界面应力奇异性与界面端应力分布

界面应力奇异性与界面端应力分布

1968年，对界面材料的力学异质性进行了深入研究。通过me林变换获得分析解。指出，界面中存在两个材料界面的高度异质性，并给出界面中的电压异质指数与两个材料弹性参数（杜维常数）和两个材料的楔形角的关系。复合材料界面剪切强度是复合材料的一个重要的界面性能指标,然而由段裂、拔出、压入和微珠等4种试验方法得到的界面剪切强度值分散性很大,其原因长期未得到合理的解释王清和Zheng等人在研究复合材料界面剪切强度的4种试验方法时,对分散性原因进行了研究.他们注意到了复合材料界面剪切强度试验所用试件上都存在圆柱形界面端,因此,有必要确定圆柱形界面端的应力奇异性,及其对界面剪切强度试验结果的影响.文献[8~10]给出了压入、拔出、微珠和段裂4种试验所用试件的圆柱形界面端应力奇异性分析和结果.文献对拔出、压入、微珠和段裂4种试验方法作了基于界面端应力奇异性分析的评估.采用的评判标准是:如果所用试件的界面端应力奇异性指数为零或非常接近于零,则由试验所得的界面剪切强度是可靠的;如果所用试件的界面端应力奇异性指数小于零,则由试验所得的界面剪切强度是不可靠的.对于碳纤维/环氧复合材料,环氧微珠的锲形角小于37°,微珠试验的界面端应力奇异性指数非常接近于零,由微珠试验得到的界面剪切强度值可认为是可靠的对于碳纤维/陶瓷基复合材料,压入试验界面端应力奇异性指数为零,由压入试验得到的界面剪切强度值是可靠的.上述关于界面剪切强度试验结果分散性的讨论和对界面剪切强度试验方法的评估只是初步的结论,因为上述讨论和评估的依据仅仅是界面端应力奇异性指数的数值.由于应力奇异性情况下的界面端发生脱黏的判据还没有建立,因此,还无法用界面端脱黏判据来正确处理段裂、拔出、压入和微珠4种试验方法所得的结果.界面端应力奇异性不同于均质体裂纹尖端和界面裂纹尖端的应力奇异性.均质体裂纹尖端应力奇异性指数为-1/2,是常数奇异性.界面裂纹尖端应力奇异性指数为-1/2+iε,是常数振荡奇异性.而界面端应力奇异性指数为λ+iε,λ在0到-1之间取值,奇异性指数不是常数换而言之,界面端应力奇异性有3种情况:即无奇异性(λ=ε=0),非常数奇异性(0<λ<-1,ε=0)和非常数振荡奇异性(0<λ<-1,ε≠0).所以,界面端应力奇异性是迄今所知最复杂的应力奇异性,对界面端脱黏判据的建立带来极大的困难.本文采用Bogy的双材料半平面受集中力问题的梅林变换解,计算界面端附近的界面应力,研究其分布规律,为建立非常数应力奇异性的界面端脱黏判据提供理论参考.根据双材料半平面受集中力问题的计算结果,可得到界面应力分布有以下几点规律:在ρ=1附近,界面剪应力存在一个极大值;在ρ=0.5附近,界面正应力存在一个极大值;随着界面端应力奇异性指数λs数值从-1变化到0,界面端点邻域δ的尺度发生从毫米、微米到纳米量级的变化.界面端点邻域δ的尺度变化,是界面端应力奇异性独特的性质.界面端点邻域δ的尺度变化,与界面端的脱黏及其判据有着怎样的关系,是一个非常值得关注的新问题.这个问题的焦点是界面端界面脱黏发生点的位置,是发生在界面端点邻域δ内,还是发生在界面剪应力和界面正应力的两个极值点之间.本文根据双材料半平面受集中力问题的界面应力分布规律,对界面端界面脱黏发生点的位置,作了初步的讨论.1界面应力变异性指数与双材料dundus常数的关系Bogy[1~5]利用梅林变换对双材料弹性半平面界面端问题进行求解,得到了解析解,并给出了界面端应力奇异性指数λs与双材料Dundurs常数α和β以及双材料楔形角(wedgeangle)a和b的关系.在给定楔形角a和b后,界面端应力奇异性指数λs可表示在由Dundurs常数α和β构成的平行四边形内.文献[8∼10]利用文献中的方法对双材料圆柱形界面端问题求得了渐近解,给出了拔出、压入、微珠和段裂试验界面端的应力奇异性指数λs与双材料Dundurs常数α和β的关系.均质体裂纹尖端、界面裂纹尖端和界面端的应力奇异性是3种常见的应力奇异性,以界面端应力奇异性最为复杂.均质体裂纹尖端应力奇异性指数为-1/2,是常数奇异性.界面裂纹尖端应力奇异性指数是-1/2+iε,是常数振荡奇异性,其实部是常数-1/2,与Dundurs常数无关,但振荡指数ε与Dundurs常数相关.界面端应力奇异性指数为λs=λ+iε,奇异性指数不是常数,且奇异性参数λ和振荡参数ε均与Dundurs常数相关.归纳已有的界面端λs~αβ图,可以发现λ的变化范围在0~-1之间;ε在0~0.2之间取值.因此,界面端应力奇异性随Dundurs常数以及楔形角a和b而变,可区分为3种情况:即无奇异性,非常数奇异性和非常数振荡奇异性.2界面端脱黏判据双材料界面端的应力奇异性已经有了较多的研究,对界面端脱黏判据的研究却在近年才开始.双材料界面端应力奇异性的复杂性是建立界面端脱黏判据的困难所在.现在常用的失效判据有:塑性材料和脆性材料的强度理论、均质介质裂纹扩展判据和界面裂纹扩展判据;分别针对无奇异性、-1/2常数奇异性和-1/2+iε常数振荡奇异性(图3).界面端的应力奇异性指数随Dundurs常数和楔形角a和b变化,对于有应力奇异性情况下的界面端脱黏判据我们几乎是一无所知.而要建立一个包括无奇异性、非常数奇异性和非常数振荡奇异性3种情况在内的界面端脱黏判据更为困难.把均质体裂纹扩展判据简单推广到界面端是不现实的,因为上述应力强度因子判据针对的是常数奇异性.把界面裂纹扩展的能量释放率判据推广到界面端也很困难,因为界面端初始脱黏的前后两个应力场具有不同的应力奇异性指数.而且,对于给定的双材料的Dundurs常数,界面端应力奇异性指数是随着楔形角a和b的变化而连续变化的.这种变化的连续性更增加了建立界面端脱黏判据的困难,使得分别用3个不同的判据来适应无奇异、非常数奇异和非常数振荡奇异的界面端的办法出现问题,即不同的判据之间也应当是连续过渡的.除了在复合材料剪切强度试验中会遇到界面端脱黏问题外,在电子封装、微机电系统等领域也会遇到界面端脱黏的问题.所以,界面端脱黏判据具有重要的实际意义.另外由于界面端应力奇异性是固体力学中最为复杂的应力奇异性,建立界面端脱黏判据是一个新的目标,没有界面端脱黏判据,就不能说固体力学的强度研究已经终结了.所以,界面端脱黏判据还具有重要的理论意义.研究界面端脱黏判据,仅了解界面端应力奇异性指数是不够的,还需要知道界面端附近的界面应力分布情况.在已知界面端附近的界面应力分布的基础上,结合界面端脱黏实验,才能具体了解界面端处的脱黏是在什么条件下发生的.正确总结界面端处脱黏发生的条件,是建立界面端脱黏判据的前提.本文就是以此为目的,着手研究界面端附近的界面应力分布规律.3界面正应力和界面剪应力分布Bogy采用梅林变换,求解了双材料半平面受集中力问题(图1),并给出了界面端附近界面正应力σθθ(ρ,0)和界面剪应力τrθ(ρ,0)的计算公式:式中其中无量纲坐标ρ=r/d,无量纲应力σij(ρ,θ)=(d/P)σij(r,θ).P为集中力,d为集中力作用点到界面端的距离.r和θ是极坐标,σij(r,θ)是界面应力分量.文献对(α,β)取值为(0,0),(0,0.1),(0.1,0.2),(0.5,0)(-0.5,0)和(-0.5,-0.25)的双材料界面端,计算了界面正应力和界面剪应力分布,但未曾总结出应力分布的规律.4界面应力分布及界面正应力值的计算为了研究界面端脱黏判据,还需要知道界面端附近界面上应力分布的更多、更详细的资料.因此,我们利用(1)∼(4)式,在α和β图上选择了14个有代表性的点(α和β值),计算界面端处的界面应力.为了探查在非常靠近界面端点(ρ=0)的界面应力变化趋势,我们的计算包括了ρ=0.5×10-7,0.15×10-6,…,2.7,3.0共26个点上的界面应力,获得了在界面端点(ρ=0)微小邻域内,界面应力变化的足够详细的资料.固定α=0.5;β取值为:-0.1,0,0.1,0.2,0.25,0.3,0.375,对应的界面剪应力分布见图2;界面正应力分布见图3.固定β=0;α取值为:-0.9,-0.6,-0.3,0,0.3,0.6,0.9,对应的界面剪应力分布见图4;界面正应力分布见图5.由图2~5,可以总结出界面端应力分布有如下几点规律:(ⅰ)在ρ=1附近,界面剪应力存在一个极大值,界面剪应力极大值τmax的位置用ρτ表示ρτ点对应的界面正应力记作σρτ.(ⅱ)在ρ=0.5附近,界面正应力存在一个极大值,界面正应力极大值σmax的位置用ρσ表示;ρσ点对应的界面剪应力记作τρσ.(ⅲ)对于无奇异性的界面端,在界面端点(ρ=0),界面剪应力恒等于零,界面正应力等于零,或为有限值.(ⅳ)对于非常数奇异性的界面端,在界面端点的邻域内界面剪应力趋向于无穷.因此必有一点其剪应力等于τmax,该点的位置用ρδ表示;由界面端点至ρδ称为界面端的邻域δ.在δ邻域内,界面剪应力的值均超过τmax.ρδ点对应的界面正应力记作σρδ.(ⅴ)对于非常数奇异性的界面端,在界面端点的邻域内界面正应力也趋向于无穷.(ⅵ)对应不同的α和β,ρτ,ρσ,ρδ以及界面端应力奇异性指数λs的值列在表1和2中,同时列出了对应点的界面应力值.界面端点邻域δ的长度ρδ的数值变化范围很大,由表1和2可见ρδ的数值可以小到1.03×10-7,亦可以大到1.19×10-4和0.1538.如果按照d=10mm的假定来计算,界面端点邻域δ的长度可以小到1.03×10-6mm(1.03nm),也可大到1.19×10-3mm(1.19µm)和1.538mm;换而言之,界面端点邻域δ的长度可以在大约1nm~1µm,1mm的量级之间变化,界面端点邻域δ的长度可以跨越纳米、微米、到毫米的尺度量级.(ⅶ)从表1和2可以查到:α=0.9,β=0时,界面端应力奇异性指数λs=-0.349,δ=1.538mm;α=0.5,β=0时,λs=-0.1468,δ=1.19µm;α=0.5,β=0.1时,λs=-0.103,δ=1.03nm于是,界面端应力奇异性指数从-0.349变化到-0.1468和-0.103时,界面端点邻域δ的长度从毫米量级变化到微米和纳米量级.当α=±0.5,β=0.3时,λs=-0.06286,对应的界面端点邻域δ的数值小于0.5×10-7(由于我们只算到ρ=0.5×10-7,所以给不出这个δ的具体数值,尚不能肯定这个δ是纳米尺度量级,还是更小的量级).所以,随着界面端应力奇异性指数λs数值的变化,界面端点邻域δ的尺度在毫米、微米和纳米量级之间变化.5界面初始脱黏发生的位置研究界面端处界面应力分布规律有两种办法:(ⅰ)固定双材料Dundurs常数α和β,研究界面应力分布随楔形角a和b而变化的规律;(ⅱ)固定楔形角a和b,研究界面应力分布随Dundurs常数α和β而变化的规律;本文采用的是后一种办法.如果我们要求所建立的界面端脱黏判据能适合所有的双材料和所有的楔形角,则这两种办法都可以用来研究界面端处的界面应力分布规律.由双材料半平面受集中力问题的界面端应力奇异性λs~αβ图可知,这种界面端,没有非常数振荡奇异性,只有无奇异性和非常数奇异性两种情况,所以本文的讨论也只限于这两种情况.根据以上界面应力分布规律,对界面脱黏发生点的可能位置,讨论如下:(ⅰ)界面端无应力奇异性的情况.界面端点(ρ=0)的界面剪应力等于零,正应力等于零或为有限值.在此情况下,界面端脱黏不可能发生在界面端点;如果界面脱黏主要受界面剪应力控制,则脱黏将会发生在ρτ点;如果主要受界面正应力控制,则脱黏会发生在ρσ点;如果受界面正应力和界面剪应力联合作用的控制,则脱黏会可能发生在ρσ和ρτ之间的某点.总之,对于无奇异性的界面端,其界面端脱黏判据可写成:判据(5)的具体表达式,需要由试验证实.(ⅱ)界面端应力奇异性较大的情况.此时,界面端点邻域δ内的界面剪应力值超过极大值τmax,在τmax和∞之间,δ邻域内的界面正应力也同时趋于无穷,δ邻域的尺度为毫米量级因此,即使不能肯定界面脱黏一定发生在界面端点邻域δ内,也不能排除脱黏发生在界面端点的可能性.界面初始脱黏发生在何处?δ邻域内,或ρσ和ρτ之间,需要由试验来确定.若脱黏首先发生在界面端邻域δ内,则需要有一个界面端邻域δ内发生界面端脱黏的判据.(ⅲ)界面端应力奇异性较小的情况:此时,虽然界面剪应力和正应力在界面端点邻域δ内,同时趋于无穷,但界面端点邻域δ的尺度可以小到微米甚至纳米量级.换而言之,界面剪应力和正应力由τmax的量级变大并趋于无穷,发生在微米甚至纳米量级的区域内.那么,此种情况下,界面初始脱黏发生在何处?在界面端邻域δ内,或ρσ和ρτ之间?也需要用试验来确定需要进一步研究的是:是否存在一个δ的临界尺度,小于这个临界尺度,界面脱黏不发生在界面端邻域δ内.δcr,如果δ>δcr,初始脱黏发生在界面端邻域δ内;如果δ<δcr,初始脱黏发生在ρσ和ρτ之间.6界面端脱黏的发生点及判据研究界面端脱黏判据,除具有界面端应力奇异性指数的知识外,还需要研究界面端附近的界面应力分布规律.双材料半平面受集中力问题的界面应力分布规律的研究结果表明:在ρ=1附近,界面剪应力存在一个极大值;在ρ=0.5附近,界面正应力存在一个极大值;随着界面端应力奇异性指数λs数值的变化,界面端点邻域δ的尺