东北大学 材料力学1

第一章轴向拉伸和压缩

拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种。它所涉及的一些基本原理与方法比较简单，但在弹性静力学中却有一定的普遍意义。

本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问题，包括：内力、应力、变形；材料在拉伸和压缩时的力学性能以及强度设计，目的是使读者对弹性静力学有一个初步的、比较全面了解。关于拉伸和压缩的进一步的问题，将在以后有关章节中陆续加以介绍。第一章轴向拉伸和压缩第一章轴向拉伸和压缩斜拉桥承受拉力的钢缆第一章轴向拉伸和压缩§1-1轴向拉伸和压缩时的内力§1-2横截面上的应力

§1-3

轴向拉伸和压缩的变形

§1-4

拉伸和压缩时材料的力学性能§1-5

轴向拉伸和压缩的强度与计算§1-6

应力集中概念

第一章轴向拉伸和压缩§1-7

拉伸和压缩静不定问题

§1-1轴向拉伸和压缩时的内力第一章轴向拉伸和压缩轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。§1-1轴向拉伸和压缩时的内力返回总目录§1-1轴向拉伸和压缩时的内力1、截面法：①假想截开：在所求内力处，用截面将杆件一分为二②内力代替：去掉部分对留下部分的作用力（或力偶）③平衡求内力：根据留下部分平衡计算内力轴向拉压杆：

APP简图APPPAN假想截开：内力代替：平衡求力：§1-1轴向拉伸和压缩时的内力

表示轴力沿杆轴线变化的图形，称为轴力图

§1-1轴向拉伸和压缩时的内力4、轴力图：2、轴力——轴向拉压杆的内力，用N表示。3、轴力的正负规定:拉伸为正，压缩为负。直杆，A端固定，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中F1＝5kN，F2＝10kN。F1F2CABllFA试求：各段轴力，画杆件的轴力图。例题2解：1.确定A处的约束力

A处虽然是固定端约束，但由于杆件只有轴向载荷作用，所以只有一个轴向的约束力FA。求得：FA＝5kN

由平衡方程：§1-1轴向拉伸和压缩时的内力CABllF1F2

解：2.确定控制面

3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡。CABF2llF1FA

在集中载荷F2、约束力FA作用处的A、C截面，以及集中载荷F1作用点B处的上、下两侧横截面都是控制面。B"B'§1-1轴向拉伸和压缩时的内力CABlF1F2l3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：CABllF1F2FAB"B'CABllF1F2FNA§1-1轴向拉伸和压缩时的内力3.应用截面法应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：CABllF1F2FAB"B'CBlF1F2B"FNB''

§1-1轴向拉伸和压缩时的内力3.应用截面法应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：CABllF1F2FAB"B'FNB'ClF2B'§1-1轴向拉伸和压缩时的内力3.应用截面法应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：CABllF1F2FAB"B'FNCClF2§1-1轴向拉伸和压缩时的内力4.建立FN－x坐标系，画轴力图FN－x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向，FN坐标轴垂直于x轴。将所求得的各控制面上的轴力标在FN－x坐标系中，得到a、和c四点。因为在A、之间以及、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同。这表明a点与点心”之间以及c点之间的轴力图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力图。§1-1轴向拉伸和压缩时的内力FN/kNOxCABF1F2llCABllF1F2FNAFNB''

CBlF1F2B"FNB'ClF2B'FNCClF2b"5b'10c105a§1-1轴向拉伸和压缩时的内力4.建立FN－x坐标系，画轴力图[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、

P的力，方向如图，试画出杆的轴力图。N1ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPD解：求OA段内力N1：设置截面如图§1-1轴向拉伸和压缩时的内力同理，求得AB、BC、CD段内力分别：N2=–3P

N3=5PN4=PBCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4轴力图：N2P3P5PP++–§1-1轴向拉伸和压缩时的内力§1-2横截面上的应力第一章轴向拉伸和压缩

当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。§1-2横截面上的应力

很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为其中FNx—横截面上的轴力，由截面法求得；A—横截面面积。§1-2横截面上的应力返回返回总目录§1-3

轴向拉伸和压缩的变形

第一章轴向拉伸和压缩

绝对变形、弹性模量

相对变形、正应变

横向变形与泊松比

§1-3轴向拉伸和压缩的变形

相对变形正应变

§1-3轴向拉伸和压缩的变形

对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量

l/l表示轴向变形的程度，称为正应变，用

x表示。

§1-3轴向拉伸和压缩的变形

设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为

，其中

l为杆的伸长量。

绝对变形弹性模量

§1-3轴向拉伸和压缩的变形

实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量

l与杆所承受的轴向载荷成正比。§1-3轴向拉伸和压缩的变形

消除尺寸的影响：应力与应变的关系为：胡克定律：当应力不超过某一限度时，正应力与线应变成正比。§1-3轴向拉伸和压缩的变形

E—弹性模量

这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。其中，FP为作用在杆件两端的载荷；E为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA称为杆件的拉伸（或压缩）刚度;式中“＋”号表示伸长变形；“－”号表示缩短变形。

§1-3轴向拉伸和压缩的变形

横向变形与泊松比

§1-3轴向拉伸和压缩的变形

杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。

实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变

x与横向应变

y之间存在下列关系：

为材料的另一个弹性常数，称为泊松比,为无量纲量。§1-3轴向拉伸和压缩的变形

应力与变形算例返回返回总目录§1-3轴向拉伸和压缩的变形

例题1

已知:阶梯形直杆受力如图示。材料的弹性模量E＝200GPa；杆各段的横截面面积分别为A1＝A2＝2500mm2，A3＝1000mm2；杆各段的长度标在图中。

试求：

1．杆AB、BC、CD段横截面上的正应力；2．杆的总伸长量。§1-3轴向拉伸和压缩的变形

解：1．计算各段杆横截面上的正应力

AB段：

BC段：CD段：

因为杆各段的轴力不等，而且横截面面积也不完全相同，因而，首先必须分段计算各段杆横截面上的轴力。分别对AB、BC、CD段杆应用截面法，由平衡条件求得各段的轴力分别为：§1-3轴向拉伸和压缩的变形

进而，求得各段横截面上的正应力分别为：

解：1．计算各段杆横截面上的轴力和正应力

AB段：

BC段：CD段：AB段：BC段：CD段：§1-3轴向拉伸和压缩的变形

解：2、计算杆的总伸长量

因为杆各段的轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后相加。应用杆件承受轴向载荷时的轴向变形公式§1-3轴向拉伸和压缩的变形

解：2、计算杆的总伸长量

计算各段杆的轴向变形分别为：杆的总伸长量为：§1-3轴向拉伸和压缩的变形

例题2

已知:三角架结构尺寸及受力如图所示。其中FP＝22.2kN；钢杆BD的直径dl＝25.4mm；钢梁CD的横截面面积A2＝2.32×103mm2；二者的弹性模量E＝200GPa。试求:杆BD与CD的横截面上的正应力。§1-3轴向拉伸和压缩的变形

解：1．受力分析，确定各杆的轴力

首先，对组成三角架结构的构件作受力分析，画出受力图。因为B、C、D三处均为销钉连接，故BD与CD杆均为二力构件由平衡方程解得二者的轴力分别为：其中负号表示压力。§1-3轴向拉伸和压缩的变形

解：2．计算各杆的应力

应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD杆与CD杆横截面上的正应力分别为：BD杆－CD杆－其中负号表示压应力。§1-3轴向拉伸和压缩的变形

前面的两节分析了轴向载荷作用下构件中的应力和变形，以后的几章中还将对其它复杂载荷作用下的构件作应力和变形分析。但是，在工程应用中，确定应力很少是最终目的，而只是工程师借助于完成下列主要任务的中间过程：

分析已有的或设想中的机器或结构，确定他们在特定载荷条件下的性态；

设计新的机器或新的结构，使之安全而经济地实现特定的功能。§1-3轴向拉伸和压缩的变形

例如，对于三角架结构，前面已经计算出拉杆BD和压杆CD横截面上的正应力。现在可能有以下几方面的问题：

在这样的应力水平下，二杆分别选用什么材料，才能保证三角架结构可以安全可靠地工作？

在给定载荷和材料的情形下，怎样判断三角架结构能否安全可靠的工作？

在给定杆件截面尺寸和材料的情形下，怎样确定三角架结构所能承受的最大载荷？

为了回答上述问题，仅仅计算应力是不够的，还必须通过实验研究材料在拉伸与压缩载荷作用下的力学性能；在此基础上，建立杆件在轴向载荷作用下的强度设计准则。§1-3轴向拉伸和压缩的变形

返回返回总目录§1-4

拉伸和压缩时材料的力学性能第一章轴向拉伸和压缩

标准试样

韧性材料与脆性材料的拉伸应力－应变曲线

韧性材料与脆性材料压缩时的应力－应变曲线

§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

标准试样

§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

为了得到应力一应变曲线，需要将给定的材料作成标准试样,在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验。拉伸试样可以是圆柱形的。若试验材料为板材，则采用板状试样。其中l0称为标准长度或称标距；d0为圆柱形试样标距内的初始直径；A0为板试样标距内的初始横截面面积。§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能为了得到应力一应变曲线，需要将给定的材料作成标准试样,在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验。试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

韧性材料与脆性材料的拉伸应力－应变曲线§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能脆性材料§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能韧性金属材料§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能聚合物§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

韧性材料与脆性材料压缩时的应力－应变曲线§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

常温、静载下材料的力学性能

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弹性区域内的应力一应变关系

屈服与屈服强度

应变硬化与强度极限

局部变形与颈缩现象

表征材料韧性的指标——延伸率与截面收缩率§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

弹性区域内的应力一应变关系

§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

p

比例极限

e

弹性极限§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

屈服与屈服强度

§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

s

屈服强度§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

0.2条件屈服应力—塑性应变等于0.2％时的应力值§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

应变硬化与强度极限

§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能应变硬化§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

局部变形与颈缩现象

§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能

表征材料韧性的指标—延伸率与截面收缩率

§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能强度指标(失效应力)韧性材料σ0＝σS

脆性材料σ0＝σb韧性指标脆性材料韧性金属材料－延伸率§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能卸载再加载曲线与原来的应力一应变曲线比较(图中曲线OAKDE上的虚线所示)，可以看出：K点的应力数值远远高于A点的应力数值，即比例极限有所提高；而断裂时的塑性变形却有所降低。这种现象称为应变硬化。工程上常利用应变硬化来提高某些构件在弹性范围内的承载能力。§1-4拉伸和压缩时材料的力学性能返回返回总目录第一章轴向拉伸和压缩§1-5

轴向拉伸和压缩的强度计算

失效的概念

拉伸和压缩杆件的失效判据

拉伸和压缩杆件的设计准则

§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

失效的概念

§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

工程结构与设备以及它们的构件和零部件，由于各种原因而丧失其正常工作能力的现象，称为失效。本章所讨论的只是因强度不足而引起的失效，称为强度失效。

破坏是一种强度失效，但不破坏也可以发生强度失效。例如机床的主轴，在事故的过程中产生了很大的变形，虽然主轴并未断开，甚至还可以继续转动，但它已不能满足工程对它的精度要求。从这一意义讲，强度失效就是广义的破坏。因此，强度失效对于工程结构和设备是一个可怕的字眼，强度失效意味着结构或设备必须退役，否则将会造成严重的后果。本节主要介绍最简单、最基本的强度失效及其控制，就是根据实验结果直接建立拉伸和压缩杆件的失效判据与设计准则。关于更加复杂而全面的失效判据与设计准则，将在第11章中详细介绍。§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

拉伸和压缩杆件的失效判据

§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算通过拉伸试验，可以归纳出材料在简单拉伸情况下有以下几种强度失效形式：

塑性变形

-韧性材料应力超过弹性极限，但仍未发生屈服。

屈服－韧性材料应力达到屈服强度时，尽管应力不增加，应变继续增加

断裂－脆性材料应力达到强度极限后，发生断裂；韧性材料颈缩后发生断裂。§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算由于大多数材料，弹性极限与屈服强度非常接近，因此，将前面两种失效归结为屈服。于是，根据拉伸和压缩的实验结果，建立屈服和断裂的失效判据分别为：韧性材料脆性材料

max=

0=

b

max=

0=

s其中，

max为拉、压杆件中横截面上的最大工作应力；

s为韧性材料的屈服强度；

b为脆性材料的强度极限。§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

拉伸和压缩杆件的设计准则

§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算为了保证零件或构件的正常工作能力，而不发生强度失效，需要对零件或构件横截面上的最大应力加以限制。考虑到保证零件或构件安全工作需要一定的安全裕度。因此，按以下原则对最大应力加以限制：对于屈服

对于脆性断裂

上述二式中，ns和nb分别为对应于屈服强度和强度极限的安全裕度，通常称为安全因数。§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算引入许用应力的概念，上述二式可以写成如下形式：此即杆件在轴向载荷作用下的强度设计准则（designcriterionofstrength），又称为强度条件。其中[σ]称为材料的许用应力（allowablestress），由下式确定：对于屈服

对于脆性断裂

§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

强度计算过程与算例返回返回总目录§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

三类强度问题

强度计算过程

拉伸、压缩构件强度设计算例

§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

三类强度问题

§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算强度计算的依据是强度设计准则或强度条件。据此，可以解决三类强度问题。§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

强度核核

当作用在构件或结构上的载荷、构件的横截面尺寸以及材料的许用应力均为已知时，校核构件中的最大工作应力是否满足强度设计准则。

强度设计

当作用在构件或结构上的载荷以及材料的许用应力均为已知时，应用强度设计准则，计算构件所必需的横截面面积，进而设计出构件横截面各部分的尺寸。这一类强度问题，又称为截面设计或尺寸设计。如果因为某种原因，截面尺寸不能达到设计要求，则可按强度条件，求出所需的许用应力值，然后选择合适的材料。这类问题称为材料选择。

确定许可载荷

当构件的横截面尺寸以及材料的许用应力均为已知时，要求确定构件或结构在强度安全的条件下所能承受的最大载荷。这一载荷称为许可载荷。§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

强度计算过程

§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

解决上述三类强度问题时一般应按下列步骤进行：

分析危险状态

对于移动载荷，应分析载荷在什么位置时结构或构件的受力为最大。当结构中存在两根以上的杆件时，如果材料相同，则应根据受力、截面尺寸判断哪一根最危险；如果材料也不同，则应综合考虑三种因素，确定可能的危险杆件，保证了危险杆件的强度是安全的，其余杆件必然是安全的。因而只需对危险杆件进行强度计算。

应用截面法计算内力

当沿杆件轴线方向有两个以上的外力作用时，则需要画出轴力图，并根据截面变化，确定可能的危险截面，只需对危险截面进行强度计算。

计算应力并应用强度条件，进行强度计算。

§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算

拉伸、压缩构件强度设计算例§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算例题3

已知：结构尺寸及受力。设AB、CD均为刚体，BC和EF为圆截面钢杆，直径均为d。若已知载荷FP＝39kN，杆的直径d＝25mm，杆的材料为Q235钢，其许用应力[σ]＝160MPa。试校核：此结构的强度是否安全。§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算解：

1．分析危险状态该结构的强度与杆BC和EF的强度有关，在校核结构强度之前，应先判断哪一根杆最危险。现二杆直径及材料均相同，故受力大的杆最危险。为确定危险杆件，需先作受力分析。根据受力图，应用平衡方程§1-5轴向拉伸和压缩的强度计算