第四章 回归与相关分析

第四章回归与相关分析

统计学上采用相关分析

(correlationanalysis)研究呈平行关系的相关变量之间的关系。任务是找出表征这种相关关系密切程度的参数，即相关系数

统计学上采用回归分析（regressionanalysis）研究呈因果关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量，表示结果的变量称为依变量。任务是找出这种关系的方程或关系模型，用于预测、优化和控制相关分析与回归分析概念不同，功能不同，然而二者之间有着密切的信息关系．§1直线回归与相关设x

为回归变量，y为响应变量或因变量，x每取一个确定值xi,

y有许多观察值与之对应(yi1，yi2，…，yin)，即y在x＝

xi处为一统计总体，有它的均值和方差σ2

，服从N(，σ2）,

叫做y在xi处的条件期望值，表示为:y关于x的回归散点图1-1回归的概念

从数学上看，在x=xi处，xi与一个总体N(

,σ2）的y值对应，不是一一对应关系，即不是函数关系；然而xi与是一一对应关系．如果xi与

间存在函数y=f(x)关系，则称它为y关于x的回归方程．回归方程描述了y关于x的平均变化规律．1-2直线回归模型如果y关于x的回归方程y=f(x)是

则称其为y关于x的一元线性回归方程，或称为直线回归方程．β0称回归截距，β称为回归系数．β是x每加一个单位时y平均增加的单位（β＞0）或减少（β＜0）的单位数.Y1单位β单位β0X

设У

与X有线性回归关系，即独立观察了n个点（χ

i

，Уi

），在χ

i

处的观察值为(i=1,2,…,n)其中εi是随机误差，相互独立且服从N（0，σ2）一般线性回归模型中心化回归模型标准化线性回归模型其中

首先能表明

是经过点的；进一步表明回归方程是表达y随着x而平均变化的规律；其次，标准化模型克服了量纲对回归系数的影响．1单位β单位β0YX(,)变化的优点:1-3

参数估计及其统计性质另外，可用最小二乘法估计参数β0和β误差平方和：简单地说，最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近（在古汉语中“平方”称为“二乘”），“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小.一般直线回归方程中心化直线回归方程标准化直线回归方程在处，由于正态变量的线性组合仍然服从正态分布，故b0，b服从正态分布：b0，b均是yi的线性组合：BL(LeastSquares)最小二乘BLUE(BestLinearUbiasedEstimator)最佳线性无偏估计BLUP(BestLinearUbiasedPrediction)最佳线性无偏预测回归方程的统计性质：在处：说明在回归分析中，n愈大、SSx愈大（xi愈分散），则回归精度愈高。易于进行预报。1-4

回归平方和与剩余平方和

1、直线回归的变异来源

的分解图P（x,y）1.σ2的无偏估计为2.回归直线存在与否，关键在于H0:β=0是否成立．若H0成立，则回归直线不存在，否则就存在。说明：1-5

回归直线的有关假设检验

回归方程的显著性检验：无效假设HO：

=0，备择假设HA：

≠0

1-5-1回归直线的显著性检验1-5-2b的显著性检验1-5-3利用相关系数检验方程的显著性是ρ的最大似然估计，并称它为x与y的简单相关系数相关系数在农林科学研究中有广泛的应用，如两个数量性状间的表型相关系数、遗传相关系数、环境相关系数等在概率论中，两个随机变量x与y之间线性关系密切的程度用相关系数ρ来刻画：直线回归与相关的关联表现在回归的剩余平方和中：相关系数的假设检验：给定一个或，则由上式可算出相应的

叫做r在水平上的显著临界值．对于由样本估计的r,若，则接受，否则接受1-5-4b0的假设检验1-7预测与控制1-7-1预测显著时，可用于预测、控制等．但必须注意，运用时的取值范围只能在拟合回归方程时所用样本的范围内，不能外推。y＝？控制问题是预测问题的反问题.若要求y的个别值在[y1,y2]内的可靠性为，应把x控制在什么范围？1-7-2控制

1-6回归分析举例

例4.1

现有10头动物体重与饲料消化量的数据，试建立饲料消耗量对体重的回归方程解：（1）计算基本统计量（2）计算相关系数r，用它检验回归方程的显著性查r显著值（P350，附表11）：自由度用df＝n－2＝10－2＝8，变数的个数为2（x,

y）表中显示：r0.01＝0.765；直线