冀教版八年级数学上册 （直角三角形全等的判定）教学课件

17.4直角三角形全等的判定

探索并掌握直角三角形全等的判定定理的证明和简单的应用；（重点）会利用基本作图完成：已知一直角边和斜边作直角三角形；（重点）初步养成综合运用知识解决问题的能力，进一步提高推理能力；（难点）学习目标123新课导入想一想，填一填：复习图形条件是否能判定三角形全等三边相等（SSS）两边和它们夹角相等（SAS）两角和它们的夹边相等（ASA）两角和一角的对边相等（AAS）ABCA'B'C'√√√√

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员带了量角器和卷尺，他想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量你能用已学过的数学知识帮他想个办法吗？生活中的数学新课导入问题1.1

两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？ABCA'B'C'全等，AAS合作探究问题1.2

两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？ABCA'B'C'全等，ASA合作探究问题1.3

两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ABCA'B'C'全等，SAS合作探究问题1.4

两个直角三角形中，两边对应相等，这两个直角三角形全等吗？如何证明？ABCA'B'C'已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.

求证：△ABC≌△A′B′C′.

合作探究ABCA'B'C'

证明：在△ABC和△A′B′C′中，∵∠C=90°，∠C′=90°，∴BC2=AB2－AC2，B′C′2=A′B′2－A′C′2(勾股定理).∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).合作探究直角三角形全等的判定定理文字语言：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.ABCA′B′C′几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′,BC=B′C′,∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).仅适合直角三角形知识讲解在使用“HL”时,同学们应注意什么?“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.注意对应相等.因为”HL”仅适用直角三角形,书写格式应为:∵在Rt△ABC与Rt△DEF中AB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)ABCDEF知识讲解判断直角三角形全等条件三边对应相等SSS一锐角和它的邻边对应相等

ASA两锐角和一条直角边对应相等

AAS两直角边对应相等SAS斜边和一条直角边对应相等

HL直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”.你能够用哪几种方法说明两个直角三角形全等？我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法.知识讲解判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）两个锐角和一条直角边对应相等；（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；

（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等．（）HL×SASAASAAS★练一练利用“HL”判定直角三角形全等例1.已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形.

已知：如图，线段a，c.

求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c.ac分析：首先作出边BC,由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A。例题讲解作法：（1）作线段CB=a，（2）过点C，作MC⊥CB.（3）以B为圆心，c为半径画弧，交CM于点A,（4）连接AB.CMBA画法一例题讲解ac画法：1.画∠MCN=90°.3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.4.连接AB.△ABC就是所要画的直角三角形.MCNaBcA2.在射线CM上取CB=a.画法二例题讲解例2.已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，且PC=PD.求证：点P在∠AOB的平分线上.ABCDOP例题讲解证明：如图，作射线OP.∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°.在Rt△OPC和Rt△OPD中，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线上.ABCDOP例题讲解

例3.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD(全等三角形的对应边相等).ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.例题讲解1、如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，以下给出的条件适合的是(

)A.AC=ADB.AB=ABC.∠ABC=∠ABDD.∠BAC=∠BAD★练一练2、如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的是(

)A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°BACB'A'C'AB当堂检测1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点

E

，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则

CH的长为(

)A．1B．2C．3D．42.如图，在△ABC中，∠C=90°,DE⊥AB于点E，DE=DC,若AC=6，则AD+DE等于(

)A.7B.6C.5D.4ACBDEAHB当堂检测3.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且OB=OC，有下列结论：①∠1=∠2;②△ADO≌△AEO;③△BOD≌△COE;④图中有四组三角形全等.其中正确的个数有______个.4当堂检测4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，CE=BD,

BC=CB

.

∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).5.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在线段AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．当堂检测解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；当堂检测(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．【注意】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．直角三角形全等的证明（HL）内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件在直角三角形中使用方法只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）课堂小结16.4中心对称图形

了解中心对称图形的概念，会识别常见的中心对称图形.（重点）了解中心对称的概念，掌握中心对称的性质.（难点）理解并掌握中心对称图形和两个图形成中心对称的区别与联系.学习目标123一、中心对称图形与成中心对称的图形知识讲解观察与思考：（1）观察下面几幅图，将它们分别绕着各图中标注的“中心点”旋转180°后，能不能与它们自身重合？能（2）如图，已知线段AB和它的中心点O.当线段AB绕点O旋转180°后，这条线段能不能与它自身重合？

（3）你还能举出具有上述特征的例子吗？能平行四边形、矩形等知识讲解1.中心对称图形：如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；其中的点叫做对应点.条件：①旋转180°②能与原图形重合知识讲解做一做如图，△ABC和△DEF的顶点A，C，F，D在同一直线上，点O为线段CF的中点，AC=DF,BC=EF,∠ACB=∠DFE.将△ABC绕点O旋转180°后，它能与△DEF重合吗？如果能重合，那么线段AB，AC和BC分别与哪些线段重合？能AB与DE重合，AC与DF重合，BC与EF

重合知识讲解2.成中心对称：如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合，那么就把这两个图形叫做成中心对称.这个点叫做对称中心.C'ABCA'B'O知识讲解思考：中心对称图形与成中心对称有什么关系？如果把成中心对称的两个图形看做整体，则它就是中心对称图形；同样，中心对称图形也可以看做两个图形成中心对称.知识讲解

中心对称图形与成中心对称有什么区别和联系？名称成中心对称中心对称图形定义联系把一个图形绕着某一个点旋转180

后与另一个图形重合，那么就把这两个图形叫做成中心对称.如果一个图形绕某一个点旋转180

后能与它自身重合,这个图形叫做中心对称图形.若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形.知识讲解√(1)(2)(3)√1.判断：下列窗花哪些是中心对称图形？×练一练知识讲解2.等边三角形是中心对称图形吗？O不是

练一练知识讲解

3.如图是一块平行四边形草地，要在上面修建一条小路，使得草地被小路分成面积相等的两部分，修路的方法有几种？过对称中心的任意一条直线都可以将中心对称图形分成面积相等的两部分

练一练知识讲解1.中心对称图形与图形的旋转之间有什么关系？中心对称是旋转的特例，即旋转了180°，因此旋转的性质同样适用中心对称.二、中心对称的性质思考：知识讲解思考：2.根据旋转的性质，结合图形，说说中心对称有哪些性质？C'ABCA'B'O注：关于对称中心对称的点、线段、角分别叫做对应点、对应线段、对应角.知识讲解（1）△ABC与△A'B'C'的关系是_______.(2)对应线段的大小关系是______.位置关系是_______________________.(3)对应角的关系是_______.全等相等相等C'ABCA'B'O平行或在同一直线上（4）对应点的连线AA',BB',CC'与对称中心的关系是__________________________________.经过对称中心，并被对称中心平分知识讲解

如果两个图形关于某一点成中心对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，且互相平行或在同一直线上，对应角相等；对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.结论：知识讲解1.如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点成____________.中心对称2.已知A,B,O三点不共线，AA'关于O对称，BB'关于O对称，那么线段AB与A'B'的关系是____________.相等且平行练一练知识讲解AOA'（1）连接AO，（2）延长AO至点A'，使OA'=OA，问题1.

已知点A和点O，画出点A关于点O的对称点A'.点A'即为所求.三、作成中心对称的图形知识讲解问题2.

已知线段AB和点O，画出线段AB关于点O的对称线段A'B'

.B'A'ABO只需做出两个关键点A,B的对称点，连接即可.知识讲解问题3.

如图，选择点O为对称中心,画出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.A′C′B′BACO只需做出三个关键点A

,B,C的对称点，顺次连接即可.知识讲解应用这种方法，只要给出对称中心，我们可以画任意多边形的成中心对称的图形.对称中心点的常见位置：OOOO在图形外在图形顶点在图形边上在图形内总结知识讲解随堂训