点就是所在圆的圆心.老师说:“曈曈的作法正确.”请你回答:曈曈的作图依据是_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G.(1)求四边形OEBF的面积;(2)求证:OG•BD=EF2;(3)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,求AE的长.19.(5分)如图,已知△ABC,请用尺规作图,使得圆心到△ABC各边距离相等(保留作图痕迹,不写作法).20.(8分)(5分)计算:(121.(10分)已知:如图,在半径为2的扇形中,°,点C在半径OB上,AC的垂直平分线交OA于点D,交弧AB于点E,联结.(1)若C是半径OB中点,求的正弦值;(2)若E是弧AB的中点,求证:;(3)联结CE,当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时,求CD的长.22.(10分)如图,已知与抛物线C1过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).(1)求抛物线C1的解析式.(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点P,D为第四象限内的一点,若△CPD为等腰直角三角形,求出D点坐标.23.(12分)如图,把两个边长相等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD,点E、F分别是CB、DC延长上的动点,且始终保持BE=CF,连结AE、AF、EF.求证:AEF是等边三角形.24.(14分)某商场为了吸引顾客,设计了一种促销活动:在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球,球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样.规定:顾客在本商场同一日内,每消费满200元,就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回),商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券,可以重新在本商场消费,某顾客刚好消费200元.(1)该顾客至少可得到_____元购物券,至多可得到_______元购物券;(2)请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】
首先过点A作AC⊥x轴于C,过点B作BD⊥x轴于D,易得△OBD∽△AOC,又由点A,B分别在反比例函数y=(x<0),y=(x>0)的图象上,即可得S△OBD=,S△AOC=|k|,然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方,即可求出k的值【详解】解:过点A作AC⊥x轴于C,过点B作BD⊥x轴于D,
∴∠ACO=∠ODB=90°,
∴∠OBD+∠BOD=90°,
∵∠AOB=90°,
∴∠BOD+∠AOC=90°,
∴∠OBD=∠AOC,
∴△OBD∽△AOC,
又∵∠AOB=90°,tan∠BAO=,
∴=,
∴=,即,
解得k=±4,
又∵k<0,
∴k=-4,
故选:D.此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质.解题时注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法。2、C【解析】
左视图就是从物体的左边往右边看.小正方形应该在右上角,故B错误,看不到的线要用虚线,故A错误,大立方体的边长为3cm,挖去的小立方体边长为1cm,所以小正方形的边长应该是大正方形,故D错误,所以C正确.故此题选C.3、D【解析】试题分析:根据有理数是有限小数或无限循环小数,可得答案:是有理数,故选D.考点:有理数.4、D【解析】
根据a≤c≤b,可得c的最小值是﹣1,根据有理数的加法,可得答案.【详解】由a≤c≤b,得:c最小值是﹣1,当c=﹣1时,c+d=﹣1+d,﹣1+d≥0,解得:d≥1,∴d≥b.故选D.本题考查了实数与数轴,利用a≤c≤b得出c的最小值是﹣1是解题的关键.5、D【解析】
根据整式的混合运算计算得到结果,即可作出判断.【详解】A、2与a不是同类项,不能合并,不符合题意;B、=,不符合题意;C、原式=,不符合题意;D、=,符合题意,故选D.此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.6、B【解析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当OD⊥BC时,OD最小,即DE最小,根据三角形中位线定理即可求解.【详解】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当OD⊥BC时,OD最小,即DE最小。∵OD⊥BC,BC⊥AB,∴OD∥AB,又∵OC=OA,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=AB=3,∴DE=2OD=6.故选:B.本题考查了平行四边形的性质,解题的关键是利用三角形中位线定理进行求解.7、C【解析】
方程有实数根,应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程,两种情况进行讨论,当不是一元二次方程时,a-6=0,即a=6;当是一元二次方程时,有实数根,则△≥0,求出a的取值范围,取最大整数即可.【详解】当a-6=0,即a=6时,方程是-1x+6=0,解得x=;
当a-6≠0,即a≠6时,△=(-1)2-4(a-6)×6=201-24a≥0,解上式,得≈1.6,
取最大整数,即a=1.故选C.8、C【解析】
由∠A是公共角,利用有两角对应相等的三角形相似,即可得A与B正确;又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,即可得D正确,继而求得答案,注意排除法在解选择题中的应用.【详解】∵∠A是公共角,∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时,△ADB∽△ABC(有两角对应相等的三角形相似),故A与B正确,不符合题意要求;当AB:AD=AC:AB时,△ADB∽△ABC(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似),故D正确,不符合题意要求;AB:BD=CB:AC时,∠A不是夹角,故不能判定△ADB与△ABC相似,故C错误,符合题意要求,故选C.9、B【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得.【详解】A.a2·a2=a4,故A选项错误;B.(-a2)3=-a6,正确;C.3a2-6a2=-3a2,故C选项错误;D.(a-2)2=a2-4a+4,故D选项错误,故选B.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.10、A【解析】分析:根据极差=最大值-最小值;平均数指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数;一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,以及方差公式S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],分别进行计算可得答案.详解:极差:10-8=2,平均数:(8×2+9×6+10×2)÷10=9,众数为9,方差:S2=[(8-9)2×2+(9-9)2×6+(10-9)2×2]=0.4,故选A.点睛:此题主要考查了极差、众数、平均数、方差,关键是掌握各知识点的计算方法.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、【解析】试题分析:根据因式分解的方法,先提公因式,再根据平方差公式分解:.考点:因式分解12、×()2【解析】
利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长,进而得出变化规律即可得出答案.【详解】解:∵∠B1C1O=60°,C1O=,∴B1C1=1,∠D1C1E1=30°,∵sin∠D1C1E1=,∴D1E1=,∵B1C1∥B2C2∥B3C3∥…∴60°=∠B1C1O=∠B2C2O=∠B3C3O=…∴B2C2=,B3C3=.故正方形AnBnCnDn的边长=()n-1.∴B2018C2018=()2.∴D2018E2018=×()2,∴D的纵坐标为×()2,故答案为×()2.此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系,得出正方形的边长变化规律是解题关键13、2-2【解析】
根据黄金分割点的定义,知AP是较长线段;则AP=AB,代入运算即可.【详解】解:由于P为线段AB=4的黄金分割点,且AP是较长线段;则AP=4×=cm,故答案为:(2-2)cm.此题考查了黄金分割的定义,应该识记黄金分割的公式:较短的线段=原线段的,难度一般.14、49【解析】
(1)观察等式可得然后根据此规律就可解决问题;
(2)只需运用以上规律,采用拆项相消法即可解决问题.【详解】(1)观察等式,可得以下规律:,∴(2)解得:n=49.故答案为:49.属于规律型:数字的变化类,观察题目,找出题目中数字的变化规律是解题的关键.15、【解析】
A点到-1的距离等于直角三角形斜边的长度,应用勾股定理求解出直角三角形斜边长度即可.【详解】解:直角三角形斜边长度为,则A点到-1的距离等于,则A点所表示的数为:﹣1+本题考查了利用勾股定理求解数轴上点所表示的数.16、1【解析】
根据众数定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得答案.【详解】运动员张华测试成绩的众数是1.故答案为1.本题主要考查了众数,关键是掌握众数定义.17、①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆)【解析】
(1)在上任意取一点,分别连接,;(2)分别作弦,的垂直平分线,两条垂直平分线交于点.点就是所在圆的圆心.【详解】解:根据线段的垂直平分线的性质定理可知:,所以点是所在圆的圆心(理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆):)故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆)本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1);(2)详见解析;(3)AE=.【解析】
(1)由四边形ABCD是正方形,直角∠MPN,易证得△BOE≌△COF(ASA),则可证得S四边形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD;(2)易证得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得OG•OB=OE2,再利用OB与BD的关系,OE与EF的关系,即可证得结论;(3)首先设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,继而表示出△BEF与△COF的面积之和,然后利用二次函数的最值问题,求得AE的长.【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,∴∠BOF+∠COF=90°,∵∠EOF=90°,∴∠BOF+∠COE=90°,∴∠BOE=∠COF,在△BOE和△COF中,∴△BOE≌△COF(ASA),∴S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD(2)证明:∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,∴△OEG∽△OBE,∴OE:OB=OG:OE,∴OG•OB=OE2,∵∴OG•BD=EF2;(3)如图,过点O作OH⊥BC,∵BC=1,∴设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH∵∴当时,S△BEF+S△COF最大;即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,本题属于四边形的综合题,主要考查了正方形的性质,旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.19、见解析【解析】
分别作∠ABC和∠ACB的平分线,它们的交点O满足条件.【详解】解:如图,点O为所作.本题考查了基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).20、8+23【解析】试题分析:利用负整数指数幂,零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值的定义解答.试题解析:原式=9+1-(2-3)+2×3考点:1.实数的运算;2.零指数幂;3.负整数指数幂;4.特殊角的三角函数值.21、(2);(2)详见解析;(2)当是以CD为腰的等腰三角形时,CD的长为2或.【解析】
(2)先求出OCOB=2,设OD=x,得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x,根据勾股定理得:(2﹣x)2﹣x2=2求出x,即可得出结论;(2)先判断出,进而得出∠CBE=∠BCE,再判断出△OBE∽△EBC,即可得出结论;(3)分两种情况:①当CD=CE时,判断出四边形ADCE是菱形,得出∠OCE=90°.在Rt△OCE中,OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2.在Rt△COD中,OC2=CD2﹣OD2=a2﹣(2﹣a)2,建立方程求解即可;②当CD=DE时,判断出∠DAE=∠DEA,再判断出∠OAE=OEA,进而得出∠DEA=∠OEA,即:点D和点O重合,即可得出结论.【详解】(2)∵C是半径OB中点,∴OCOB=2.∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD.设OD=x,∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x.在Rt△OCD中,根据勾股定理得:(2﹣x)2﹣x2=2,∴x,∴CD,∴sin∠OCD;(2)如图2,连接AE,CE.∵DE是AC垂直平分线,∴AE=CE.∵E是弧AB的中点,∴,∴AE=BE,∴BE=CE,∴∠CBE=∠BCE.连接OE,∴OE=OB,∴∠OBE=∠OEB,∴∠CBE=∠BCE=∠OEB.∵∠B=∠B,∴△OBE∽△EBC,∴,∴BE2=BO•BC;(3)△DCE是以CD为腰的等腰三角形,分两种情况讨论:①当CD=CE时.∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD,AE=CE,∴AD=CD=CE=AE,∴四边形ADCE是菱形,∴CE∥AD,∴∠OCE=90°,设菱形的边长为a,∴OD=OA﹣AD=2﹣a.在Rt△OCE中,OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2.在Rt△COD中,OC2=CD2﹣OD2=a2﹣(2﹣a)2,∴4﹣a2=a2﹣(2﹣a)2,∴a=﹣22(舍)或a=;∴CD=;②当CD=DE时.∵DE是AC垂直平分线,∴AD=CD,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA.连接OE,∴OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠DEA=∠OEA,∴点D和点O重合,此时,点C和点B重合,∴CD=2.综上所述:当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时,CD的长为2或.本题是圆的综合题,主要考查了勾股定理,线段垂直平分线的性质,菱形的判定和性质,锐角三角函数,作出辅助线是解答本题的关键.22、(1)y=x2-2x-3,(2)D1(4,-1),D2(3,-4),D3(2,-2)【解析】
(1)设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C(0,-3)代入即可求出解析式;(2)根据题意作出图形,根据等腰直角三角形的性质即可写出坐标.【详解】(1)设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C(0,-3)代入得-3=a×(-3)×1解得a=1,∴解析式为y=x2-2x-3,(2)如图所示,对称轴为x=1,过D1作D1H⊥x轴,∵△CPD为等腰直角三角形,∴△OPC≌△HD1P,∴PH=OC=3,HD1=OP=1,∴D1(4,-1)过点D2F⊥y轴,同理△OPC≌△FCD2,∴FD2=3,CF=1,故D2(3,-4)由图可知CD1与PD2交于D3,此时PD3⊥CD3,且PD3=CD3,PC=,∴PD3=CD3=故D3(2,-2)
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