电力负荷预测第七章 回归分析预测法

第七章回归分析预测法一.概述二.一元线性回归模型预测三.多元线性回归模型预测四.虚拟变量回归模型预测五.非线性回归模型预测六.自回归模型预测教学要求●清楚回归分析预测法的适用对象;●清楚回归分析与相关分析的区别;●掌握一元线性回归模型的参数估计与检验;●了解多元线性回归模型的参数估计与检验;●了解带虚拟变量的回归模型的应用条件;●清楚非线性回归模型的建模方法;教学重点

●相关分析与回归分析的基本概念；

●一元线性回归模型的建立与参数检验；教学难点

●相关系数的含义

●参数检验的作用一.概述回归分析预测法——

从各种现象的相互关系出发，通过对与预测对象有联系的现象的变动趋势分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种方法。

xj负荷y影响因素时间x1负荷的变化空间示意图y=f(t)—时间序列模型y=f(x)—关联序列模型几个基本问题1.回归的含义2.相关关系的概念3.相关分析与回归分析的区别与联系4.相关分析与回归分析的作用5.回归分析模型的种类1.回归的含义回归——研究自变量与因变量之间关系形式的分析方法。GDP电量需求气象因素系统负荷长期预测短期预测自变量因变量2.相关关系的概念●函数关系：严格的依存关系，有数学表达式。●相关关系：非严格的，不确定的依存关系。

确定性问题（函数关系）不确定性问题（相关关系）相关关系的特点●现象之间确定存在数量上的客观内在关系。表现在：一个现象发生数量上的变化，要影响另一现象也相应地发生数量上的变化。●现象之间的依存关系不是确定的，具有一定的随机性。表现在：给定自变量的一个数值，因变量晖有若干数值和它对应，且因变量总是遵循一定规律围绕着这些数值的平均数上下波动。3.相关分析与回归分析的区别与联系●相同点：研究及测度2个及以上变量之间的关系。●不同点：相关分析

①2个随机变量及以上紧密程度。直线相关—相关系数曲线相关—相关指数多元相关—复相关系数②不分自变量与因变量。回归分析①几个随机变量与其它几个普通变量之间的数量变动关系。②需区分自变量与因变量。●相互联系——先相关分析，后回归分析。

相关分析回归分析可建模推算预测判断关联关系●相关分析是回归分析的基础；●序列相关并不一定能建立回归模型；初级高级4.相关分析与回归分析的作用●对数量关系的研究分析，深入认识现象之间的相互依存关系。●通过对回归模型，进行预测和预报。●用于补充缺少的资料。5.回归分析模型的种类●自变量多少：一元与多元●模型线性性：线性与非线性●含虚拟变量：普通回归与虚拟变量回归

（自变量为数量变量和品质变量）●含滞后量：无自回归、自回归二.一元线性回归预测模型●定义：

对两个具有线性关系的变量，配合线性回归模型，根据自变量的变动来预测因变量的平均发展趋势的方法，为一元线性回归预测法。

主要内容1.模型描述2.参数估计3.相关系数4.显著性检验5.预测及预测区间的确定6.算例1.模型描述xi:影响因素（可以控制或预先给定）；ε：各种随机因素对y的影响的总和，服从正态分布，即ε~N(0,σ2)；yi：预测目标，由于受随机因素的影响，是一个以回归直线上对应值为中心的正态随机变量，即y~N(a+bx,σ2)；自变量因变量——一元线性回归模型总体方差——为一组观察值(xi,yi)的散点状态的估计式；2.OLS参数估计(OrdinaryLeastSquare)●基本思想：通过数学模型，配合一条较为理想的趋势线,使得原序列的观察值与估计值的离差平方和为最小；●推导3.相关系数——选择主要因素作模型的自变量的依据●离差平方和的分解离差——在一元线性回归模型中，观察值yi的取值是上下波动的，这种波动现象，~。

原因——自变量变动的影响，即x取值的不同；其它因素的影响（包括观察和实践中产生的误差等）；

对1个观察值，离差为

对n个观察值，离差为

为0,证明（略）离差项的物理含义：Q1——由客观和实验中产生误差以及其它未加控制因素引起的（未解释部分）。即：由那些未被考虑的随机因素的影响产生的，且无法因回归方程的建立而消失。Q2——由于选择自变量x并建立线性回归方程而产生的，可用回归模型的建立加以说明（已解释部分）●可决系数R2R2——在总的离差中，由自变量x变动所引起的百分比。它是评价两个变量之间线性相关关系强弱的一个重要指标。0≤R2≤1●相关系数R：R——为可决系数的平方根，是一元线性方程中衡量两个变量之间相关程度的重要指标。——可不需要先求出回归模型中的剩余离差来求，直接从样本数据中计算得到，实际工作中带来方便。若代入平均数，则R的计算变为——积差法计算公式R的讨论（-1≤R≤1）●R=0说明回归离差为0，即自变量x的变动对总离差毫无影响。零相关；●│R│=1说明回归离差等于总离差，即总离差的变化完全由自变量变化所引起的。完全相关（退化成函数关系）●0<│R│<1说明自变量对x的变动对总离差有部分影响。普通相关；R为正则正相关

R为负则负相关●│R│>0.7或R2>0.49

说明自变量对x的变动对总离差的影响占一半以上。高度相关;●│R│<0.3或R2<0.09

说明自变量对x的变动对总离差的影响低于9%。低度相关;

●0.3≤│R│<0.7

说明自变量对x的变动对总离差的影响在9%~50%之间。中度相关;

4.显著性检验●目的——检查所建立的一元线性方程，是否符合变量之间的客观规律性，两变量之间是否具有显著的线性相关关系？●方法——相关系数检验法（适用于一元线性回归方程）●问题描述——相关系数的绝对值大到什么程度时？才能认为两变量之间的相关关系是显著的，回归模型用来预测是有意义的。●检测标准——与观测值的个数有关；（n)

——与不同树枝的显著性水平有关；(α)●步骤step1：计算R；Step2：由回归模型的自由度（n-2）和给定的显著性水平α,从相关系数表中查出临界值Rα(n-2)；Step3：判断。若│R│≥Rα(n-2)，说明两变量之间线性相关关系显著，检验通过，回归模型可用于预测；若│R│<Rα(n-2)，说明两变量之间线性相关关系不显著，检验不通过，不能用于预测，需重新加以处理；5.预测值与预测区间●预测值——在一元线性回归模型中，代入给定的自变量x0，可求的一个对应的回归预测值，有时称之为点估计值；●预测区间——在一定的显著性水平上，依据数理统计方法计算出包含预测未来真实值的某一区间范围，~。，即：

或当x≥30,5.算例

1）配合适当的模型并进行显著性检验；

2）取α=0.05,x0=249时的预测值与预测区间；

197819791980198119821983198419851986198719881989x20202635525681131149163232202y195210244264294314360432481567655704趋势线解：(1)绘制散点图；(2)建立一元线性回归模型；(3)计算回归系数(4)检验相关系数的显著性（5）预测计算估计标准误差三.多元线性回归预测模型

1.多元线性回归模型2.多元线性回归模型的检验3.预测区间4.算例5.采用excel的求解1.多元线性回归模型——多个影响因素的影响问题线性关系●OLS估计残差所以求导矩阵求导，参看线性代数最小二乘法（1）R检验

——通过复相关系数检验一组自变量X1,X2,…,Xm变与因变量y之间的线性相关程度的方法，~。也称复相关系数检验法。2.多元线性回归模型的检验（R、F、t、DW)——表示一组自变量x1~xm的变动所引起的百分比。总离差：——表示一组自变量x1~xm与因变量之间的线性相关程度。问题：它与一元线性回归方程的R在形式上是相似的，但它们的含义有什么区别？R的简洁计算公式——n=3——n=4R检验步骤：Step1：计算复相关系数；Step2：根据回归模型的自由度(n-m)和给定的显著性水平α，查相关系数临界值表Rα；Step3：判别；注意：Rα是一个随自变量个数增加而递增的增函数校正R2

——体现自变量个数的影响其中：(n-m)为剩余离差的自由度(n-1)为总离差的自由度●当m>1，

●R2非负，但可能为负，当为负时，取（2）F检验——检验一组自变量x1~xm与y之间回归效果的显著性。若检验通过，表明β1,β2=,……βm≠0。其中：(m-1)为回归离差的自由度(n-m)为剩余离差的自由度检验方法：若：F>Fα(m-1),(n-m),说明x1~xm与y回归显著；F≤Fα(m-1),(n-m),说明回归效果不显著；不显著的原因：

●说明回归影响y的因素，除了一组自变量x1~xm变之外，还有其它不可忽略的因素；

●y与一组自变量x1~xm之间的关系，不是线性的；

●y与一组自变量x1~xm之间无关；对策——另选自变量或改变预测模型；

F与R2,R之间的关系(3).t检验——与R检验和F检验不同，前者是将所有的自变量作为一个整体来检验它们与y的相关程度以及回归效果；t检验则是对所求回归模型的每一个系数逐一进行检验。

其中：：第j个自变量xj的回归系数；：的样本标准差；t检验步骤：Step1：计算估计标准差;S的简洁计算公式——n=3——n=4Step2：计算样本标准差（Cjj为(x’x)-1主对角线上第j个元素）Step3：计算t统计量│tj│>tα/2(n-m)，（j=1~m）xj对y有显著影响。│tj│≤tα/2(n-m)，xj对y无影响，应删除。(4).DW检验——检验序列相关对模型的影响；●什么是序列相关？——指数列前后期相关。可以是与前一期相关，也可以是与以前若干期都相关；常见的为时差为一期的序列相关，称之为一阶自相关。

●对于序列相关，若采用最小平方法估计参数，将会产生严重的后果：1）估计标准差S可能严重低估σ的真实值；2）样本方差可能严重低估D(βj)的真实值；3）估计回归系数可能歪曲βj的真实值；4）通常的F检验和t检验将不再有效；5）根据最小平方法估计量所作的预测将无效。方差●DW检验（Durbin-Waston准则)——一阶自相关展开式大样本时(n>30)●DW检验步骤Step1：利用最小平方法求回归模型及残差eiStep2：计算DW的值；Step3：根据给定的检验水平及自变量的个数m,从Dw检验表中差的相应的临界值DL、DU,从根据表得出检验结论。DW检验判别表与样本的容量n和自变量的个数m有关n一定时，m愈大，无结论区愈大；m一定时，n愈大，无结论区愈小；注意：若DW的统计量落入无结论区，则不能做出回归模型是否存在自相关现象的结论。DW检验判别域？当落入无结论区的解决办法：●增加样本；●调整样本；●采用其它方法进行自相关检验；？产生自相关的原因●忽略某些重要的影响因素；

●错误的选用了回归模型的数学形式；

●随机误差项ε的确是相关的（如后效性）；？产生自相关时的补救办法●把略去的重要影响因素一入到模型中；●重新选择合适的回归模型形式；●增大样本容量，改变数据的准确性；3.预测区间（1）估计标准误差

（2）预测值预测误差样本方差（3）预测区间

（n<30）(n≥30)4.例题1）配合适当的模型并进行各种检验；2）取α=0.05,求x2=67，x3=58时的预测值与预测区间；197819791980198119821983198419851986198