经典微分中值定理中值点渐进性的推广

经典微分中值定理中值点渐进性的推广

1982年，自阿兹皮亚提出了微分函数方程和积分中值方程的渐进性问题以来，各种平均数学问题的渐进性问题一直受到数学工作者的关注。拉格朗日平均评价理论和科西平均评价理论这两个经典的微分评价中值点的渐进性研究也取得了许多良好的结果。为了简化描述，拉格朗日平均评价理论和科西平均评价理论如下。拉格朗日中值定理设函数f在闭区间[a,x]上连续,在开区间(a,x)内可导,那么在(a,x)内至少存在一点ξ,使f(x)-f(a)=f′(ξ)(x-a)(1)柯西中值定理设函数f,g在闭区间[a,x]上连续,在开区间(a,x)内可导,且对任一t∈(a,x),g′(t)≠0,那么在(a,x)内至少存在一点ξ,使f(x)-f(a)g(x)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ)(2)对于拉格朗日中值定理,AlfonsoG.Azpeitia首先得到如下结果:定理1设函数f在闭区间[a,x]上二阶可导,f″在点a处右连续且f″(a)≠0,则公式(1)中的ξ满足limx→a+ξ-ax-a=12戴立辉推广了定理1,得到定理2设函数f在闭区间[a,x]上存在直到n+1阶导数,f(n+1)在点a处右连续,且f(i)(a)=0(i=2,3,…,n),f(n+1)(a)≠0,那么公式(1)中的ξ满足limx→a+ξ-ax-a=1n√n+1对于柯西中值定理,李文荣得到定理3设函数f,g在闭区间[a,x]上二阶可导,对任一t∈[a,x],g′(t)≠0,f″,g″在点a处右连续,且f″(a)g′(a)-f′(a)g″(a)≠0,则公式(2)中的ξ满足limx→a+ξ-ax-a=12郑权将定理3推广为定理4设函数f,g在闭区间[a,x]上可导,且对任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limt→a+g′(t)存在,函数Η(t)=f′(t)g′(t)在[a,x]内存在直到n-1阶导数,在点a处存在n阶导数,并且H(i)(a)=0(i=1,2,…,n-1),H(n)(a)≠0,那么公式(2)中的ξ满足limx→a+ξ-ax-a=1n√n+1本文将对上述结果作进一步推广,得到一些更为一般性的结果.定理5设函数f,g在闭区间[a,x]上可导,limt→a+g′(t)存在,且对任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limx→a+f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α=A≠0,此处α>0,φ在[a,x]上严格单调且可导,φ′在点a处右连续,φ′(a)≠0,那么公式(2)中的ξ满足limx→a+φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)=1(1+α)1α证明由条件limt→a+g′(t)存在,根据导数定义及洛必达法则,有g+´考虑函数F(x)=f(x)-f(a)g(x)-g(a)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α.一方面,根据洛必达法则,有limx→a+F(x)=limx→a+g′(a)[f(x)-f(a)]-f′(a)[g(x)-g(a)]g′(a)[g(x)-g(a)][φ(x)-φ(a)]α=limx→a+g′(a)f′(x)-f′(a)g′(x)g′(a){g′(x)[φ(x)-φ(a)]α+[g(x)-g(a)]⋅α[φ(x)-φ(a)]α-1φ′(x)}=limx→a+f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α+α[g(x)-g(a)][φ(x)-φ(a)]α-1φ′(x)g′(x)=limx→a+{f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α⋅11+α⋅g(x)-g(a)x-a⋅x-aφ(x)-φ(a)⋅φ′(x)g′(x)}=A1+α(3)另一方面,根据柯西中值定理,又有limx→a+F(x)=limx→a+f′(ξ)g′(ξ)-f′(a)g′(a)[φ(x)-φ(a)]α(a<ξ<x)=limξ→a+f′(ξ)g′(ξ)-f′(a)g′(a)[φ(ξ)-φ(a)]αlimx→a+[φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)]α=Alimx→a+[φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)]α(4)比较(3)、(4)两式,可得limx→a+[φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)]α=11+α又由条件φ在[a,x]上严格单调知,φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)>0,故limx→a+φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)=1(1+α)1α在定理5中,若取φ(t)=t,则可得推论1设函数f,g在闭区间[a,x]上可导,limt→a+g′(t)存在,且对任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limx→a+f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)(x-a)α=A≠0,此处α>0,那么公式(2)中的ξ满足limx→a+ξ-ax-a=1(1+α)1α下面利用推论1证明定理4.多次利用洛必达法则,有limx→a+Η(x)-Η(a)(x-a)n=limx→a+Η′(x)n(x-a)n-1=limx→a+Η″(x)n(n-1)(x-a)n-2=⋯=limx→a+Η(n-1)(x)n(n-1)⋯2⋅(x-a)=limx→a+Η(n-1)(x)-Η(n-1)(a)n!⋅(x-a)=Η(n)(a)n!≠0于是,由推论1可得limx→a+ξ-ax-a=1n+1n可见,定理5及推论1是定理4的推广.定理6设函数f,g在闭区间[a,x]上可导,且对任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limt→a+g′(t)存在,函数Η(t)=f′(t)g′(t)在点a处可导,那么公式(2)中的ξ满足limx→a+Η(ξ)-Η(a)x-a=12Η′(a)证明根据条件limt→a+g′(t)存在,在定理5的证明中已经得到g′+(a)=limt→a+g′(t).与定理5的证明类似,考虑函数F(x)=f(x)-f(a)g(x)-g(a)-f′(a)g′(a)x-a.一方面,根据洛必达法则,有limx→a+F(x)=limx→a+g′(a)[f(x)-f(a)]-f′(a)[g(x)-g(a)]g′(a)(x-a)[g(x)-g(a)]=limx→a+g′(a)f′(x)-f′(a)g′(x)g′(a)[(x-a)g′(x)+g(x)-g(a)]=limx→a+f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)x-a+g(x)-g(a)g′(x)=limx→a+{f′(x)g′(x)-f′(a)g′(a)x-a⋅11+g(x)-g(a)x-a⋅1g′(x)}=limx→a+Η(x)-Η(a)x-a⋅limx→a+11+g(x)-g(a)x-a⋅1g′(x)=Η′(a)2(5)另一方面,根据柯西中值定理,又有limx→a+F(x)=limx→a+f′(ξ)g′(ξ)-f′(a)g′(a)x-a(a<ξ<x)=limx→a+Η(ξ)-Η(a)x-a(6)比较(5)、(6)两式,可得limx→a+Η(ξ)-Η(a)x-a=12Η′(a)定理7设函数f,g在闭区间[a,x]上可导,且对任一t∈[a,x],g′(t)≠0,limt→a+g′(t)存在,函数Η(t)=f′(t)g′(t)在[a,x]上存在直到n-1阶导数,在点a处存在n阶导数,并且H(i)(a)=0(i=1,2,…,n-1),H(n)(a)≠0,那么公式(2)中的ξ满足limx→a+Η(i)(ξ)x-a={0,i=1,2,⋯,n-2Η(n)(a)n+1n,i=n-1证明根据定理4,有limx→a+ξ-ax-a=1n+1n于是,limx→a+Η(i)(ξ)x-a=limx→a+[Η(i)(ξ)-Η(i)(a)ξ-a⋅ξ-ax-a](i=1,2,⋯,n-1)=limξ→a+Η(i)(ξ)-Η(i)(a)ξ-a⋅limx→a+ξ-ax-a=Η(i+1)(a)⋅1n+1n={0,i=1,2,⋯,n-2Η(n)(a)n+1n,i=n-1拉格朗日中值定理是柯西中值定理在g(t)=t时的特殊情形,对于拉格朗日中值定理也有类似于定理5～7的结果.定理8设函数f在闭区间[a,x]上可导,limx→a+f′(x)-f′(a)[φ(x)-φ(a)]α=A≠0,此处α>0,φ在[a,x]上严格单调且可导,φ′在点a处右连续,φ′(a)≠0,那么公式(1)中的ξ满足limx→a+φ(ξ)-φ(a)φ(x)-φ(a)=1(1+α)1α推论2设函数f在闭区间[a,x]上可导,limx→a+f′(x)-f′(a)(x-a)α=A≠0,此处α>0,那么公式(1)中的ξ满足limx→a+ξ-ax-a=1(1+α)1α定理9设函数f在闭区间[a,x]上可导,在点a处二阶