2022年江西省景德镇市中考数学第三次质检试卷

第1页（共1页）2022年江西省景德镇市中考数学第三次质检试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）的算术平方根是（）A．土4 B．+2 C．﹣2 D．22．（3分）下列各式中计算正确的是（）A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．a+a3＝a4 C．x2•x3＝x6 D．x﹣8÷x2＝x﹣4（x≠0）3．（3分）如图所示几何体的右视图是（）A． B． C． D．4．（3分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长．如图，正十二边形的边长是4，则可求出此十二边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面π的值正确的是（）A．π＝ B．π＝ C．π＝6sin15° D．π＝12sin15°5．（3分）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2022的坐标为（）A．（2，1010） B．（2，1011） C．（1，﹣1010） D．（1，﹣1011）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）因式分解：x2﹣4＝．8．（3分）截至2021年10月30日，电影《长津湖》的累计票房达到大约5500000000元，数据5500000000用科学记数法表示为．9．（3分）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m+n的值为．10．（3分）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为1.91m，则该车车身总长为m11．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为．12．（3分）如图，直线y＝x+与坐标轴分别交于A，B两点，平面内找到一点C，使△ABC与△ABO全等，则点C的坐标为．三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）13．（3分）化简：．14．（3分）如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAC＝90°，∠DAC＝∠C．求证：AD＝BD．15．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．16．（6分）北京冬奥会的胜利召开，也有很多志愿者的一份功劳．北京师范大学数学系的小丽、小王和三个同学共五个志愿者被派往国家体育馆，根据该场馆人事安排而要先抽出一人去做安保服务，再派两人去做交通服务，请你利用所学知识完成下列问题．（1）小丽被派去做安保服务的概率是；（2）若正好抽出她们一位同学去做安保服务，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派去做交通服务的概率．17．（6分）如图，O为正五边形ABCDE的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．（1）在图1中的边DE上求作点G，使DG＝CF；（2）在图2中的边DE上求作点H，使EH＝CF．18．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于A（﹣1，m）和B（n，﹣1）两点．（1）m＝，n＝；（2）结合图象直接写出不等式kx+b＞﹣的解集．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）2022年冬季奥运会在北京胜利举办，奥运吉祥物冰墩墩大受欢迎．某商店第一次用4000元购进某款冰墩墩纪念章，很快卖完，第二次又用3000购进该款纪念章，但这次每个纪念章是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了30个．（1）求第一次每个纪念章的进价是多少元？（2）若第二次进货后按80元/个的价格出售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的纪念章按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于600元，问最低可打几折？20．（8分）某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A，B，C，D四等，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题（说明：测试总人数的前30%考生为A等级，前30%至前70%为B等级，前70%至前90%为C等级，90%以后为D等级）．（1）求抽取了多少名学生成绩；（2）学生成绩的中位数落在组；（3）请把频数分布直方图补充完整；（4）若测试总人数前90%为合格，该校初二年级有900名学生，求全年级生物合格的学生共约多少人．21．（8分）如图1是一个长方体形家用冰箱，长宽高分别为0.5米、0.5米、1.7米，在搬运上楼的过程中，由于楼梯狭窄，完全靠一名搬运师傅背上楼．（1）如图2，为便于搬运师傅起身，冰箱通常与地面成60°角，求此时点D与地面的高度；（2）如图3，在搬运过程中，冰箱与水平面成80°夹角，最低点A与地面高度为0.3米，门的高度为2米，假如最高点C与门高相同时，刚好可以搬进去．若他保持冰箱与平面夹角不变，他要下蹲几厘米（结果保留整数）才刚好进门？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.16，tan80°≈5.67）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若⊙O的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．23．（9分）【情境】某课外兴趣小组在一次折纸活动课中．折叠一张带有条格的长方形的纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格线所在的直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．【探索】（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，将矩形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB边放在y轴的正半轴上，AB＝m，AD＝n，（m≤n）．将纸片折叠，使点B落在边AD上的点E处，过点E作EQ⊥BC于点Q，折痕MN所在直线与直线EQ相交于点P，连接OP．求证：四边形OMEP是菱形；【归纳】（2）设点P坐标是（x，y），求y与x的函数关系式（用含m的代数式表示）．【运用】（3）将矩形纸片ABCD如图3放置，AB＝8，AD＝12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在点K，使得△KCF的面积是△KOC面积的？若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．五、（本题共1小题，共12分）24．（12分）（1）问题发现：如图①，点A为平面内一动点，且BC＝a，AB＝c（a＞c），则AC的最小值为，AC的最大值为；（2）轻松尝试：如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为．（3）方法运用：在四边形ABCD中，BC＝4，点D是BC上方的动点，且CD＝2，∠ABD＝90°，＝m．①如图3，当m＝1时，求线段AC的最大值．②如图4，当m≠1时，用含m式子表示线段AC的最大值．

2022年江西省景德镇市中考数学第三次质检试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）的算术平方根是（）A．土4 B．+2 C．﹣2 D．2【解答】解：∵22＝4＝，∴的算术平方根是2．故选：D．2．（3分）下列各式中计算正确的是（）A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．a+a3＝a4 C．x2•x3＝x6 D．x﹣8÷x2＝x﹣4（x≠0）【解答】解：A、（﹣a2）3＝﹣a6，故A符合题意；B、a与a3不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；C、x2•x3＝x5，故C不符合题意；D、x﹣8÷x2＝x﹣10（x≠0），故D不符合题意；故选：A．3．（3分）如图所示几何体的右视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从几何体的右面看，是一列两个矩形．故选：C．4．（3分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长．如图，正十二边形的边长是4，则可求出此十二边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面π的值正确的是（）A．π＝ B．π＝ C．π＝6sin15° D．π＝12sin15°【解答】解：如图，由正十二边形的性质可知，∠AOB＝＝30°，则∠AOM＝＝15°，在Rt△AOM中，AM＝OA•sin15°，∴AB＝2AM＝2sin15°•OA，∴正十二边形的周长为2sin15°•OA×12，∴π＝＝12sin15°，故选：D．5．（3分）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；B、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；C、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．故选：A．6．（3分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2022的坐标为（）A．（2，1010） B．（2，1011） C．（1，﹣1010） D．（1，﹣1011）【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A2（1，﹣1），A4（2，2），A6（1，﹣3），A8（2，4），A10（1，﹣5），A12（2，6），…，∵2022÷4＝505…2，∴点A2022在第四象限，横坐标是1，纵坐标的绝对值是2022÷2＝1011，∴A2022的坐标为（2，﹣1011）．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．8．（3分）截至2021年10月30日，电影《长津湖》的累计票房达到大约5500000000元，数据5500000000用科学记数法表示为5.5×109．【解答】解：5500000000＝5.5×109．故答案为：5.5×109．9．（3分）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m+n的值为﹣2．【解答】解：∵m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2．故答案为：﹣2．10．（3分）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为1.91m，则该车车身总长为5m【解答】解：设汽车的车身总长为x米，则车尾与倒车镜的水平距离为（x﹣1.91）m，∴＝0.618，解得：x＝5．故答案为：5；11．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为18°．【解答】解：∵点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，∴EG是△ACD的中位线，FG是△ACB的中位线，∴EG＝CD，FG＝AB，∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠EGF＝144°，∴∠GEF＝×（180°﹣144°）＝18°，故答案为：18°．12．（3分）如图，直线y＝x+与坐标轴分别交于A，B两点，平面内找到一点C，使△ABC与△ABO全等，则点C的坐标为（，）或（3，）．【解答】解：∵直线y＝﹣x+与坐标轴分别交于A，B两点，∴A（3，0），B（0，），∴OA＝3，OB＝，AB＝＝4，∴∠ABO＝60°，∠BAO＝30°，△ABC与△ABO全等，分两种情况：①当∠BAC＝∠BAO＝30°时，△ABC≌△ABO，过点C作CD⊥OA于D，∵∠BAC＝∠BAO＝30°，△ABC≌△ABO，∴AC＝OA＝3，∠CAD＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝，CD＝，∴OD＝OA﹣AD＝，∴点C的坐标为（，）；②当∠BAC＝∠ABO＝60°时，△BAC≌△ABO，∵∠BAC＝∠ABO＝60°时，△BAC≌△ABO，∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°，AC＝OB＝，∴点C的坐标为（3，）；综上，点C的坐标为（，）或（3，）．故答案为：（，）或（3，）．三、（本大题共6小题，每小题3分，共30分）13．（3分）化简：．【解答】解：原式＝+＝＝．14．（3分）如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAC＝90°，∠DAC＝∠C．求证：AD＝BD．【解答】证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∵∠DAC＝∠C，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD．15．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，由①得：x≥；由②得：x＜3；∴原不等式组的解集为≤x＜3，在数轴上表示不等式组的解集为：．16．（6分）北京冬奥会的胜利召开，也有很多志愿者的一份功劳．北京师范大学数学系的小丽、小王和三个同学共五个志愿者被派往国家体育馆，根据该场馆人事安排而要先抽出一人去做安保服务，再派两人去做交通服务，请你利用所学知识完成下列问题．（1）小丽被派去做安保服务的概率是；（2）若正好抽出她们一位同学去做安保服务，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派去做交通服务的概率．【解答】解：（1）小丽被派去做安保服务的概率是；故答案为：；（2）小丽、小王和两个同学分别用A，B，C1，C2表示，根据题意画图如下：由上可知；一共出现了12种等可能的结果，小丽和小王同时出现的有2种情况，则小丽和小王同时被派去做交通服务的概率是＝．17．（6分）如图，O为正五边形ABCDE的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．（1）在图1中的边DE上求作点G，使DG＝CF；（2）在图2中的边DE上求作点H，使EH＝CF．【解答】解：（1）如图，点G即为所求；（2）如图，点H即为所求．18．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于A（﹣1，m）和B（n，﹣1）两点．（1）m＝2，n＝2；（2）结合图象直接写出不等式kx+b＞﹣的解集．【解答】解：（1）把A（﹣1，m），B（n，﹣1）分别代入y＝﹣得﹣m＝﹣2，﹣n＝﹣2，解得m＝2，n＝2；故答案为2，2；（2）A（﹣1，2），B（2，﹣1），观察图象，不等式kx+b＞﹣的解集是x＜﹣1或0＜x＜2．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）2022年冬季奥运会在北京胜利举办，奥运吉祥物冰墩墩大受欢迎．某商店第一次用4000元购进某款冰墩墩纪念章，很快卖完，第二次又用3000购进该款纪念章，但这次每个纪念章是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了30个．（1）求第一次每个纪念章的进价是多少元？（2）若第二次进货后按80元/个的价格出售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的纪念章按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于600元，问最低可打几折？【解答】解：（1）设第一次每个纪念章的进价为x元，则第二次每个纪念章的进价为1.2x元，由题意得：﹣＝30，解得：x＝50，经检验：x＝50是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次每个纪念章的进价是50元；（2）第二次购进纪念章的数量：3000÷（1.2×50）＝50（个），第二次购进纪念章的价格是：1.2×50＝60（元）．设商店对剩余的纪念章按同一标准一次性打a折销售时，可使利润不少于600元，由题意得：（80﹣60）×50×+（80×0.1a﹣60）×50×≥600，解得：a≥8，即最低打8折．答：最低可打8折．20．（8分）某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A，B，C，D四等，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题（说明：测试总人数的前30%考生为A等级，前30%至前70%为B等级，前70%至前90%为C等级，90%以后为D等级）．（1）求抽取了多少名学生成绩；（2）学生成绩的中位数落在B组；（3）请把频数分布直方图补充完整；（4）若测试总人数前90%为合格，该校初二年级有900名学生，求全年级生物合格的学生共约多少人．【解答】解：（1）23÷46%＝50（名），答：抽取了50名学生成绩；（2）学生成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据均落在B组，所以中位数落在B组，故答案为：B；（3）D等级人数为50﹣（10+12+23）＝5（人），补全图形如下：（4）全年级生物合格的学生共约900×90%＝810（人）．21．（8分）如图1是一个长方体形家用冰箱，长宽高分别为0.5米、0.5米、1.7米，在搬运上楼的过程中，由于楼梯狭窄，完全靠一名搬运师傅背上楼．（1）如图2，为便于搬运师傅起身，冰箱通常与地面成60°角，求此时点D与地面的高度；（2）如图3，在搬运过程中，冰箱与水平面成80°夹角，最低点A与地面高度为0.3米，门的高度为2米，假如最高点C与门高相同时，刚好可以搬进去．若他保持冰箱与平面夹角不变，他要下蹲几厘米（结果保留整数）才刚好进门？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.16，tan80°≈5.67）【解答】解：（1）过点D作DE⊥MN，垂足为E，由题意得：∠∠BAM＝60°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＝180°﹣∠BAM﹣∠BAD＝30°，在Rt△ADE中，AD＝0.5米，∴DE＝AD＝0.25（米），∴此时点D与地面的高度为0.25米；（2）过点B作BF⊥MN，垂足为F，过点C作CG⊥MN，垂足为G，过点B作BH⊥CG，垂足为H，过点A作AK⊥BF，垂足为K，交CG于点J，则BK＝HJ，JG＝0.3米，∠BHC＝∠ABC＝90°，BH∥AK，在Rt△ABK中，∠BAK＝80°，AB＝1.7米，∴BK＝AB•sin80°≈1.7×0.98＝1.666（米），∴HJ＝BK＝1.666米，∵BH∥AK，∴∠HBA＝∠BAK＝80°，∴∠CBH＝∠ABC﹣∠HBA＝10°，∵∠BHC＝90°，∴∠BCH＝90°﹣∠CBH＝80°，在Rt△BCH中，BC＝0.5米，∴CH＝BC•cos80°≈0.5×0.16＝0.08（米），∴CH+HJ+JG＝0.08+1.777+0.3≈2.05（米），∴最高点C与地面的距离约为2.05米，∴2.05﹣2＝0.05（米），∴他要下蹲5厘米才刚好进门．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若⊙O的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．【解答】（1）解：连接AD，∵D是的中点，∴＝，∴∠EAD＝∠DAB＝∠CAB＝40°，∴∠DBE＝∠CAD＝40°；（2）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠C+∠CAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∠CAD＝∠BAD，∴∠C＝∠ABC，∴AC＝AB．（3）解：∵⊙O的半径为5cm，∴AB＝10（cm），∠AEB＝90°，∵AC＝AB，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝6（cm），∴AD＝＝＝8（cm），∵S△ABC＝•BE•AC＝•BC•AD，∴BE＝＝（cm）．23．（9分）【情境】某课外兴趣小组在一次折纸活动课中．折叠一张带有条格的长方形的纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格线所在的直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．【探索】（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，将矩形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB边放在y轴的正半轴上，AB＝m，AD＝n，（m≤n）．将纸片折叠，使点B落在边AD上的点E处，过点E作EQ⊥BC于点Q，折痕MN所在直线与直线EQ相交于点P，连接OP．求证：四边形OMEP是菱形；【归纳】（2）设点P坐标是（x，y），求y与x的函数关系式（用含m的代数式表示）．【运用】（3）将矩形纸片ABCD如图3放置，AB＝8，AD＝12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在点K，使得△KCF的面积是△KOC面积的？若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：如图3，由题意知：OM＝ME，∠OMN＝∠EMN，∵OM∥EP，∴∠OMN＝∠MPE．∴∠EMN＝∠MPE．∴ME＝EP．∴OM＝EP．∴四边形OMEP是平行四边形．又∵ME＝EP，∴四边形OMEP是菱形；（2）解：∵四边形OMEP是菱形，∴OP＝PE，∴OP2＝PE2，∵EQ＝OA＝m，PQ＝y，∴PE＝m﹣y．∴PE2＝（m﹣y）2＝m2﹣2my+y2．∵OP2＝x2+y2，PE2＝m2﹣2my+y2，∴x2+y2＝m2﹣2my+y2．∴；（3）解：如图3，假设折叠曲线上存在点K满足条件．当m＝8时，y＝﹣x2+4．作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．设K（x，y），则KG＝12﹣x，KH＝y．当x＝12时，y＝﹣5．∴F（12，﹣5），∴CF＝5．∴S△KCF＝CF×KG＝×5×（12﹣x）S△KOC＝CO×KH＝×12y，