多样本均数比较的方差分析

多个样本均数比较的方差分析ANOVA

(AnalysisofVariance)

张建军zhangjj@汕头大学医学院ANOVA由英国统计学家RonaldAylmerFisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验（Ftest）。用于推断多个总体均数间有无差异.2023/10/173方差分析的基本思想完全随机设计资料的方差分析随机区组设计资料的方差分析多个样本均数间的多重比较多个样本方差比较的Bartlett检验和Levene检验

主要内容问题的提出:实验设计将所研究的对象分为多个处理组施加不同的干预（处理），由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状（差异），造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素（处理因素）。

方差分析即是检验各处理组均数间差别有无统计学意义的统计检验方法。方差分析的基本思想

及其应用条件2023/10/17四种饲料添加物对小鼠体重增长的比较（g）猪油花生油玉米油空白对照

0.839

0.799

0.443

0.430

0.745

0.698

0.414

0.332

0.604

0.554

0.502

0.436

0.851

0.823

0.613

0.382

0.973

0.944

0.402

0.457

0.636

0.595

0.343

0.593

0.656

0.814

0.75688

0.72414

0.45283

0.4074

2023/10/176正常组（x1j）冠心病组（x2j）脂肪肝组（x3j）4.756.265.784.754.366.684.775.245.444.614.675.864.494.555.674.025.185.245.034.615.424.575.125.144.215.266.094.884.835.744.625.595.724.615.065.71三组50-59岁男性的空腹血糖测定结果2023/10/17762.7855.6750.705.725.594.625.744.834.886.095.264.215.145.124.575.424.615.035.245.184.025.674.554.495.864.674.615.445.244.776.684.364.755.786.264.75脂肪肝组（x3j）冠心病组（x2j）正常组（x1j）33个数据各不相同-总变异2023/10/1785.715.064.615.725.594.625.744.834.886.095.264.215.145.124.575.424.615.035.245.184.025.674.554.495.864.674.615.445.244.776.684.364.755.786.264.75脂肪肝组（x3j）冠心病组（x2j）正常组（x1j）各组样本均数也各不相同——组间变异2023/10/1795.715.064.615.725.594.625.744.834.886.095.264.215.145.124.575.424.615.035.245.184.025.674.554.495.864.674.615.445.244.776.684.364.755.786.264.75脂肪肝组（x3j）冠心病组（x2j）正常组（x1j）同组内数据各不相同—组内变异2023/10/1710实验数据有三个不同的变异：

总变异（totalvariation）：全部测量值xij与总均数间的差别组间变异（betweengroupvariation）：各组的均数与总均数间的差异组内变异（withingroupvariation)：每组的j个原始数据与该组均数的差异

11

1．总变异：

反映所有测量值之间总的变异程度；其大小用离均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS)表示，即各测量值与总均数差值的平方和。

2．组间变异

各处理组由于接受处理的(水平)不同，各组的样本均数也大小不等，这种变异称为组间变异。其大小用各组均数与总均数的离均差平方和表示。组间变异反映各组均数之间的变异程度，组间变异＝①随机误差+②处理因素效应

SS组间越大，表示各处理水平反应可能不相同。2023/10/1713

3．组内变异

在同一处理组中，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，变异称为组内变异（误差）。组内变异用组内各测量值与其所在组的均数的差值的平方和表示，表示随机误差的影响。

2023/10/1714总变异组间变异组内变异处理因素的作用、随机误差随机误差均方(meansquare，MS)

变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方(meansquare，MS)。组内均方和组间均方的计算公式为:MS组内：组内均方，SS组内/

组内,MS组间：组间均方,SS组间/

组间,

总=总例数-1=N-1,

组间=组数-1=g-1

组内=总例数-组数=N-g,2023/10/1716统计量F值

即可知处理因素是否有作用2023/10/1717F值与F分布F分布曲线F分布是一种偏态分布。它的分布曲线由分子与分母两个自由度决定。F界值表附表3(P698)F界值表（方差分析用，单侧界值）上行：P=0.05下行：P=0.01

4.825.065.415.956.939.33

3.003.113.263.493.884.7512

99.3399.3099.2599.1799.0098.49

19.3319.3019.2519.1619.0018.512

585957645625540349994052

2342302252162001611

654321分子的自由度，υ1分母自由度υ2附表32023/10/1721

根据资料的设计类型，即变异的不同来源，将全部观察值总的离均差平方和(即总变异)分解成几个部分(组内变异和组间变异)，其自由度也分解为相应几个部分；除随机误差因素以外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释，通过比较不同来源变异的均方（MS），计算F值，借助F分布做出统计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。方差分析的基本思想22变异来源SS

MSFP总N-1组间g-1组内(误差)SS总-SS组间N-g单因素方差分析表SS组间

组间SS组内

组内MS组间MS组内231、各样本为相互独立的随机样本,均来自正态分布总体

2、各样本所来自的总体方差相等方差分析应用条件2023/10/1724采用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推论处理因素的效应。(也称单因素方差分析)完全随机设计的方差分析

（completelyrandomdesign）例：某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组，进行双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验结果，见表4-3。问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别?26

甲处理（n1）

N（试验对象）随机化分组乙处理（n2）丙处理（n3）

n1、n2、n3可等可不等（单因素）一、完全随机设计28二、变异分解表4-3

4个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L)三、分析步骤

H0：即4个试验组总体均数相等:

1=

2=

3=

4H1：4个试验组总体均数不全相等

=0.05

2.计算检验统计量按表4-4中的公式计算各离均差平方和SS、自由度、均方MS和F值1.建立检验假设，确定检验水准表4-5完全随机设计方差分析表列方差分析表3.确定P值，作出推断结论

按

=0.05

水准，拒绝H0，接受H1，差别有高度统计学意义，认为4个试验组LDL-C总体均数不相等，即不同剂量药物对血脂中LDL-C降低影响有差别。注意：

方差分析的结果拒绝H0，接受H1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较（见本章第六节）。当g=2时，完全随机设计方差分析与成组设计资料的t

检验等价，有

。35（randomizedblockdesign）(1)

随机区组设计(randomizedblockdesign)又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。即：先按影响试验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病程等）将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象随机分配到各处理或对照组。随机区组设计的方差分析例4-3

某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小鼠随机接受三种抗癌药物，以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？（2）随机区组设计的特点

随机分配的次数要重复多次，每次随机分配都对同一个区组内的受试对象进行，且各个处理组受试对象数量相同。区组内均衡。在进行统计分析时，将区组变异离均差平方和从完全随机设计的组内离均差平和中分离出来，从而减小组内离均差平方和（误差平方和），提高了统计检验效率。38例4-3

某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小