中考数学复习：第7节　一元二次方程及应用

第7节一元二次方程及应用1．(2021·丽水)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是(D)A．(x－2)2＝5B．(x－2)2＝3C．(x＋2)2＝5D．(x＋2)2＝32．(2021·临沂)方程x2－x＝56的根是(C)A．x1＝7，x2＝8B．x1＝7，x2＝－8C．x1＝－7，x2＝8D．x1＝－7，x2＝－83．(2021·台州)关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(D)A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜44．(2021·盐城)设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值为(C)A．－2B．－3C．2D．35．(2021·怀化)对于一元二次方程2x2－3x＋4＝0，则它根的情况为(A)A．没有实数根B．两根之和是3C．两根之积是－2D．有两个不相等的实数根6．(2021·福建)某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是(B)A．0.63(1＋x)＝0.68B．0.63(1＋x)2＝0.68C．0.63(1＋2x)＝0.68D．0.63(1＋2x)2＝0.687．(2021·上海)若一元二次方程2x2－3x＋c＝0无解，则c的取值范围为c＞eq\f(9,8)．8．(2021·江西)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根，则x1＋x1－x1x2＝1．9．解方程：(1)(2021·齐齐哈尔)x(x－7)＝8(7－x)；解：x1＝7，x2＝－8(2)(2020·临沂)x2－4x－8＝0.解：x1＝2＋2eq\r(3)，x2＝2－2eq\r(3)10．(2021·北京)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0.(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．解：(1)∵a＝1，b＝－4m，c＝3m2，∴Δ＝b2－4ac＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2.∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程总有两个实数根(2)∵x2－4mx＋3m2＝0，即(x－m)(x－3m)＝0，∴x1＝m，x2＝3m.∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m－m＝2，∴m＝111．(2021·永州)若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a).现已知一元二次方程px2＋2x＋q＝0的两根分别为m，n.(1)若m＝2，n＝－4，求p，q的值；(2)若p＝3，q＝－1，求m＋mn＋n的值．解：(1)根据题意，得m＋n＝2－4＝－eq\f(2,p)，mn＝2×(－4)＝eq\f(q,p)，所以p＝1，q＝－8(2)根据m＋n＝－eq\f(2,p)＝－eq\f(2,3)，mn＝－eq\f(1,3)，所以m＋mn＋n＝(m＋n)＋mn＝－eq\f(2,3)－eq\f(1,3)＝－112．(2021·张家界)2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？解：(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x，依题意得10(1＋x)2＝12.1，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去).答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%(2)12.1×(1＋10%)＝13.31(万人).答：预计6月份的参观人数为13.31万人13．(2021·凉山州)函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋bx＋k－1＝0的根的情况是(C)A.没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【点拨】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2－4(k－1)，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．14．(2021·南充)已知方程x2－2021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x12－eq\f(2021,x2)的值为(B)A．1B．－1C．2021D．－2021【点拨】由题意得出x1x2＝1，x12－2021x1＋1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．15．(2021·湖北)关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝1，则m＝3．【点拨】根据Δ的意义得到Δ≥0，即(－2m)2－4(m2－m)≥0，可得m≥0，根据根与系数的关系得到α＋β＝2m，αβ＝m2－m，再将eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝1变形得到关于m的方程，解方程即可求解．16．(2021·广安)一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长为12．【点拨】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到三角形的周长．17．(2021·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2两实数根．(1)若x1＝1，求x2及m的值；(2)是否存在实数m，满足(x1－1)(x2－1)＝eq\f(6,m－5)？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m－1)≥0，解得m≤5，x1＋x2＝6，x1x2＝2m－1，∵x1＝1，∴1＋x2＝6，x2＝2m－1，∴x2＝5，m＝3(2)存在．∵(x1－1)(x2－1)＝eq\f(6,m－5)，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝eq\f(6,m－5)，即2m－1－6＋1＝eq\f(6,m－5)，整理得m2－8m＋12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝218．(2021·宜昌)随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%.去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．(1)请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？(2)今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%.同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%.经测算，今年的灌溉用水量比去年减少eq\f(9,5)m%，求m的值；(3)节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在(2)的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？解：(1)设漫灌方式每亩用水x吨，则100x＋100×30%x＋100×20%x＝15000，解得x＝100，∴漫灌用水：100×100＝10000(吨)，喷灌用水：30%×10000＝3000(吨)，滴灌用水：20%×10000＝2000(吨)，∴漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，喷灌试验田用水3000吨，滴灌试验田用水2000吨(2)由题意可得，100×(1－2m%)×100×(1－m%)＋100×(1＋m%)×30×(1－m%)＋100×(1＋