功能梯度悬臂梁应力-应力半逆解法

功能梯度悬臂梁应力-应力半逆解法

功能梯度材料是根据应用要求选择两种不同性能的材料，采用先进的材料复合技术，并不断改变中间部分的组成和结构。这种新型材料的显著特点是克服了两种材料结合部位的性能不匹配，避免了应力集中。同时，材料两侧都有不同的功能。作为材料设计的一个概念，日本科学家在20世纪80年代中期首次提出了这个概念。为了解决航天技术领域高温环境下材料的热应力问题，预计功能梯度材料在电子、化学、光学、声音、医学等技术领域也有广阔的应用前景。梁、板、壳是功能梯度材料部件的主要结构形式,对其主要的理论分析方法有简化模型法、层合模型法和精确解法等.简化模型法将经典的或考虑剪切变形的一维梁理论或二维板、壳理论,直接套用到功能梯度材料结构的分析上.但是这些理论的基本假设是基于均匀或层合材料的,并不完全适用于功能梯度材料.层合模型法将功能梯度材料梁、板、壳等结构沿厚度方向分成若干层,每一层等效为均匀材料,当分层足够多时,分析结果将趋近于弹性力学精确解.精确解法则是严格求解问题的控制方程和边界条件,目前只能获得特殊边界条件(如简单支撑)下的结果.Sankar给出了功能梯度简支梁受横向载荷作用问题的二维弹性解,并采用Euler-Bernoulli梁理论的基本假设,建立了功能梯度梁的一维简化模型.但是,Sankar的弹性解是在简支边界条件下并假设材料弹性模量沿梁厚度方向呈指数函数变化的前提下获得的.本文从正交各向异性材料的基本方程出发,采用弹性力学半逆解法,求取了按任意梯度函数分布的悬臂梁在端部集中力偶和集中力作用下的通解,并对弹性模量按指数函数及幂函数梯度变化的算例进行了分析计算.1材料本构模型考虑如图1所示的正交各向异性功能梯度悬臂梁(长度为l,宽度为b,厚度为h),在自由端受集中力P和集中力偶M的作用.当三维弹性介质在y轴方向的尺寸较其他两轴方向尺寸小得多,且全部载荷均作用于xOz平面内且不沿y轴方向变化时,问题可简化为xOz平面内的平面应力问题.其平衡方程为∂σx/∂x+∂τzx/∂z=0∂τzx/∂x+∂σz/∂z=0}(1)物理方程为εx=s11σx+s13σzεz=s13σx+s33σzγzx=s44τzx}(2)几何方程为εx=∂u∂x,εz=∂w∂z,γzx=∂u∂z+∂w∂x(3)应变协调方程为∂2εx∂z2+∂2εz∂x2-∂2γzx∂z∂x=0(4)式(1)～(4)中:u和w为位移;σx,σz和τzx为应力;εx,εz和γzx为应变;s11,s33,s13和s44为弹性材料的柔度系数,对于功能梯度材料梁,其材料常数沿厚度方向连续变化,因此是坐标z的连续函数.在研究中,假设上述材料常数沿厚度方向按同一函数规律变化sij=s0ijF(z)(5)式中:sij代表s11,s33,s13和s44;s0ij为相应的材料常数在z=0处的值.根据圣维南原理,自由端(x=0)的边界条件可写为∫h/2-h/2σxdz=0∫h/2-h/2σxzdz=Μb∫h/2-h/2τzxdz=-Ρb}(6)上下表面(z=±h/2)的自由边界条件为σz=τzx=0(7)固支端的边界条件可近似为:在z=0,x=1处u=w=∂w/∂x=0(8)2应力函数的求解引入应力函数U,使满足σx=∂2U∂z2,σz=∂2U∂x2,τzx=-∂2U∂z∂x(9)将式(2)和(9)代入应变协调方程(4),得∂2∂z2(s11∂2U∂z2+s13∂2U∂x2)+∂∂z(s44∂3U∂x2∂z)+s13∂4U∂x2∂z2+s33∂4U∂x4=0(10)令U=xf(z)+f1(z)(11)则有σx=xd2f(z)dz2+d2f1(z)dz2τzx=-df(z)dz,σz=0}(12)引入如下符号:Ηi(z)=∫z0zidzF(z),⌢Ηi(z)=∫z0Ηi(z)dz‚i=0,1,2;Τ0(z)=∫z0Η0(z)F(z)dz,Τ1(z)=∫z0Η1(z)F(z)dz,G0(z)=∫z0F(z)dz.将式(11)代入式(10),可得d2dz2(s11d2f(z)dz2)=d2dz2(s11d2f1(z)dx2)=0(13)解之,得f(z)=[C1⌢Η1(z)+C2⌢Η0(z)]/s011+C3z+C4(14)f1(z)=[C5⌢Η1(z)+C6⌢Η0(z)]/s011+C7z+C8(15)其中,C4,C7和C8对应力无影响,可略去.从而得到应力函数U=x{[C1⌢Η1(z)+C2⌢Η0(z)]/s011+C3z}+[C5⌢Η1(z)+C6⌢Η0(z)]/s011(16)由此可求得σx=[x(C1z+C2)+C5z+C6]/s011F(z)(17)σz=0(18)τzx=[C1Η1(z)+C2Η0(z)]/s011-C3(19)εx=x(C1z+C2)+(C5z+C6)(20)εz=xs013s011(C1z+C2)+s013s011(C5z+C6)(21)γzx=-(s044/s011)F(z)[C1Η1(z)+C2Η0(z)]-C3s044F(z)(22)将式(20)对x积分,得u=(x2/2)(C1z+C2)+x(C5z+C6)+g1(z)(23)将式(21)对z积分,得w=(xs013s011)(C1z22+C2z)+(s013s011)(C5z22+C6z)+g2(x)(24)式(23)中的g1(z)和式(24)中的g2(x)为待定函数.将式(22),(23)和(24)代入式(3)的第三式,可得x2C1/2+xC5+[dg2(x)/dx]=a(25)和dg1(z)/dz+(s013/s011)(C1z2/2+C2z)+(s044/s011)F(z)[C1Η1(z)+C2Η0(z)]+C3s044F(z)=-a(26)式中,a为待定常数.由式(25)和(26)分别可得g2(x)=ax-x2C5/2-x3C1/6+d(27)g1(z)=-(s130/s110)(C1z3/6+C2z2/2)-(s440/s110)[C1Τ1(z)+C2Τ0(z)]-C3s440G0(z)-az+e(28)式中,d和e为待定常数.根据边界条件τzx|z=±h/2=0,及x=0时,∫-h/2h/2τzxdz=-P/b,求解得各系数为C1=(s110Ρ/bk1)[Η0(h/2)-Η0(-h/2)](29)C2=-(s110Ρ/bk1)[Η1(h/2)-Η1(-h/2)](30)C3=Ρbk1[Η1(h2)Η0(-h2)-Η1(-h2)Η0(h2)](31)其中k1=[Η⌢1(h/2)-Η⌢1(-h/2)][Η0(h/2)-Η0(-h/2)]+[Η⌢0(h/2)-Η⌢0(-h/2)]⋅[Η1(-h/2)-Η1(h/2)]+[Η1(h/2)Η0⋅(-h/2)-Η1(-h/2)Η0(h/2)]h(32)由边界条件x=0时,∫-h/2h/2σxdz=0,和∫-h/2h/2σxzdz=M/b,可得C5=(s110Μ/bk2)[Η0(h/2)-Η0(-h/2)](33)C6=-(s110Μ/bk2)[Η1(h/2)-Η1(-h/2)](34)其中k2=[Η2(h/2)-Η2(-h/2)][Η0(h/2)-Η0(-h/2)]-[Η1(h/2)-Η1(-h/2)]2(35)由固定端边界条件z=0,x=l时,u=w=0,∂w/∂x=0,求得a=C5l+C1l2/2(36)d=-C5l2/2-C1l3/3(37)e=-C2l2/2-C6l+(s440/s110)[C1Τ1(0)+C2Τ0(0)]+C3s440G0(0)(38)3受集中力作用算例一考虑均匀各向同性弹性悬臂梁受端部集中力P作用(M=0),这时梯度函数F(z)=1.设材料的弹性模量为E,泊松比为ν,则有s110=1/E,s130=-ν/E,s330=1/E,s440=1/G=2(1+ν)/E由式(17)～(19),求得各应力分量为σx=-12Ρbh3xz,σz=0,σzx=-3Ρ2bh+6Ρbh3z2由式(23)和(24),得位移分量为u=-Ρx2z2EΙb+(Ρ6GΙb-υΡ6EΙb)z3-(Ρh28GΙb-Ρl22EΙb)zw=υΡxz22EΙb+Ρx36EΙb-Ρl2x2EΙb+Ρl33EΙb其中,I=h3/12.以上结果与经典弹性力学解相同.算例二功能梯度悬臂梁(l=1m,h=0.2m,b=0.04m)端部受集中力作用(P=1N,M=0).假设梯度函数为F(z)=ez/h,在z=0处的材料常数为石墨/环氧(T)型材料的相应数据s110=5.41×10-2Ρa‚s130=-1.51×10-12Ρas330=9.52×10-11Ρa,s440=1.37×10-10Ρa图2给出了受集中力作用时,梁上的物理量随坐标z的变化情况.所有物理量均做量纲一处理.量纲一的自由端轴向位移u沿厚度方向近似呈线性变化,而量纲一的自由端法向位移w沿厚度方向几乎不发生变化,近似为常量.量纲一的固定端应力σx和τzx沿厚度方向呈非线性变化.算例三功能梯度悬臂梁(l=1m,h=0.2m,b=0.04m)端部受弯矩作用(P=0,M=1N·m).材料常数同算例二.假设梯度函数为F(z)=3z+1图3给出了受弯矩作用时,梁上的物理量随坐标z的变化情况.所有物理量均做量纲一处理.量纲一的自由端轴向位移u沿厚度方向近似呈线性变化,而量纲一的自由端法向位移w沿厚度方向变化不大.量纲一的固定端应力σx沿厚度方向的变化趋势与受集中力时的趋势是相同的,而固定端剪应力τzx为零.综合上述算例的计算结果可以发现,在不同类型的载荷作用下,梯度梁的中性轴都不再位于中面,而是稍偏向较刚性的一面.因此,在梯度梁的简化理论中