冀教版八年级数学下册 （平行四边形的判定） 教学课件(第2课时)

第二十二章四边形平行四边形的判定第2课时

1课堂讲解由两组对边的关系判定平行四边形由对角线互相平分判定平行四边形平行四边形判定方法的综合应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升根据平行四边形的性质思考：对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？1知识点由两组对边的关系判定平行四边形如图将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边．转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？知1－导木条在转动过程中，虽然形状发生了变化，但始终是平行四边形。由此我们可以猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。你能通过几何证明验证你的猜想吗？BCAD知1－导已知：在四边形ABCD中,AB=CD，AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：连结AC，在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1=∠2，∠3=∠4(全等三角形的对应角相等)∴AB∥CD，AD∥BC(内错角相等，两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形.(平行四边形的定义)BDAC2134知1－导归纳知1－导通过证明验证了猜想的正确性，因此我们得到平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.数学语言表示：∵AB＝CD，AD＝BC

(已知)∴四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)BDAC知1－讲例1

如图，分别以△ABC的三边为一边，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF是平行四边形．导引：由等边三角形的性质可以得到线段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF的两组对边分别相等，最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定．（来自《点拨》）知1－讲（来自《点拨》）∵△ABD、△BCE、△ACF都为等边三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA.∴∠DBE＝∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE＝AC.又∵AC＝AF，∴AF＝DE.同理可证△ABC≌△FEC，∴AB＝FE.∴FE＝AD.∴四边形ADEF是平行四边形．证明：总

结

解答本题时通过证明三角形全等得到四边形ADEF的两组对边分别相等是关键．知1－讲（来自《点拨》）已知：如图，

AC为▱ABCD的对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形DEBF是平行四边形知1－练（来自教材）知1－练（来自教材）在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC.因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠DEA＝∠DEF＝∠BFE＝∠BFC＝90°，因为AD∥BC，所以∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，所以△ADE≌△CBF，所以DE＝BF，因为∠DEF＝∠BFE＝90°，所以DE∥BF，所以四边形DEBF是平行四边形．证明：2如图，已知三点A，B，C.画平行四边形，使其三个顶点分别是A，B，C.知1－练（来自教材）解：略．知1－练（来自教材）3已知：如图，在▱ABCD的各边AB，BC，CD，DA上分别取点K，L，M，N，使AK=CM，BL=DN.求证：四边形KLMN是平行四边形.知1－练（来自教材）在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，因为AK＝CM，所以DM＝BK，在△NDM和△LBK中，所以△NDM≌△LBK.所以MN＝KL，同理可得NK＝ML，所以四边形KLMN是平行四边形．证明：知1－练（来自《典中点》）四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是(

)A．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形4B知1－练（来自《典中点》）下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是(

)A．两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两个锐角三角形D．两个全等三角形5D知1－练（来自《典中点》）在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有(

)A．3种B．4种C．5种D．6种6B2知识点由对角线互相平分判定平行四边形知2－导

通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？

下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明.思考知2－导

如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.

求证：四边形ABCD是平行四边形.∵OA=OC，OD=OB,∠AOD=∠COB，

∴△AOD≌△COB.

∴∠OAD=∠OCB.∴AD//BC.

同理AB//DC.∴四边形ABCD是平行四边形.

证明：归纳知2－导平行四边形的判定定理3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：如图，在四边形ABCD中，∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．（来自《点拨》）知2－讲例2已知：如图，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OA，OC的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.（来自教材）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.∵E，F分别为OA，OC的中点.∴OE=OF.∴四边形EBFD是平行四边形．总结知2－讲从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.1已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，G是OA的中点，H是OC的中点.求证：四边形EGFH是平行四边形.知2－练（来自教材）知2－练（来自教材）解：在▱ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，因为AD∥BC，所以∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，所以△AEO≌△CFO，所以EO＝FO，因为G是OA的中点，H是OC的中点，所以OG＝OH＝OA＝OC，所以四边形EGFH是平行四边形．知2－练【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件______________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．（来自《典中点》）2BO＝DO知2－练【中考·昆明】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(

)A．AB∥CD，AD∥BC

B．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB∥CD

D．AB＝CD，AD＝BC（来自《典中点》）3C知2－练【中考·绵阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为(

)A．6B．12C．20D．24（来自《典中点》）4D3知识点平行四边形判定方法的综合应用例3[中考·仙桃]如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB.给出以下条件：①BE∥DF；②BE＝DF；③AE＝CF.请你从中选取一个条件，使∠1＝∠2成立，并给出证明．导引：欲证明∠1＝∠2，只需证得四边形BFDE是平行四边形或△ABF≌△CDE即可．（来自《点拨》）知3－讲知3－讲（来自《点拨》）选取条件①BE∥DF.证明：如图，∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA.∴∠BEA＝∠DFC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∴ED∥BF.∴∠1＝∠2.解：知3－讲（来自《点拨》）选取条件③AE＝CF.证明：∵AE＝CF，∴AF＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAF＝∠DCE.在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE(SAS)．∴∠1＝∠2.总

结知3－讲平行四边形判定方法综合起来有多种，具体选择哪种方法判定要取决于题目中给出的条件，最终目的都是为了简单、方便的判定四边形是平行四边形．（来自《点拨》）1已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.仅从下列条件中任意选取两项作为已知条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形的有哪些？①AB∥CD；②BC=AD；③AB=CD；④BC∥AD；⑤OA=OC；⑥OB=OD.知3－练（来自教材）知3－练（来自教材）解：①③，①④，①⑤，①⑥，②③，②④，④⑤，④⑥，⑤⑥均能够判定四边形ABCD是平行四边形．2已知：如图，D，E分别为△ABC的边AB和AC的中点，延长AE到点F，使EF=DE，连接CF.求证：四边形BCFD是平行四边形.知3－练（来自教材）知3－练（来自教材）如图，连接AF，DC.由点D，E分别为△ABC的边AB和边AC的中点，得AD＝BD，AE＝EC，由AE＝CE，DE＝EF可得四边形ADCF是平行四边形，所以AD∥CF，AD＝CF，又因为AD＝BD，所以BD＝CF，又因为BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形．证明：3如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点.试在AD边上找一点F，使四边形AECF是平行四边形，并说明理由.知3－练（来自教材）解：在AD边上找一点F，当满足AF＝EC时，可使得四边形AECF是平行四边形．说明理由略．【中考·湘西州】下列说法错误的是(

)A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形知3－练（来自《典中点》）4D在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列4组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有(

)A．1组B．2组C．3组D．4组知3－练（来自《典中点》）5C平行四边形的判定方法：如图：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．几何语言：∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形．几何语言：∵AO=CO，BO=DO，

∴四边形ABCD是平行四边形．1知识小结(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．几何语言：∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形．注意：

①当四边形的两组对边分别相等时，连接对角线，把四边形分成两个三角形，通过证明三角形全等来证明两组对边平行.②在已知或易证一组对边相等时，可以考虑证明另一组对边相等或证明这组对边平行.③需要注意的是“平行且相等”指的是同一组对边，不能是一组对边平行，另一组对变形等.④从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第二条对角线的中点.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(

)A．0个B．1个C．2个D．3个2易错小结易错点：混淆平行四边形的判定方法致判断错误B

请完成《典中点》Ⅱ、Ⅲ板块对应习题！第二十二章四边形平行四边形的性质第1课时

1课堂讲解平行四边形的定义平行四边形的中心对称性平行四边形的性质——对边相等平行四边形的性质——对角相等2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升从本节开始，我们将进一步认识一些特殊的四边形，并探究这些四边形的一些基本性质.1知识点平行四边形的定义在我们的周围存在着许多四边形.观察下列图片，从中找出四边形，并就它们的共同特性和不同特性，和大家交流你的看法.知1－导教室瓷砖图案伸缩门晾衣架知1－导上面图片中的四边形可以归类为以下四种：我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram).连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线(diagonal).两条对角线的交点叫做平行四边形的中心(center).知1－导如图，四边形ABCD是平行四边形，记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.线段AC，BD为□ABCD的两条对角线，点O为它的中心.1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.表示方法：平行四边形用符号“▱”表示，如图，平

行四边形ABCD记作“▱ABCD”，

读作“平行四边形ABCD”．3.

数学表达：⇔四边形ABCD是平行四边形.

即：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行

四边形；若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，AD∥BC.知1－导AB∥CDAD∥BC知1－讲例1

如图，在▱ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平

行于AB，BC，那么图中共有______

个平行四边形．导引：根据平行四边形的定义，知AB∥CD，AD∥BC，由

已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根据平行四边

形的定义可以判定四边形ABFE是平行四边形，同理

可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边形GBCH、

四边形AGPE、四边形EPHD、四边形GBFP、四边

形PFCH都是平行四边形，最后还要加上▱ABCD，

即共有9个平行四边形．9（来自《点拨》）总

结平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义既是平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；又是平行四边形判定的一种方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．对于任何一个几何定义，都具有两种功能，顺用是判定，逆用是性质．对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小到大等)分类计数，做到不重复不遗漏．知1－讲（来自《点拨》）1如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3.求▱ABCD的周长.知1－练（来自教材）在▱ABCD中，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA.因为AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠BAC.所以∠BAC＝∠BCA.所以AB＝CB.又因为AB＝3，所以AD＝DC＝BC＝AB＝3.所以▱ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝3＋3＋3＋3＝12.解：知1－练如图，▱ABCD中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是(

)A．13B．14C．15D．182D（来自《典中点》）知1－练（来自《典中点》）【中考·广州】如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为(

)A．6B．12C．18D．243C2知识点平行四边形的中心对称性知2－导1.如图，在半透明的纸上画一个▱ABCD，再复制一个.将两个图形完全重合，用大头针钉在中心处.使下面

的图形不动，将上面的图形绕中心O旋转180°.这

两个图形能完全重合?平行四边形是不是中心对称

图形？如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中

心？被对角线分成的三角形中，关于点O成中心对

称的三角形有几对？知2－导2.在上面的活动过程中，你发现了▱ABCD的对边AD与CB，AB与CD之间具有怎样的数量关系？对角∠BAD

与∠DCB，∠ABC与∠CDA之间具有怎样的数量关系？

线段OA与OC，OB与OD之间具有怎样的数量关系?3.把你的发现写出来，说明理由，并将结果与大家交流.归纳知2－导平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.（来自教材）知2－讲例2下列所述图形中，是中心对称图形的是()A．直角三角形B．平行四边形C．正五边形D．正三角形根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误；D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误.故选B．B解析：总结知2－讲（来自《点拨》）本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(a，b)，B(4，－2)，C(－a，－b)，则关于点D的说法正确的是(

)甲：点D在第一象限．乙：点D与点A关于原点对称．丙：点D的坐标是(－4，2)．丁：点D与原点距离是2.A．甲乙B．丙丁C．甲丁D．乙丙知2－练B（来自《典中点》）3知识点平行四边形的性质——对边相等知3－导

根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？

通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；下面我们对它进行证明.探究知3－导如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA.∴AD=CD，AB=CD.证明：归纳知3－导这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等.知3－讲1.边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边

相等．2.数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.（来自《点拨》）知3－讲例3[中考·玉林]如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(

)A．1

B．2

C．3

D．4（来自《点拨》）C知3－讲（来自《点拨》）根据BM平分∠ABC和AB∥CD可以判定△BCM是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合▱ABCD的周长是14得到CD的长，进而得到DM的长．具体过程如下：∵在▱ABCD中，AB∥CD，BM是∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2.又∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝3.导引：总

结知3－讲

当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD和BM平分∠ABC就得到△BCM是等腰三角形；在平行四边形的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行四边形的周长的一半”会经常用到．（来自《点拨》）1

在▱ABCD中，已知AB=3，AD=2，求▱ABCD的周长.知3－练（来自教材）在▱ABCD中，因为AB＝CD，AD＝BC，AB＝3，AD＝2，所以CD＝3，BC＝2.所以▱ABCD的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝3＋3＋2＋2＝10.解：2已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，DE与AB的延长线相交于点F.求证：B为AF的中点.知3－练（来自教材）知3－练在▱ABCD中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE.因为E为BC的中点，所以BE＝CE.在△FBE和△DCE中，所以△FBE≌△DCE.所以BF＝CD.又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B为AF的中点．（来自教材）证明：【中考·贵阳】如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为(

)A．6B．12C．18D．24知3－练（来自《典中点》）3B【中考·玉林】如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(

)A．1B．2C．3D．4知3－练（来自《典中点》）4C【中考·威海】如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是(

)A．BO＝OH

B．DF＝CEC．DH＝CG

D．AB＝AE知3－练（来自《典中点》）5D4知识点平行四边形的性质——对角相等知4－导

根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的角之间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？

通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对角相等；下面我们对它进行证明.探究知4－导如图，连接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA.∴∠B=∠D.请同学们自己证明∠BAD=∠DCB.证明：结论知4－导这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对角相等.知4－讲角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.（来自《点拨》）知4－讲例4如图，在▱ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平

行四边形各角的度数．

由平行四边形的对角相等，

得∠A＝∠C，结合已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度数；

再根据平行线的性质，进而求出∠B，∠D的度数．

在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.∵∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.∴∠B＝∠D＝120°.（来自《点拨》）解：

导引：总

结知4－讲（来自《点拨》）

平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数．在▱ABCD中，已知∠A，∠B的度数之比为5:4.求∠C的度数.知4－练在▱ABCD中，因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°.又因为∠A∶∠B＝5∶4，所以∠A＝180°×＝100°.所以∠C＝∠A＝100°.解：（来自教材）2已知一个平行四边形，其相邻两角的差是40°.求平行四边形各角的度数.知4－练略.解：（来自教材）3求平行四边形四个内角的度数和.知4－练如图所示，在▱ABCD中，因为AD∥BC，所以∠A＋