冀教版九年级数学上册 （解直角三角形）课件教学

26.3解直角三角形

学习目标12掌握直角三角形中的边角关系.

(重点)掌握解直角三角形的条件和解题技巧.

(难点)3理解解直角三角形的概念.(重点)一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:

ＡＣＢabc有三条边和三个角，其中有一个角为直角锐角三角函数知识回顾

30°

45°

60°三角函数知识回顾特殊角的三角函数值：在Rt△ABC中,∠C=90°,（1）根据∠A=60°,斜边AB=30,A在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,就可以求出其余三个元素.(其中至少有一个是边),你发现了什么？BC∠B

AC

BC∠A∠B

AB一角一边两边（2）根据AC=，BC=你能求出这个三角形的其他元素吗？两角（3）根∠A=60°,∠B=30°,

你能求出这个三角形的其他元素吗?不能你能求出这个三角形的其他元素吗?知识讲解ABC探究解直角三角形,只有两种:一、已知两条边;二、已知一条边和一个锐角.

在直角三角形中,除直角外,还有三条边和两个锐角共五个元素.由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.1.解直角三角形也就是说：在直角三角形中,由已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.知识讲解2.解直角三角形的依据ＡＣＢabc(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:（4）面积公式：

知识讲解知识讲解例1

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=34°,AC=6.解这个直角三角形.(结果精确到0.001)【思考】(3)你能根据∠A的正切求出线段BC的长吗?(1)要解这个直角三角形,需要求出哪些元素?(需要求∠B的大小及BC,AB的长.)(2)∠A与∠B的大小关系是什么?(需要求∠B的大小及BC,AB的长.)（由tanA=得BC=ACtanA.）

知识讲解(4)你能求出线段AB的长吗?你还有其他方法求AB的长吗?(勾股定理或∠A的正弦、余弦或∠B的正弦、余弦.)解:∠B=90°-∠A=90°-34°=56°,∵

，∴BC=AC·tanA=AC·tan34°≈6×0.6745=4.047.∴7.238.知识讲解如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.ABCac2035°你还有其他方法求出c吗？解：练一练例2如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=8.解这个直角三角形.(角度精确到1″)(4)你有几种方法可以求斜边AB的长?(1)已知线段AC,BC分别是∠A的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系?(2)已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗?(3)已知∠A的度数怎样求∠B的度数?知识讲解解：∵,∴∠A≈28°4'20″.∴∠B=90°-∠A≈90°-28°4'20″=61°55'40″.∵AB2=AC2+BC2=152+82=289,∴AB=17.知识讲解如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解这个直角三角形.解：ABC练一练1.直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素.知识归纳2.运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:（1）锐角之间的关系:∠A=90°-∠B,

∠B=90°-∠A.（2）三边之间的常用变形：a

=，

b=，

c=.

知识讲解（3）边角之间的常用变形:a=c·sinA,b=c·cosA,a=b·tanA,a=c·cosB,b=c·sinB,b=a·tanB.3.虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘勿除”的原则.4.选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.5.遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.知识讲解1.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,欲求∠A的值,最适宜的做法是 (

)A.计算tanA的值求出B.计算sinA的值求出C.计算cosA的值求出D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B解析:因为AC,BC分别是∠A的邻边、对边,所以最适宜的方法是计算tanA的值求出∠A.故选A.A随堂训练2.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是(

)A.csinA=a B.bcosB=cC.atanA=b D.ctanB=b解析：由a2＋b2＝c2，得∠C=90°，∴sinA=,cosB=,tanA=,tanB=，∴csinA＝a

，ccosB＝a,btanA＝a,atanB＝b，故选A.A随堂训练3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=20，c=20，则∠A=

，∠B=

,b=

.解析：∵sinA=，∴∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=45°，∴∠A=∠B，∴b=a=20.故填45°、45°、20.45°45°20随堂训练4.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=6;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,c=8.解：（1）∵tanA=，

∴∠A＝30°，∴∠B＝90°-30°=60°,AB=2BC=4.

（2）∵∠A＝60°，

∴∠B＝90°-60°=30°.

随堂训练∵sinA=，∴a=c·sinA=8×sin60°=8×=12.∵∠B=30°,∴b=.随堂训练5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,b=30,解这个直角三角形(精确到0.1).尽量选择原始数据,避免累积误差随堂训练

解：∵sinA=∴∠A=30°，∠B=60°，

AC2=AB2-BC2==6，

∴AC=随堂训练

通过本节课的学习，大家有什么收获呢？课堂小结解直角三角形依据只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数26.4解直角三角形的应用第1课时

在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:(必有一边)ACBabc知识回顾问题：小明在距旗杆4.5m的点D处，仰视旗杆顶端A,仰角为50°；俯视旗杆的底部B,俯角为18°.求旗杆的高.（结果精确到0.1m）.小明ADB视线视线水平线4.5OC地平线解读:仰角、俯角是指视线与水平线的夹角.如：∠AOC是仰角，∠BOC是俯角.情景导入先将实际问题转化为数学问题ADB4.5OC

∴AB=AC+BC=1.44+5.36=6.8已知：如图所示，OD、AB均与BD垂直，垂足分别为点D、B，OC//BD，BD=4.5m，∠AOC=500，∠BOC=180。求AB的长度（结果精确到0.1m）。一起探究东西北南O(1)正东，正南，正西，正北(2)西北方向:_________西南方向:__________

东南方向:__________东北方向:__________射线OAABCDOBOCOD45°射线OE射线OF射线OG射线OHEGFH45°45°45°认识方位角O北南西东(3)南偏西25°25°北偏西70°南偏东60°ABC射线OA射线OB射线OC70°60°认识方位角例1

如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航线。在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围是多暗礁的危险区。如果这艘渔船继续向东航线，有没有进入危险区的可能.BCA北30°60°解读：方位角：视线与正南（或正北）方向的夹角.思考：如何判断渔船有没有可能进入危险区？例题讲解BCA北30°60°分析：只需要计算垂线段CD的长度即可.CD即渔船与小岛的最近距离，当CD≥10时，没有危险；当CD＜10时，有危险.D例题讲解BCA北30°60°DEF例题讲解

20BCA北30°60°DEF

解得，x=10∴渔船不会进入危险区.两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数例题讲解20BCA北30°60°DEF方法二：解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D.则∠CBD=60°,设CD=x在Rt△BCD中，在Rt△ACD中，

∴渔船不会进入危险区.两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数

例题讲解20BCA北30°60°DEF方法三：解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D.则∠CBD=90°-30°=60°,∵∠1=90°-60°=30°∴∠2=∠1=30°∴BC=AB=20∴在Rt△BCD中∴渔船不会进入危险区.把已知数值导入Rt△CBD中，不再用设未知数12例题讲解20BCA北30°60°DEF20BCA北30°60°DEF1220思考：用三角函数求边长，什么情况下需要设未知数、列方程？什么情况下不需要设未知数，可以直接求？方法一、二中已知边AB不是直角三角形的边长，需设未知数.方法三中导出BC=20，BC是直角三角形的边长，可直接计算，不设未知数.例题分析用三角函数求边长时的注意事项1.当给出的已知边长恰为直角三角形的边长时，可直接计算；2.当给出的已知边长不是直角三角形的边长时，可设未知数；3.当图形中出现两个直角三角形时，一般会用两次三角函数.总结分析1.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m.（精确到0.1m,参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）9.5随堂练习2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____米.100随堂练习解析：由题意知，从A处观测B，其俯角为450，

∴∠BAC=900-450=450，

又AC⊥BC

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴BC=AC=100米.3.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为____海里(结果取整数)．(参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0