卡尔曼滤波器在运动目标中的跟踪研究概要

南京理工大学紫金学院毕业设计阐明书(论文)作者:戴学飞学号：系：电子工程与光电技术系专业:电子信息工程题目:卡尔曼滤波器在运动目的跟踪中的研究及仿真讲师李娟讲师李娟指导者：(姓名)(专业技术职务)马玲副专家马玲副专家评阅者：(姓名)(专业技术职务)年5月南京理工大学紫金学院毕业设计（论文）评语学生姓名：戴学飞班级、学号：11电信3班、题目：卡尔曼滤波器在运动目的跟踪中的研究仿真综合成绩：指导者评语：论文针对运动目的跟踪的问题，建立了简洁有效的数学模型，在问题的解决中引入了Kalman滤波器系统，对其滤波算法进行了推导，进一步理解了Kalman滤波器的迭代思想，并使用Matlab软件对Kalman滤波思想在运动目的跟踪问题中的应用进行了仿真验证，仿真成果体现对的无误。论文综述完整。程序设计合理,仿真成果对的。叙述充足，结论合理。技术用语精确，符号统一，编号齐全，书写工整规范，整洁、对的。如能加入对加速度变化的运动目的进行跟踪则更加好。同意参加答辩，建议成绩良好。指导者(签字)：年月日

毕业设计（论文）评语

评阅者评语：评阅者(签字)：年月日答辩委员会（小组）评语：答辩委员会（小组）负责人(签字)：年月日毕业设计阐明书（论文）中文摘要卡尔曼滤波是卡尔曼基于线性最小方差预计的基础上，提出的最优线性递推滤波办法，含有在数学构造上比较简朴、计算量小、存储量低、实时性高的优点。卡尔曼滤波在控制理论和控制系统工程中拥有着巨大影响力，并且在工程实践上含有重要意义。因此，卡尔曼滤波器广泛应用于雷达数据解决等领域。本文针对平面内匀速直线运动目的的跟踪问题，采用卡尔曼滤波办法来实现对运动目的的跟踪。Matlab软件仿真成果显示跟踪效果较好，证明采用此法跟踪运动目的有效可行，含有一定研究价值。核心词卡尔曼滤波；目的跟踪；最优；Matlab仿真毕业设计阐明书（论文）外文摘要TitleResearchonObjectTrackingBasedonKalmanFilterAbstractKalmanfilterisbasedonlinearminimumvarianceestimationandtheoptimallinearrecursivefilteringmethodbytheKalman,withinthemathematicalstructureisrelativelysimple,computationquantityissmall,lowstorageandhighreal-timeperformanceadvantages.Kalmanfilterinthecontroltheoryandcontrolsystemsengineeringhasagreatinfluence,andhasimportantsignificanceinengineeringpractice.Movingtargettrackingiswidelyusedinradardataprocessing.Aimingatthetrackingquestionofamovingtargetwithconstantvelocityalongalineinaflatsurface,wecanuseKalmanfilteringmethod,simulationwithMatlabresultsshowthattheeffectoftractingisveryperfect.Ithasgoodvalues.KeyWordsKalmanFilter;ObjectTracking;Optimal;Matlab目次TOC\o"1-2"\h\z\u1绪论 11．1研究意义以及目的 11．2国内外研究现状 21．3论文内容以及构造篇章 32Matlab软件介绍 52.1软件介绍 52.2Matlab基本功效 52.3Matlab优点 52.4Matlab的应用 63卡尔曼滤波器原理 83.1状态转移 83.2状态预测 93.3协方差矩阵 93.4噪声协方差矩阵的传递 103.5观察矩阵 113.6状态更新 113.7噪声协方差矩阵的更新 123.8卡尔曼滤波的五个公式 123.9卡尔曼变量和参数 134蒙特卡洛仿真实验的数学思想 144.1蒙特卡洛办法的产生与发展 144.2蒙特卡洛基本原理 165基本动态系统模型 175.1运动目的数学模型建立 175.2Matlab程序代码及其注释 185.3Matlab仿真成果以及分析 205.4对运动目的跟踪非线性问题的初步探讨 26结论 27致谢 28参考文献 错误！未定义书签。1绪论1．1研究意义以及目的卡尔曼滤波器是最优的递归算法。针对于许多实际问题的解决它是效率最高的，最佳的，最有用的办法。卡尔曼滤波器已经在机器人导航与控制系统，传感器数据融合，军事雷达和弹道轨迹外推等领域被广泛应用。在近来的几年，它在计算机图像解决方面占据着非常重要的地位，如人脸识别，图像边沿检测与图像分割技术和操作系统等技术领域。卡尔曼滤波器最初是专为飞行器导航而研制的，已成功地被应用在诸多领域。卡尔曼滤波器重要用来预估那些只能被系统本身间接或不精确观察的系统状态。因此卡尔曼滤波器在诸多工程系统和嵌入式系统中占据着重要的地位。雷达测量系统中，目的跟踪往往是人们非常关注的方面，但测量运动目的的位置、速度和加速度在每时每刻都存在噪声信号。卡尔曼滤波是基于运动目的动态信息，设法消除噪声干扰，从而获取目的位置的最佳预计。这个预计过程重要有三个方面，第一种方面是对运动目的现在位置的预计，第二个方面是对运动目的将来位置的预计，第三个方面是对运动目的过去位置的预计。如果需要对某一运动中的目的进行跟踪，首先需要做的是对运动目的进行跟踪观察，普通状况下得到的观察信息是不精确的，由于它包含着所需要的信息以及随机观察噪声和干扰信号。如何从这些观察信息和噪声的信号中提取所需要的数据和多个参数，因此根据预测的将来状态的观察数据和运动目的跟踪办法的核心是预测办法。卡尔曼滤波递推算法的原理是运用噪声和观察噪声以及输入和输出值进行的测量，它是含有统计特性的预计系统。重要思想是：运用前一时刻对现在时刻的预测，现在的观察值来更新对状态量的预计（得到现在时刻的最优预测值），从而求出下一时刻的预测值，实现递归的预测，达成及时精确跟踪的效果。基本卡尔曼滤波器（KF）的约束条件下，即，系统必须是线性的，但大多数的系统都是非线性系统，因此大多数状况下，需要用到扩展卡尔曼滤波（EKF）来对非线性系统进行预计。随着卡尔曼滤波理论的升华，和某些实用的卡尔曼滤波技术不停被提出，如自适应滤波和次优滤波技术以及滤波散发克制技术等等已广泛应用到各个领域。其它滤波理论也很快得到重视，如线性离散系统的滤波（序列平方根滤波，信息平方根滤波，UD分解滤波）[3]。卡尔曼滤波作为一种数值预计优化办法，与应用领域的背景结合性很强。因此卡尔曼滤波用于解决诸多实际问题时，重要的不仅仅是算法优化问题与实现，更重要的是运用获取的领域知识对被认识系统进行形式化描述，建立起适宜的数学模型，再从这个模型出发，进行滤波器的设计与实现工作。由于卡尔曼滤波含有实时递推，存储容量非常小和设计起来比较简朴等优点，因此卡尔曼滤波器在工程领域应用十分广泛。例如在信号解决、卫星控制、石油勘探、故障诊疗、GPS定位、检测与预计、控制、通信、航空航天、制导、目的跟踪、多传感器信息融合，机器人学和生物医学领域。1．2国内外研究现状马里兰大学的实时监控系统W4能够基于单摄像头对人体或者人体的各个部分进行实时地跟踪。所谓W4是指，在哪里，什么人，什么时候，干什么，换句话说是指该系统能够拟定什么目的，什么时候，什么地方，干什么。W4是基于身体和头部，手等功效目的形状分析，基于背景分离功效的自适应前背景分离技术，和区域分裂合并到目的的交互功效。现在，在美国，日本，欧洲已进行了大量有关运动目的检测和跟踪的研究工作，W4是一种基于视觉监控系统能够对室外运动目的进行实时检测和跟踪，而IBM等大公司资助有关的研究领域，但愿能将研究成果应用于商业领域。Pfinder是一款基于运动目的的颜色和形状特性使用实时追踪系统对大视角范畴的运动目的进行追踪与测量的系统。同时也出现在许多国际会议与讨论小组。Pfinder系统的实现有助于协助对室内人员的行为进行监控与行为鉴定。同时在交通系统中，Tai等人研究了一种视频监控系统用来交通事件检测的，能够自动检测车辆和其运行轨迹的鉴定。VISATRAM系统能够对每个车道的车辆行为监控，保障交畅通通Haag和Nagel专门机动车辆跟踪的问题进行了进一步研究与发现，Pai等人基于十字路口的行人检测与跟踪实现行人数量统计的功效。现在，在国外某些基本的视频目的检测与追踪系统已经比较成熟了。例如，卡内基梅隆大学的视频安全和控制方案研究。根据计划，科研人员开发了一款端到端的测试系统，集成了含有许多先进视频安全监控技术，如基于静态背景和运动背景对运动目的进行实时测量与追踪，普通的目的记别（如人，汽车，卡车）分类，特殊的对象（如学校的公共汽车和有特殊标记的物体）的姿势预计和分类识别，以及和相机的独立控制，多摄像机协同跟踪人体步伐分析等。在国内的研究中也出现了一定的规模，举办了有关会议，探讨了有关的研究成果和将来的发展方向。20世纪60年代末，我国开始对视频目的检测与追踪技术进行研究，通过40数年的不懈努力与投入，我国在这一领域得到了相称大发展，许多先进的图像解决和模式识别办法应用于这一领域，同时某些实际系统的得到开发机会。中国的先进的影像识别和智能化程度，普通跟踪技术，多目的的实时测量，低对比度和复杂的视频图像信息解决与国外相比还存在较大的差距。在实际过程跟踪方面仍然存在着许多问题，如数据同时，含糊图像，跟踪稳定性差等，由于这些方面的实用信息从国外获得的极少，因此在这一领域进行了进一步的研究，以提高我国的国防实力，加强公民行为起着重要的作用。现在，某些高校和科研机构都开展了这项工作。相比之下，智能视频监控技术在国内的研究起步较晚，但随着数字图像解决技术，计算机视觉等多个红外、雷达、激光传感器技术的不停发展，运动目的检测与跟踪技术的研究提供了必要的理论基础和技术支持，发明环境的研究不可比拟的优越性。如视觉与听觉信息解决国家拥有着重点实验室，例如北京大学高智能机器感知系统实验室在三维视觉信息解决与智能机器人领域的研究获得了许多成果[4]。1．3论文内容以及构造篇章本论文在对卡尔曼递推滤波算法进行数学推导的基础上研究卡尔曼滤波原理在雷达跟踪中的应用。针对一平面内运动目的，运用卡尔曼滤波办法进行目的轨迹跟踪,采用蒙特卡洛办法通过Matlab7.0软件进行滤波跟踪仿真，具体涉及卡尔曼滤波增益和误差方差阵计算，最后对误差进行分析。为简便研究分析，将运动目的的观察的噪声假设为高斯白色噪声，并且讨论普通的非平稳的状况。本论文的内容安排以下：第一章绪论是对本课题研究的目的以及意义进行分析。只有在理解课题研究背景和研究现状的前提下，才干更加好地开展设计工作。第二章对Matlab软件作简要介绍，这是对卡尔曼滤波模型进行模拟的最佳软件。第四章介绍了蒙特卡洛仿真实验的数学思想，并针对函数积分问题求解中的应用做了具体的分析，最后总的介绍了蒙特卡洛基本原理。第三章和第五章是本论文的重点。第三章具体介绍了卡尔曼滤波器的基本原理，分析了各个公式的意义以及作用，并对卡尔曼滤波器重要方程式进行总结，多个卡尔曼参数进行阐明。第五章在第三章对卡尔曼滤波器原理具体剖析的基础之上，针对一种平面内小汽车运动目的的雷达跟踪问题，使用卡尔曼递推滤波办法求解。以及运用软件Matlab进行运动目的仿真验证，并且分析运动目的速度和位置的方差。并且对运动目的跟踪非线性问题的初步探讨。

2Matlab软件介绍2.1软件介绍Matlab的简称是矩阵实验室（MatrixLaboratory），是由美国MathWorks公司开发的高级技术计算机语言和交互式环境的商业数学软件，其重要有两大部分构成的，Matlab和Simulink。Matlab和Mathematica、Maple三者并称数学三大软件。Matlab重要突出的方面体现在对数学类科技应用问题上的数值计算。Matlab有诸多功效，例如能够进行矩阵运算实现算法、创立顾客界面、绘制函数和数据、连接其它编程语言的程序等[1]。2.2Matlab基本功效Matlab是一种完美地将数据构造和编程特性以及图形顾客界面结合到一起的数学软件，由美国MathWorks公司开发研制的。它为自己的顾客提供了矩阵运算功效和灵活的数组运算功效等，这些都是顾客经常使用的某些功效。它与此同时还能够与Fortran语言和C语言进行混合编程，大大提高了编程效率，因此进一步扩大了它的功效。其中特别重要的有下列几点：1）复杂的矩阵或数组数据的单元操作，能直接解决矩阵或数组。2）编程语言构造十分紧凑，内涵非常丰富，编程效率相称高，顾客使用很方便。3）绘制图型功效十分强大，复杂的二维图形和三维图形顾客只需要编写很短的程序代码就能够绘制出来了。4）为顾客提供了丰富的调用函数，顾客可直接使用，不需要顾客自己编程，提高了编程效率，例如顾客需规定解微分方程或微分方程组的解那么就能够使用系统提供的Dsolve函数、如果需规定解线性方程组的解那么使用提供的Solve函数就行了[1]。2.3Matlab优点Matlab中通过使用为顾客提供的可视化动态仿真环境———Simulink，能够实现对动态系统的非常直观建模以及对动态系统的仿真与分析，并且Matlab也支持持续时间、离散时间以及持续和离散时间互相交替的线性系统和非线性系统进行仿真测试功效，因此能够使一种非常复杂系统的输入和仿真都变得十分简朴明[3]。Matlab能够合用于许多学科、部门的多个规定，Matlab的基本数据单位是矩阵。和C语言，FORTRAN语言等编程语言相比，Matlab的指令体现式跟数学和工程中的运算形式是几乎完全相似的，因此运用Matlab来求解相似问题的解要比用C语言，FORTRAN语言等语言更加简朴容易，并且Maple等软件的优点也被Matlab吸取了，因此Matlab成为一款不仅仅功效强大并且十分实用的数学软件。在新的版本中C语言、FORTRAN语言、C++语言、JAVA语言也能够被兼容进去使用了。顾客能够自己编写对应的程序存到Matlab的程序调用库中，方便顾客自己可下列一次编写程序时直接调用这些以前编写好的程序。同时，Matlab库中已经导入了诸多程序编写爱好者已经编写好的多个各样的程序代码，这些都是某些非常典型的程序代码，顾客能够自己直接下载并且使用。2.4Matlab的应用顾客能够根据直角坐标和极坐标选择的需要，柱面和球面坐标系统绘制平面曲线和空间曲线和曲面的外观图和网络图，也能够绘制矢量图，直方图，直方图等。另外,Matlab将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大的功效集成在一种易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全方面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（C、FORTRAN)的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平[8]。在电路和信号与系统以及数字信号解决等自动控制原理都是能够基于Matlab来实现的。在这突出介绍下Matlab的绘图功效。Matlab绘制图形实例以下所示：基于Matlab软件绘制数列图形指令:symsnn=1000:10000;xn=(1+1./n).^n;plot(n,xn,':');gridon绘图成果如图2.1所示：图2.1函数极限图像直观地表明了n当有限增大时,数列的变化趋势,顾客通过绘图能够理解极限概念和含义。

3卡尔曼滤波器原理3.1状态转移卡尔曼滤波的本质是一种递推预计过程，只要懂得上次状态预计和观察状态能够很容易地得到现在状态值，它和其它的预计技术与众不同，卡尔曼滤波器不需要观察和预计的历史统计，卡尔曼滤波器是一种纯正的时域滤波器，它和其它的频域滤波器最大的区别在于，例如低通、高通、带通、带阻等频域滤波器，这些是需要在频域中设计，然后在转变届时域中使用。但卡尔曼滤波器能够直接在时间域内设计和使用，它适合于实时解决数据。一种运动的目的，它现在状态能够写成矩阵形式就是一种二维的列向量，即它由位置和速度构成。如果已知上一时刻状态那么现在时刻的状态的位置及目的运动速度能够用下列的表达办法 （3.1） （3.2）的状态的位置及目的运动速度的输出变量都只是其输入变量的线性组合，这体现了卡尔曼滤波器是最佳的线性滤波器，由于它只能描述状态与状态之间的线性关系。由于线性关系，把它写成矩阵的形式：（3.3）进一步提取出两个状态变换矩阵和（3.4）其中为状态转移矩阵，作用在于如何从上一时刻的状态来推测现在时刻的状态。为控制矩阵，它表达控制量如何作用现在状态。因此能够得出卡尔曼公式中第一种公式：。3.2状态预测（3.5）为对的预计量，由于物体的真实状态无法懂得，只能根据所观察的数据尽量的预计的真实值，接着需要根据观察来更新预测值，方便得到最佳值。但是全部的推测过程都会包含噪声影响，噪声越大，不拟定性也就越大，如何表达这次推测带来多少不拟定性需要引入协方差矩阵。3.3协方差矩阵先从一维状况说起，以下图3.1所示假设有一种一维的数据，由于噪声，每次测量的值都不相似，但是都是围绕在一种中心值的范畴。表达它的最简朴方式就记下它的中心值和方差。这事实上是假设了它是一种高斯的分布。图3.1一维噪声数据分布二维的状况以下图3.2所示，分别对两个坐标轴进行投影，在两个轴上都是高斯分布。图3.2二维噪声数据分布如果两个维度是互相独立的就能够分别记下中心值和两个轴的方差。但是两个维度含有有关性的时候，例如在一种维度上噪声增大，另一种维度上噪声也增大，如果一种维度增大另一种维度减小，这个时候对两个坐标轴上投影和之前的是同样的都是高斯分布，因此要表达两个维度的有关性除了要统计两个维度的方差之外还要协方差来表达两个维度之间的有关程度。写成矩阵的形式：（3.6）对角线上的两个值是两个维度的方差，反对角线上的两个值是相等的，是它们的协方差。在卡尔曼滤波器中全部有关不拟定性的表述都要用到协方差矩阵。3.4噪声协方差矩阵的传递每一种时刻的不拟定性都是由协方差矩阵来表达的，如何让这种不拟定性在每一刻之间传递呢。（3.7）式（3.7）表达从上一时刻的协方差推测现在时刻的协方差。具体推导根据协方差矩阵的性质。这个时候还要考虑一种问题，这个预测模型也不是百分之百精确的，它本身也是包含噪声的，因此要在背面加上一种协方差矩阵来表达预测模型本身带来的噪声。因此公式写成：（3.8）式（3.8）就是卡尔曼滤波器的第二个公式，它表达不拟定性在各个时刻之间的传递关系。3.5观察矩阵每一种时刻都能观察到物体的位置，观察到的值，记为，那么从物体本身的状态到观察状态之间有一种变化关系，记为，固然这种变换关系也只能是线性关系，由于卡尔曼滤波器是线性滤波器，因此理所固然的要把写成矩阵的形式。也就是所谓的观察矩阵,和的维度是不一定相似的，如果是一种二维的列向量，是一种标量，因此用公式表达观察矩阵，其中为观察的噪声，这个观察的协方差矩阵用来表达，如果观察的值是一种一维的值，那么这个的形式也不是一种矩阵，也只是一种值，仅仅表达的方差，假设除了用雷达尚有别的测量办法能够观察到物体的某项特性,那么就可能是一种多维的列向量，它会涉及每一种测量方式的测量值，而每一种测量值都是真实值的一种不完全体现，能够从几个不完全体现中推断出真实的状态，而卡尔曼滤波器这种数据融合功效正是在这种测量矩阵中体现出来的。3.6状态更新已有了观察量和它的协方差矩阵，这个时候需要整合进去对状态的预计。最佳预计值得公式是：（3.9）对式（3.9）分析，加上的这项表达实际的观察值与预期的观察值之间的残差，这残差乘上一种系数就能够修正的值了，这个十分的核心，它叫做卡尔曼系数，它也是一种矩阵。（3.10）这个式（3.10）的推导十分复杂，这里就定性的来分析一下。这个卡尔曼系数的作用重要有两个方面，一是权衡预测状态协方差和观察量的协方差矩阵的大小来决定是相信预测模型多一点还是相信观察模型多一点，如果相信预测模型多一点这个残差权重就会小一点，如果相信观察模型多一点那么这个残差权重就会大一点。二是把残差的体现形式从观察域转换到状态域。刚刚说到观察值只是一种一维的向量，状态是一种二维的列向量，它们用的单位甚至是特性都有可能是不同的，那怎么用观察值的残差去更新状态值其实就要涉及到这个卡尔曼系数，事实上这个卡尔曼系数就是在做这样一种转换，观察到物体的位置，但是里面已经包含了协方差矩阵的信息，因此它运用位置和速度这两个维度的有关性，从位置的残差里推算出了速度的残差，从而能够对状态的两个维度同时进行修正。3.7噪声协方差矩阵的更新（3.11）更新最佳预计值得噪声分布，这个值是留给下一轮迭代时候用的，在这一步里状态的不拟定性是减小的，而在下一轮里由于传递噪声的引入不拟定性又会增大，卡尔曼滤波器就是在这种不拟定性的变化中谋求的一种平衡。但是要注意的是这个公式仅仅在最优卡尔曼增益时它才成立。如果算术精度总是很低而造成数值稳定性出现问题，或者特意使用非最优卡尔曼增益，那么就不能使用这个公式[13]。3.8卡尔曼滤波的五个公式预测：（3.12）（3.13）式（3.12）和式（3.13）是通过前一种时刻的状态来预测现在时刻的状态，这并不是最佳的预计值，它们还欠缺点东西，这个欠缺的东西就是从观察里面带来的信息，由于还没考虑现在时刻的观察值。更新：（3.14）（3.15）（3.16）式（3.14）式（3.15）和式（3.16）三个公式就用现在的观察值来更新和,通过更新后的值就是最佳预计值了。3.9卡尔曼变量和参数表3.1卡尔曼变量和参数变量定义维数现在t时刻位置现在t时刻速度t时刻状态矩阵21状态转移矩阵22控制矩阵21控制量对的预计量21协方差矩阵22t-1时刻的协方差t时刻的协方差预计噪声协方差矩阵观察值观察矩阵12观察协方差矩阵12观察噪声现在位置最佳预计值21卡尔曼增益矩阵最佳预计的协方差

4蒙特卡洛仿真实验的数学思想4.1蒙特卡洛办法的产生与发展蒙特卡罗（MonteCarlo）办法，又称随机抽样或者称统计实验办法，属于计算数学的一种分支，它是基于上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的数学办法[7]。传统的经验办法之因此很难得到满意的答案是由于不能逼近真实的物理过程，而蒙特卡罗办法之因此解决问题与实际非常符合是由于能够真实地模拟实际物理过程，能够得到很圆满的成果。20世纪40年代以来，随着电子计算机技术的飞速发展，人们开始能够使用计算机技术来模拟这类实验。计算机能够取代诸多事实上非常庞大而复杂的数字仿真技术，由于计算机含有较高的运算速率与存储容量大的特点，并且对实验成果的解决十分快速，于是蒙特卡洛办法被重新提起，并且蒙特卡洛的应用领域越来越广泛。特别是相比于可视化编程的多个办法不停出现，更加显示了蒙特卡罗办法的独特之处，视觉计算机数学模拟实验，用数学的办法解决。4.1.1蒙特卡洛办法求函数的积分如果要计算下面函数的积分：（4.1）其中函数，如果直接对函数积分，成果为。采用蒙特卡洛办法来求积分，先设两个随机变量和都在区间上服从均匀分布。这两个随机变量互相独立的，将的样本点投放到平面上，以下图4.1所示，那么落在区域的概率为区域的面积与正方形的面积之比（正方形面积为1），即：（4.2）可见对函数的积分问题就转化成了一种概率的计算问题，其优点体现在，概率能够用相对频数来近似，相对频数是可通过统计实验的办法求得。具体办法是将个随机点均匀地投放到平面上的正方形区域内，如果有个点落在区域内，那么相对频数为，公式以下所示：（4.3）式（4.3）是对积分的一种预计，预计的精度重要跟实验次数有关，也称为蒙特卡洛仿真次数。下面给出了用蒙特卡洛办法计算积分的MATLAB程序。symsx;y1=int(0.5-(0.5-x).^2,0,1);zhenshizhi=eval(y1)N=0;x1=unifrnd(0,1,1,M);y1=unifrnd(0,1,1,M);fori=1:Mify1(i)<=(0.5-(0.5-x1(i)).^2)N=N+1;endendfangzhenzhi=N/M仿真成果如图4.1所示：图4.1积分图从以上的例子能够看出应用蒙特卡洛仿真的普通环节：1）建立适宜的概率模型；2）进行多次重复实验；3）对重复实验成果进行统计分析（预计相对频数、均值等）、分析精度。

4.2蒙特卡洛基本原理当所规定解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的盼望值时，它们能够通过某种“实验”的办法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗办法的基本思想。[10]蒙特卡罗办法通过抓住事物运动的几何数量和几何特性，运用数学办法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一种概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的成果，作为问题的近似解[10]。能够把蒙特卡罗解题归结为三个重要环节：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立多个预计量[6]。本论文对于运动目的跟踪模型的仿真即采用蒙特卡洛办法。

5基本动态系统模型5.1运动目的数学模型建立卡尔曼滤波器是最佳线性滤波器，由于它只能描述线性时域系统，对于运动目的的状态转移，输入和输出必须是线性关系，随着时间推移，状态转移都会产生一种新的状态，同时每次状态转移都会加入新的控制量，并且每一次的预测都会带来噪声干扰，系统的状态到对目的的观察也是一种线性的关系，从状态量到观察量这个过程也会存在噪声的干扰。卡尔曼滤波器基本动态系统模型如图5.1所示，向量、矩阵、高斯噪声分别由圆、正方形、六角星表达，其观察噪声和预测噪声协方差在右下方正方形中标出。图5.1卡尔曼滤波器基本动态系统模型假设有一辆小汽车在路上行驶，假设道路无限长，并且笔直，用小汽车的位置和速度来表达它现在时刻的状态。驾驶员能够踩油门也能够踩刹车使其产生一种向前的加速度或者一种向后的加速度，表达对车的一种控制量，如果没踩油门也没踩刹车，则=0车就会做匀速直线运动。在小汽车的左端放置一种雷达，方便能够测出小汽车的位置和速度，但是在整个测量和观察过程中，都存在噪声，设为高斯白噪声，为了简便起见，本文设小汽车运动速度为5m/S，10m/S,20m/S的匀速直线运动。雷达扫描周期分别为1s、2s和3s进行了分析。这个运动目的的数学模型，能够用下列差分方程表达：（5.1）（5.2）和分别表达小汽车在时刻的位置和速度，表达小汽车在的加速度，为了简朴起见，我们在这里设加速度为0。那么得出小汽车的状态转移方程：（5.2）式（5.2）中，，为均值为0的高斯噪声，其协方差矩阵为。其观察方程为：（5.3）式子中为一种一维的标量，它表达雷达在时刻测量出小汽车的位置，为时刻小汽车的测量矩阵，为该过程测量的高斯白噪声，协方差矩阵为。由于目的的动态模型是线性的，过程噪声和测量噪声服从高斯分布且互相独立，因此能够运用卡尔曼滤波技术对目的的位置和速度进行预计，其预计的均方误差是最小的。对运动目的位置和速度的最佳滤波预测如表5.1所示：表5.1位置和速度的最佳滤波预测预测预测误差协方差Kalman增益滤波滤波协方差5.2Matlab程序代码及其注释clc;Z=5*(1:100);%观察值noise=randn(1,100);%方差为1的高斯噪声Z=Z+noise;%观察带噪声的小汽车位置数值X=[0;0];%汽车的初始状态P=[10;01];%状态协方差矩阵F=[11;01];%状态转移矩阵Q=[0.0001,0;00.0001];%状态转移协方差矩阵H=[10];%观察矩阵R=1;%观察噪声方差C=0;M=0;L=0;figure;%画图，画出滤波100次的图holdon;%卡尔曼滤波100次开始fori=1:100V=5;%产生真实的速度X_=F*X;%状态预测公式P_=F*P*F'+Q;%状态协方差矩阵的传递K=P_*H'/(H*P_*H'+R);%卡尔曼增益矩阵X=X_+K*(Z(i)-H*X_);%状态的更新P=(eye(2)-K*H)*P_;%噪声协方差矩阵的更新a(i)=X(1);c(i)=X(2);f(i)=Z(i)%画出估算速度的方差和估算位置的方差C=(X(2)-V)^2+C;D=C/i;M=(X(1)-Z(i))^2+M;L=M/i;plot(i,D,'K',i,L,'B');legend('估算的速度的方差','估算位置的方差');endfigure(2)%画图plot(a,c,a,V,'R');legend('估算的速度','真实的速度');5.3Matlab仿真成果以及分析首先设定扫描周期为1秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为5m/S。如图5.2所示：图5.25m/S卡尔曼滤波的成果图5.35m/S速度和位置估的方差设定扫描周期为1秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为10m/S。如图5.4所示：图5.410m/S卡尔曼滤波的成果图5.510m/S速度和位置估的方差设定扫描周期为1秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为20m/S。如图5.6所示：图5.620m/S卡尔曼滤波的成果图5.720m/S速度和位置估的方差设定扫描周期为2秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为5m/S。如图5.8所示：图5.8雷达扫描为2S的卡尔曼滤波成果图5.9雷达扫描为2S的速度和位置方差设定扫描周期为3秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为5m/S。如图5.10所示：图5.10雷达扫描为3S的卡尔曼滤波成果图5.11雷达扫描为3S的速度和位置方差卡尔曼滤波成果的图中，横轴表达小汽车的位置，纵轴表达小汽车的速度。在卡尔曼滤波的速度和位置的方差图中，横轴表达滤波的次数，纵轴表达方差值。通过分析图5.2和图5.4以及图5.6，发现针对于不同运动速度的小汽车。预计的速度曲线和真实的速度曲线拟合程度都很不错。卡尔曼滤波器就用了极少的几次迭代就靠近了真实的速度，并且之后就始终出现在真实速度的水平范畴，再结合图5.3和图5.5以及图5.7小汽车的位置和速度方差图，显示随着滤波次数的增加，不同运动速度的小汽车位置和速度方差值都在变小，这些都阐明了卡尔曼滤波的高效性。因此得出一种结论，运动目的处在低速状况下，跟踪的目的速度并不影响卡尔曼滤波器的效率。接着探讨雷达扫描周期对卡尔曼曼滤波器的影响，通过对比图5.2图5.8和图5.10，雷达扫描周期分别为1秒、2秒、3秒，运动小汽车速度都为5m/S直线运动，从曲线拟合角度去看，卡尔曼滤波器仍然很高效的，但是认真观察并且结合图5.3图5.9和图5.11，发现随着雷达扫描周期的变慢，卡尔曼滤波器效率有些下降，小汽车速度和位置的方差在变大，曲线拟合开始变差。由于雷达扫描周期的变慢，那么采样的点与点之间存在的不拟定性就在变大，因此雷达的扫描周期对卡尔曼滤波器是有着一定的影响。卡尔曼滤波的最核心的地方在于由测量值重新构造系统的状态向量。它基于先预测再进行实测最后结合预测和实测来修正预测值的次序递推，这样能够从带噪声的系统中重现系统原来的样子。从仿真成果也能够看得出，卡尔曼滤波器能够非常有效地在从一定的噪声干扰条件下系统中相对比较精确地反映真实的系统。卡尔曼滤波是基于最小均方差预计准则的一套最佳递推滤波算法，并且卡尔曼滤波的最基本原理是基于被测信号与噪声的空间状态分布模型，它结合了前一时刻的预计值和现在时刻的观察值来更新现在状态变量，解出现在时刻的预计值[16]。因此卡尔曼滤波器十分合用实时时刻解决数据和计算机运算。5.4对运动目的跟踪非线性问题的初步探讨雷达对动态目的跟踪，普通在极（球）坐标系统，因此目的相对于径向距离的观察点的观察量而言，角度和角（也可能获得观察到的径向距离的比值），为了有效地消除噪声的影响，需要测量滤波[13]。在对运动目的的跟踪中，例如雷达领域、声纳和导航等领域，卡尔曼跟踪滤波器都体现出了其高性能的滤波性能，因此被广泛得到应用。当卡尔曼滤波器对匀速直线运动目的的跟踪时，由于在笛卡儿坐标系中的目的状态方程是线性的，但是对目的的观察往往是在球坐标系下进行的，因此测量值是径向距离，角和倾角，因此目的的状态矩阵不是太好通过线性变化表达观察矩阵，因此不能直接使用卡尔曼滤波器。在解决这个问题时，有种办法解决，那就是使用卡尔曼滤波器的推广（EKF）。在使用推广卡尔曼滤波(extendedkalmanfilter)办法中，通过泰勒级数展开的办法将球坐标系下对观察量近似线性化表达为状态函数后，接着在直角坐标系下进行运动目的的状态滤波，但是是在球坐标系下对观察量进行预测，修正运动目的的状态。因此推广卡尔曼滤波是一种解析近似非线性滤波，是卡尔曼滤波在非线性系统中的应用[13]。相比而言推广卡尔曼滤波办法是直接运用球坐标系下的线性观察值，不需要对观察噪声进行有关解决，因此相对比较简朴，但是由于是通过泰勒级数展开的办法将球坐标系下对观察量近似线性化表达为状态函数的，泰勒级数不可能无限展开，总是需要略去高阶分量，因此存在精度问题，如果跟踪的运动目的需要高精度的跟踪，那么就不能使用推广卡尔曼滤波的办法[13]。结论本次毕业设计是基于Matlab的卡尔曼滤波器在运动目的跟踪中的研究以及仿真，采用了蒙特卡洛的数学实验思想，通过数学建模，编写程序进行验证了卡尔曼滤波器是一种高效的线性时域滤波器。并且分析了运动目的的速度和位置的方差。其中在第三章中本论文具体介绍了卡尔曼滤波原理，对卡尔曼滤波器的五个核心公式做了定性分析。它基于先预测再进行实测最后结合预测和实测来修正预测值的次序递推，这样能够从带噪声的系统中重现系统原来的样子。但是本论文中存在美中局限性之处在于对运动目的的建模过于简朴，运动目的的运动方式比较单一，只是一种匀速直线运动，本论文去除了运动目的的加速度，但是总程序仿真成果来看，仍然能够看出卡尔曼滤波器的高效。在测量过程中，雷达只是测量运动物体的位置，造成只是个一维的标量。本论文分别研究了卡尔曼滤波器对不同运动速度的物体进行跟踪仿真，以及不同雷达扫描周期对卡尔曼滤波器的影响，分别对速度和位置的方差做了分析，总的看来，卡尔曼滤波器是一种高效的滤波器。本文讨论了卡尔曼滤波器在线性系统中的应用，并在最后对卡尔曼滤波器在非线性系统中的应用做了初步探讨。卡尔曼滤波作为一种数值预计滤波的办法，与应用领域的背景结合性很强。因此在应用卡尔曼滤波器解决问题时，重要的不仅仅是实现算