2022年全国高中数学联赛江苏赛区苏州市选拔赛试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2022年全国高中数学联赛江苏赛区苏州市选拔赛试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分一、填空题1．已知：为虚数，且为实数，则___________.2．已知第一只口袋里有2个白球，3个红球，5个黄球，第二只口袋里有2个白球，4个红球，4个黄球，若从两个口袋中各取一球，则取出的球颜色不同的概率是___________.3．已知半径为2的半球面碗中装有四个半径均为r的小球，碗壁和球的表面都是光滑的，且每个小球均与碗口平面相切，则r的值为___________.4．若等差数列满足，则的值为___________.5．已知双曲线C：（，）的左､右焦点为，，离心率为，若过的直线l与圆相切于点T，且l与双曲线C的右支交于点P，则___________.6．已知的外心为O，且，则的值为___________.7．若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为___________.8．已知正实数a，b，c满足，且，则c的最大值为___________.9．若，，则的值为___________.10．现要将一边长为101的正方体，分割成两部分，要求如下：（1）分割截面交正方体各棱，，，于点P，Q，R，S（可与顶点重合）；（2）线段，，，的长度均为非负整数，且线段，，，的每一组取值对应一种分割方式，则有___________种不同的分割方式.（用数字作答）评卷人得分二、解答题11．已知数列满足，，且，.(1)证明：；(2)证明：.12．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设点M在直线上，过M的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.13．如图，是的内心，的外角平分线交于点，直线交外接圆于点，直线与直线交点为，证明：.14．定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.(1)如果19支球队参加单循环比赛，求友好组个数的最大值；(2)如果20支球队参加单循环比赛，求友好组个数的最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．3【解析】【分析】设出虚数，计算化简，由的虚部为0得，再由模长公式即可求解.【详解】设，则，则，则，.故答案为：3.2．##0.64【解析】【分析】先求出两个球都为白球、红球、黄球的概率，进而求出两球颜色相同的概率，即可求出球颜色不同的概率.【详解】若两个口袋都取出白球，概率为；若两个口袋都取出红球，概率为；若两个口袋都取出黄球，概率为；则取出两球颜色相同的概率为，则取出的球颜色不同的概率是.故答案为：.3．【解析】【分析】先从碗口垂直方向分析四个球中，求得对角球心间的距离，再根据对角球与半球的切点在同一过球心的平面上，根据几何关系列式求解即可【详解】由题意，两个对角球心间的距离为，根据球的性质可得球与半球碗的切点在同一过球心的截面上，且三点共线，三点共线，作分别垂直于碗的水平线，则，又球的半径为2，且，故，即故答案为：4．【解析】【分析】直接由条件得出首项和公差的方程组，即可求出.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.5．4【解析】【分析】根据离心率得出的关系，作交于点，是的中点求得，，利用和求出可得答案.【详解】如图，由题可知，则,，则，因为，，所以，作交于点，因为是的中点，所以是的中点，所以，，因为，所以，即，又，可得，则，所以，，所以..故答案为：6．【解析】【分析】根据题意，设，，将变形为，由数量积的计算公式可得的值，由二倍角公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，设，则，若为的外心，则设，若，则，则有，即，所以，由图可得：，则，则有，解得或（舍去），故答案为：．7．【解析】【分析】关于x的不等式恒成立，即关于x的不等式恒成立，则，即，分三种情况讨论，分离参数，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，从而可得出答案.【详解】解：关于x的不等式恒成立，即关于x的不等式恒成立，因为函数为增函数，所以函数为增函数，所以，所以，当时，无意义，故，当时，则，则，令，则，所以函数在上递减，当时，，所以，与矛盾，所以舍去，当时，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，所以，综上所述，，所以实数a的最大值为.故答案为：.8．【解析】【分析】先由基本不等式求得，再由条件得，结合的范围，即可求出c的最大值.【详解】由，则，可得，当且仅当时取等；又由可得，由可得，则，则c的最大值为.故答案为：.9．【解析】【分析】对两式平方相加整理可得，则，讨论的奇偶，代入处理运算．【详解】∵，则，两式相加得：，则∴，即若为奇数时，则可得∴，则若为偶数时，则可得∴，则故答案为：．10．707504【解析】【分析】先由面面平行的性质证得四边形为平行四边形，再由空间向量求得，设，，，的长度为，，分和两种情况求出有序数列的个数，即可求解.【详解】易得平面∥平面，平面平面，平面平面，则，同理可得，则四边形为平行四边形，则，即，整理得，即，设，，，的长度为，，又为非负整数，且，易得为非负整数且，下面考虑满足上述条件的有序数列的个数；当时，易得可取共种情况，可取共种情况，由乘法原理可得共有，则有序数列共有个；当时，易得可取共种情况，可取共种情况，由乘法原理可得共有，则有序数列共有个；又当有序数列为和时，不满足将正方体分割成两部分，故共有种分割方式.故答案为：707504.【点睛】本题关键点在于将问题转化为满足，且为非负整数，的有序数列的个数，分和两种情况求出有序数列的个数，即可求解.11．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意整理可得，结合符号分析可得故与同号，进而可证，再代入原式放缩可得，可证；（2）根据题意可得，利用累加法得，进而分析得，再利用放缩可得，结合裂项相消法求和证明．(1)由已知数列满足，，且，，即，故，由，，有，，故与同号，因为，则，，以此类推可知，对任意的，，所以，则，所以.(2)因为，则，，，累加得，所以，可得.当时，，故.【点睛】解该题的关键是因式分解和放缩的运用，观察题中递推公式因式分解得：；放缩的灵活准确运用：，和．12．(1)(2)0【解析】【分析】（1）表示出与的斜率，由斜率之积为，即可求得C的方程；（2）设出点坐标及直线，参数方程，联立C的方程求得，求得两条直线倾斜角之和，即可求出斜率之和.(1)易得，直线的斜率为，直线的斜率为，则，整理得，则曲线C方程为；(2)设点，设直线参数方程为（t为参数），代入，整理得，设对应的参数为，则，设直线参数方程为（为参数），对应的参数为，同理，由于，则，解得，又，所以，此时直线的斜率与直线的斜率之和为0.13．证明见解析【解析】【分析】由梅涅劳斯定理可知，由外角平分线和角平分线定理可得，；由三角形相似和三角形内心性质可求得，由此可得，结合可证得结论.【详解】设，，，直线与直线交于点；在中，由梅涅劳斯定理得：；由外角平分线定理可知：；为的角平分线，，则；由得：，由内心性质得：，则；由得：，又，，.14．(1)285(2)330【解析】【分析】设有x个友好组，考虑其反面，证明一般性结论：当球队个数m为奇数时，友好组个数最大值为；当球队个数m为偶数时，友好组个数最大值为再求解即可.(1)当m为奇数时，令，由于共有支球队进行单循环比赛，故总共有场比赛.不妨设有x个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三队为非友好组.不妨设甲队赢了乙队和丙队，此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有个（补充定义：），于是所有非友好组的个数为.（其中等号成立当且仅当）.故有.当（）时，取到最大值，即.构造例子：设在共支球队中，队胜，负，其中下标是在模的意义下的.则友好组的个数为.综上所述，当m为奇数时，友好组个数的最大值为；故如果19支球队参加单循环比赛，友好组个数的最大值为(2)当m为偶数时，令，则总共有场比赛.不妨设有x个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有个（补充定义：）于是所有非友好组的个数为.下求的最小值.若在中，不妨设.则令，，其余（且），故调整后的总和