复旦大学统计学课件-第四章 平均指标

1面向21世纪课程教材

统计学STATISTICS

高等教育出版社第四章平均指标第一节平均指标的基本理论第二节算术平均数第三节调和平均数第四节几何平均数第五节位置平均数第六节平均指标的应用数据分布的特征数据分布的位置特征和离散特征。位置特征离散特征位置特征数的含义它是用来概括分布的位置特征的数字它描述了数据的一般水平它是数据一般水平的代表值平均值（幂平均数）算术平均数（幂指数=1）调和平均数（幂指数=-1）几何平均数（幂指数0）其他幂平均数中位数众数第一节平均指标的基本理论一、平均指标的概念平均指标也称为统计平均数，它是说明同质总体内某一数量标志在具体时间、地点条件下达到的一般水平的综合指标。

二、平均指标的特点1.总体同质性2.数量抽象性3.一般代表性

三、平均指标的种类（一）算术平均数（二）调和平均数（三）几何平均数（四）中位数（五）众数数值平均数位置平均数第二节算术平均数一、算术平均数的基本形式例：直接承担者※注意区分算术平均数与强度相对数算数平均数和强度相对数的区别

（1）算术平均数是根据同一个总体的标志总量和总体总量计算的，分子分母来自同一个总体；而强度相对数是两种有密切联系现象之比，分子分母分别来自两个总体。（2）算术平均数对比的分子分母存在着依存汇总关系，分子是根据分母得来的；而强度相对数对比的分子分母不存在依存汇总关系。二、算术平均数的计算方法（一）简单算术平均数把每项数据直接加总后除以它们的项数。通常用于对未分组的数据计算算术平均数。计算公式：分组例题1表5-2年龄人数（人）xf2242510305501合计20表5-1男性女性2222222225252525252525252525303030305030解：采用简单算术平均法计算，即全体队员的平均年龄为（单位：周岁）：若采用简单平均：

分组数据不能简单平均！因为各组变量值的次数不等！（二）加权算术平均数—适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况加权算术平均数的计算公式：加权是为了体现各变量值轻重不同的影响作用，对各个变量值赋予不尽相同的权数（fi）.上例分组后的正确计算方法是：表现为次数、频数、单位数；即公式中的表现为频率、比重；即公式中的指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度。权数绝对权数相对权数三、算术平均数的数学性质⒈变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：⒉如果对每个标志值加或减一个任意数A，则算术平均数也要增加或减少那个A值3.如对每个标志值乘以或除以一个任意值A，则平均数也要乘以或除以那个A值。乘以A：简单算术平均数：

除以A：简单算术平均数：4.变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：5.两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和。6.两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变量平均数的乘积是非标志平均数指总体中全部单位只具有“是”或“否”、“有”或“无”两种表现形式的标志。是非标志分组单位数变量值具有某一属性不具有某一属性10合计—为研究是非标志总体的数量特征，令具有某种标志表现的单位数所占的成数不具有某种标志表现的单位数所占的成数指是非标志总体中具有某种表现或不具有某种表现的单位数占全部总体单位总数的比重。成数均值

【例2】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品380件，不合格品20件。求该产品的合格率。第三节调和平均数

调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数。

调和平均数的计算形式也分为简单调和平均数和加权调和平均数两种。一、简单调和平均数

——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况。其计算公式为：

【例3】设市场上某种蔬菜早市每斤1元，中午每斤2元，晚市每斤2.5元，若早、中、晚各买1元，问每斤的平均价格。分析：（1）早、中、晚各买1元，共买了3元；（2）早上用1元买了1斤，中午用1元买了0.5斤，晚上用1元买了0.4斤，一共买了1+0.5+0.4=1.9斤；

（3）平均每斤的价格为把以上过程综合起来，平均价格的计算过程如下：二、加权调和平均数

——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况。其计算公式为：

【例4】设市场中某种蔬菜早、中、晚的所购金额不同，求平均采购价格。价格（元/斤）采购金额/元采购量/斤xmm/x早市中午晚市1.002.002.5045642.52.4合计—158.9

【解】平均每斤价格：当己知各组变量值和标志总量时，调和平均数可以作为算术平均数变形使用。因为：

加权算术平均数和加权调和平均数的联系：二者的应用条件不同：如果资料中给出每组变量值x和对应的次数f，而没有给出各组的标志总量xf，这时要用加权算术平均数计算平均数；如果资料中给出每组变量值x和各组的标志总量xf，而没有给出各组的次数f，这是要用调和平均数计算平均数。

三、由相对数或平均数计算平均数由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比。设相对数

分子变量分母变量则有：己知，采用基本平均数公式己知，采用加权算术平均数公式己知，采用加权调和平均数公式比值（一）由相对数计算平均数【例5】根据下表资料计算该地区全部商店的平均流通费用率。商店按年商品流转额分组/万元各组商店平均流通费用率X/%流转额f/万元流通费用m=Xf/万元100以下100-200200-300300-400400-500500以上11.511.09.47.86.65.71001050325024501800110011.5115.5305.5191.1118.862.7合计——9750805.1

【解】：如果只有第1、2栏资料，没有第3栏资料，这时需要用加权算数平均法进行计算，即六个组的平均费用率为：

现在假定如果掌握的资料中没有第2栏，只有第1栏和第3栏，那么需要用调和平均法进行计算，即平均流通费用率为：（二）由平均数计算平均数

【例6】已知某商品在市场上的平均价格以及销售量资料如下表所示，现依据表中资料计算总平均价格。市场平均价格X（元/千克）销售量f/千克销售额M=Xf/元甲乙丙1.802.201.80300002000025000540004400045000合计——75000143000

解：①若已知销售量，需要加权算数平均法。

②若未知销售量，直接掌握销售额，则应用加权调和平均数。

第四节几何平均数几何平均数是N项变量值连乘积的开N次方根。用于计算现象的平均比率或平均速度。应用：各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：一、简单几何平均数

——适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况。其计算公式为：【例7】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的平均合格率。

因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；则该流水线产品总的合格率为：

即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。

※若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解相对数的平均数的方法计算。又因为应采用加权算术平均数公式计算，即二、加权几何平均数

——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况。其计算公式为：【例8】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪，2年为5﹪，2年为8﹪，3年为10﹪，1年为15﹪。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末本利和为：第2年末本利和为：………

………第12年末本利和为：第2年的计息基础第12年的计息基础则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。解：

★若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。分析第1年末的应得利息为：第2年末的应得利息为：第12年末的应得利息为：

设本金为V，则各年末应得利息为：…………则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）

这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为假定本金为V

所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：解：三、数值平均数计算公式的选用顺序是否为比率或速度各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度是否为其他比值是否否是否是几何平均法算术平均法求解比值的平均数的方法指标第五节位置平均数

一、众数

指总体中出现次数最多的变量值，用表示，它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。众数的确定：1.单项数列确定众数的方法：出现次数最多的标志值就是众数。

例如，已知某企业某日工人的日产量资料如下:日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800计算该企业该日全部工人日产量的众数。2.组距数列确定众数的方法①由最多次数来确定众数所在组②按公式计算众数【例9】某厂工人生产某种零件数量的资料如下，计算众数：月生产零件数量/个工人人数/人200以下200～400400～600600以上37328合计50月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200没有突出地集中在某个年份413名学生出生时间分布直方图众数的原理及应用（无众数）众数的原理及应用192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名学生的身高分布直方图（双众数）当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。出现了两个明显的分布中心二、中位数

1.概念：将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用表示。不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。2.中位数的作用：中位数的确定1.由未分组资料确定中位数（1）对某个标志值按大小顺序资料加以排列；（2）然后用下列公式确定中位数的位置。n为偶数n为奇数中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数【例10】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即再例如，上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数位置：中位数的确定2.由单项数列确定中位数①计算各组的累计次数；②根据中位数位置确定中位数。【例11】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800—计算该企业该