第二章医学图像处理4-几何变换

第二章图像的灰度与几何变换教学目标基本要求：能够说出图像几何变换的基本原理和常用算法；使用位置变换、插值等算法对图像进行变换。重点：图像的平移和旋转、图像的插值难点：双线性插值法灰度变换与几何变换图像的几何变换几何变换的需求受成像系统拍摄角度及失真的影响几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置又称几何校正主要内容及要点图像的位置变换平移、镜像、旋转、插值等图像的形状变换缩小、放大、错切变换、几何畸变的校正等图像的几何变换图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像位置、大小、形状等变化的方法，是通过数学建模实现对数字图像进行几何变换的处理。图像几何运算的一般定义为：一、图像的位置变换图像的平移（translation）：是将图像中所有的点都按照指定的平移量水平、垂直移动。

图像的平移注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”（矩阵）一定要扩大，否则就会丢失信息。下移1行，右移两列思考：平移后，“画布”应怎样扩大才能保留原图像的全部信息？示例示例图像平移时，画布未扩大的效果。图像的镜像（reflectionormirrorimage）：（通俗地讲，是指在镜子中所成的像。其特点是左右颠倒或是上下颠倒）。水平镜像垂直镜像镜像变换后图像的高和宽都不变。设图像的高度为H,宽度为W，原图中坐标为(x,y)的点经过镜像后，则点(x,y)的坐标为(x1,y1)。

图像的镜像图像的镜像水平镜像：以原图像的垂直中轴线为中心，将图像分为左右两部分进行对称变换。水平镜像图像的镜像垂直镜像：以原图像的水平中轴线为中心，将图像分为上下两部分进行对称变换。垂直镜像图像的镜像图像的镜像图像的转置图像的转置（transpose）：是将图像像素的x坐标和y坐标互换。转置后图像的高度和宽度将互换。图像的旋转图像的旋转（rotation)：是指以图像中的某一点为原点以逆时针或顺时针的方向旋转一定的角度。注意：必须指明图像绕着什么旋转，一般以图像的中心为原点，旋转一定的角度。图像的旋转一般会改变图像的大小。图像旋转的理论基础注意：这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。因此需要前期处理：扩大画布，取整处理，平移处理。图像旋转的前期处理之画布扩大图像旋转之前，为了避免丢失信息，画布的扩大是非常重要的。画布扩大的原则是：以最小的面积承载全部的画面信息。图像旋转的前期处理之画布扩大画布扩大的简单方法是根据公式：计算机x’和y’的最大、最小值，即x’max、x’min和y’max、y’min。画布大小为：

x’max-x’min、

y’max-y’min。图像的旋转

图像的旋转示例(a)原图；(b)图像旋转时，画布未扩大的效果；(c)画布扩大时的效果。(a)(b)(c)图像的旋转注意：图像旋转之后，会出现许多的空洞点，对这些空洞点必须进行填充处理，否则画面效果不好，这种操作称为插值处理。图像的旋转插值：interpolation最简单的方法：行插值或是列插值方法：找出当前行的最小和最大的非空白点的坐标，记作：(i,k1)、(i,k2)。图像的插值在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空点的像素值等于前一点的像素值。同样的操作重复到所有行。经过插值处理之后，图像效果就变得自然。其他插值方法：最近邻域法，双线性，三次样条法等经过插值处理之后，图像效果就变得自然。图像的插值插值前插值后灰度级插值1）向前映射法通过输入图像像素位置,计算输出图像对应像素位置;将该位置像素的灰度值按某种方式分配到输出图像相邻四个像素.灰度级插值2）向后映射法通过输出图像像素位置,计算输入图像对应像素位置;根据输入图像相邻四个像素的灰度值计算该位置像素的灰度值.灰度级插值两种映射方法的对比对于向前映射：每个输出图像的灰度要经过多次运算；对于向后映射：每个输出图像的灰度只要经过一次运算。实际应用中，更经常采用向后映射法。最近邻法：nearestneighborinterpolation最近邻域法：像素都赋给输入图象中与其最邻近的采样点的值。这是最简单的一种插值方法，在待求像素的四邻像素中，将距离待求像素最近的邻象素灰度赋给待求像素。如下图所示：最近邻插值缺点:灰度不连续，图像有明显锯齿状。优点:计算量小，计算速度快。线性插值线性插值是获得两个不同点之间数值的最简单的方法，它将不同的采样点之间通过直线连接起来，并且假定位于这些点之间的所有点的灰度分布都满足直线分布。对于图像而言，空间上的点需要采用两个坐标来表示，因此需要采用双线性插值法。双线性插值双线性法：bilinearinterpolation双线性插值法：根据某像素周围4个像素的灰度值在水平和垂直两个方向上对其插值。双线性插值双线性插值法的计算比最邻近点法复杂，计算量较大，但没有灰度不连续性的缺点。具有低通滤波性质，图像轮廓有一定模糊。双线性插值的平滑作用会使图像细节退化。双三次内插法(bicubicinterpolation)该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值函数sin(x)/x。其数学表达式为：x定义为以被采样点p为原点的邻近像素x坐标值，其像素间隔为1。三次内插法计算过程：（1）首先确定辅助点位1p、2p、3p、4p各点上的灰度值。（3）利用同样的方法计算I1p、I2p、I3p、I4p，即：（2）利用1p、2p、3p、4p各点的灰度值I1p、I2p、I3p、I4p，计算p点的灰度值，即：待求像素(x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权内插得到。可推导出待求像素灰度的计算式如下：双三次内插法其中：该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。评断插值结果的好坏第一个标准：走样现象的轻重。放大图像的时候，要看边缘是否产生了锯齿，缩小图像的时候，看看是否有干扰条纹，边缘是否平顺。第二个标准：边缘是否清晰？第三个标准：过渡带的层次感细节感怎么样？原始影像灰度表面最近邻内插法双线性内插法双三次插值法像素灰度内插法效果比较不同插值方法效果比较最近邻法 双线性法双三次插值法 不规则碎片形插值 (Fractalinterpolation)二、图像的形状变换图像的缩小（

shrinkage）一般分为按比例缩小和不按比例缩小两种图像缩小后，因为承载的信息量小了，所以画布（矩阵）可相应缩小图像按比例缩小：最简单的是减小一半，这样只需取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新的图像。若图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行列M*N大小的图像缩小为：kM*kN大小，（k<1）：

设旧图像是F(i,j)（i=1,2,…,M;j=1,2,…,N)，新图像是I(x,y)(x=1,2,…,kM;y=1,2,…,KN)

则：I(x,y)=F(int(x/k),int(y/k))K=1/3图像的缩小图像不按比例缩小这种操作因为在x方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变图像不按比例缩小方法：

若M*N大小的图像缩小为：k1M*k2N，(k1,k2<1)

设旧图像是F(i,j)（i=1,2,…,M;j=1,2,…,N)，新图像是I(x,y)(x=1,2,…,k1M;y=1,2,…,K2N)

则有：I(x,y)=F(int(x/k1),int(y/k2))

图像的缩小取：2，3，5，6列；2，4行示例图像的放大（enlargement）图像的缩小操作，是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出来的空格填入适当的值，这是信息的估计问题，所以较图像的缩小要困难一些同样分为按比例放大和不按比例放大图像的放大按比例放大图像

如果需要将原图像放大k倍，则将一个像素值添在新图像的k*k的子块中放大5倍图像的放大思考：若放大倍数太大，按上述方法处理会出现马赛克效应？有没有解决办法？或者至少有所改善？图像的任意不成比例放大：这种操作由于x方向和y方向的放大倍数不同，同样会带来图像的几何畸变。放大方法：将原图像的一个像素添到新图像的一个k1*k2的子块中。若M*N大小的图像放大为：k1M*k2N，(k1,k2>1)

设旧图像是F(i,j)（i=1,2,…,M;j=1,2,…,N)，新图像是I(x,y)(x=1,2,…,k1M;y=1,2,…,K2N)

则有：I(x,y)=F(int(x/k1),int(y/k2))图像的放大示例i=[1,2],j=[1,3].x=[1,2*1.5]=[1,3],y=[1,4]=[1,3*1.2]=[1,4]x=[1/1.5,2/1.5,3/1.5=][i1,i1,i2],Y=[1/1.2,2/1.2,3/1.2,4/1.2]=[j1,j2,j3,j3].图像的错切变换图像的错切变换（sheartransform）图像的错切变换实际上是景物在平面上的非垂直投影效果。可以看到，错切之后原图像的像素排列方向改变。与前面旋转不同的是，x方向与y方向独立变化。图像的错切变换几何畸变（geometricdeformation）的校正

受到错切变换效果的启发，将其进行简单的延伸，当景物在图像上是非垂直投影时，可以通过几何变换将其进行矫正。常见几何畸变原因：系统及非系统卫星或航空图像中由倾斜的表面引起MR图像中由于磁场的非均匀性引起图像中物体的运动

镜头失真（鱼眼失真）等等三、几何畸变的校正几何畸变的校正指按照一幅标准图或一组基准点去校正另一幅几何失真图。根据两幅图像的一些已知对应点对（又称控制点对），建立起函数关系式，将失真图像的坐标系(x，y)变换到标准图像坐标系(u，v)，从而实现失真图像按标准图像的几何位置校正，使失真图中的每一像点都可以在标准图中找到对应像点。几何校正方法

基本方法：建立几何校正的数学模型，利用已知条件确定模型参数，根据模型对图像进行几何校正。通常分两步：①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列号）和参考图对应点坐标间的映射关系，解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对像素坐标进行校正。②确定各像素的灰度值（灰度内插）。几何畸变的校正校正方法：有很多种，关键在于找出其中的变换

常用多项式变换其中变换参数可通过对应点(tiepoints)的坐标来确定有6个未知数，至少需要3个已知点来建立方程式，求解未知数。N=2时，包含多少个未知数？至少需要几个已知点？几何畸变的校正直接法：从畸变图像出发，依次计算每个像素的校正坐标，并把像素灰度值赋予对应像素，生成校正图像。间接法：1.推算出校正后图像各格网点在已知畸变图像上的坐标(x‘,y’)2.通过内插，求出该像素的灰度值缺点：像素分布不规则会出现像素挤压、疏密不均等现象几种常见的几何变换Conformal：等角投影Affine：仿射Pincushion：枕形失真是由镜头引起的画面向中间“收缩”的现象。Projective：投影polynomial：多项式piecewiselinear：分段线性sinusoid：正弦变barrel：桶形失真几种常见的几何变换几种常见的几何变换本节内容小结掌握图像的位置变换平移、镜像、旋转、插值等了解图像的形状变换熟悉缩小、放大等形状变换了解错切变换、几何畸变的校正掌握图像的常用插值算法掌握最近邻法，双线性插值法了解双三次插值法思考设图像为：1）请将它旋转45度；2）请将它在x方向进行45度错切。图像的裁剪：im