人教版九年级数学上册 （垂直于弦的直径）圆教育课件

24.1.2垂直于弦的直径

学习目标1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.垂直于弦的直径赵州桥应用新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业探究新知37m7.23m你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？观察思考赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？O①圆是轴对称图形，②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.你能证明上面的结论吗？合作探究证明：过点A作AA'

CD，交⊙O于点A'，

垂足为M，连接OA，OA'在△OAA'中，∵OA

OA'∴△OAA'是等腰三角形又∵AA'

CD∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.FF'EE'BB'创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知证明如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.CDAA'MO⊙O关于直线CD对称圆的对称性①圆是轴对称图形，②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究OAA'M直径CD平分弦AA'，且平分，.AM=A'MCD点A与点A'重合；AM与A'M重合；

与

重合；与重合.在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？题设：①CD是⊙O直径②CD

AB①直径②垂直于弦创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知ECOABD垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.结论：①平分弦②平分弦所对的两条弧①AE

BE②，想一想创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDECOABDCOAB（1）（2）（3）（4）没有垂直AB、CD都不是直径DOABC抢答想一想创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？ECOABDECOABDCOAB（1）（2）（3）（4）DOABCCOABEOABD垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.过圆心创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CD

AB?OABCDE垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.为什么？圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知延伸垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧.④平分弦所对的弧,①②→③④⑤①③→②④⑤还有别的结论吗？如：①④→②③⑤？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知延伸①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.条件结论①②③④⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.①③②④⑤平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.①④②③⑤①⑤②③④平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.②③①⑤④弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.………………知二推三BAODCR探究新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业应用新知典型例题例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).37m7.23m解：如图

表示主桥拱，设所在的圆的圆心为O，半径为R.

经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与

相交于点C，连接OA，

根据垂径定理，D是AB的中点，C是

的中点，CD就是拱高.BAODCR探究新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业应用新知典型例题例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).由题设可知：AB37，CD7.23，∴AD

AB3718.5，

OD

OC

CD

R7.23，在Rt△OAD中，由勾股定理得：

OA2

AD2

OD2，即：R2

18.52(R7.23)2解得：R27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.随堂练习探究新知应用新知课堂小结布置作业巩固新知创设情境1.

在⊙O中，若CD

AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是()A.B.C.AM

OM

D.CM

DMMAOCDBC随堂练习探究新知应用新知课堂小结布置作业巩固新知创设情境2.

已知⊙O的直径AB10，弦CD

AB于M，OM3，则CD

.MAOCDB85343.

在⊙O中，弦CD

AB于M，AB为直径，若CD10，AM1，则⊙O的半径为

.MBOCDAr15r1(r1)252

r213解决有关弦的问题时，半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算.随堂练习探究新知应用新知课堂小结布置作业巩固新知创设情境4.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.MAOCDBN解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.由垂径定理可得：

BM

AB12cm，DN

CD5cm

又∵OB

OD13cm

在Rt△OBM，Rt△ODN中，

由勾股定理得：OM5cm，ON12cm

∴AB和CD之间的距离MN

OM

ON7cm

或MN

OM

ON17cmMNOACDB分类讨论探究新知应用新知布置作业巩固新知课堂小结创设情境垂径定理简单计算垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.通常添加半径做辅助线，构造直角三角形，结合勾股定理进行计算或证明.布置作业教科书第83页练习第1、2题探究新知应用新知课堂小结巩固新知创设情境再见点和圆的位置关系

学习目标1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法，能熟练地运用判定方法

判定点与圆的位置关系2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆，能画出三角形的外接圆01新课导入新课导入我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同、半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？02探索新知点和圆的位置关系r问题2：设⊙O半径为r,说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系：·COABOC>r.问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？点C在圆外.点A在圆内，点B在圆上，OA<r，OB=r，点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.点P在圆内d＜r

；

符号读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端从右端也可以得到左端．r·OA问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径的数量关系，能否判断点和圆的位置关系？PPP点和圆的位置关系你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示.弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好.探究（确定圆的条件）我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？无数个A经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个探究（确定圆的条件）过两点能做几个圆AB过A、B两点的圆的圆心有何特点？●O●O经过两点A，B作圆，由于所作圆的圆心到A，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线，这样的圆也可以作出无数个思考ABC1、连结AB，作线段AB的垂直平分线DE，ODEGF2、连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O，3、以O为圆心，OB为半径作圆，作法：⊙O就是所求作的圆已知：不在同一直线上的三点A、B、C求作：⊙O，使它经过A、B、C思考请你证明你作的圆符合要求证明:∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理,OB=OC.∴OA=OB=OC.∴点A,B,C在以O为圆心，OA长为半径的圆上.∴⊙O就是所求作的圆,在上面的作图过程中.∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.ABCODEGF总结归纳1.经过一个点可以作出无数圆2.经过两个点可以作出无数圆3.经过不在同一条直线上的三个点确定一个圆三角形的外接圆O1.由定理可知：经过三角形三个顶点可以作一个圆.并且只能作一个圆.ABC2.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.3.三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外接圆圆的内接三角形三角形的外接圆三角形的外心ABCO

外心1.三边垂直平分线的交点2.到三个顶点距离相等三角形的外接圆OABCABCO直角三角形外心是斜边AB的中点钝角三角形外心在△ABC的外面三角形的外心是否一定在三角形的内部？思考以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直