专业数学建模实验报告一

《数学建模与数学实验》实验报告实验一、微积分基本模型及实验专业、班级信息1101学号201110010116姓名邵森课程编号81010240实验类型验证性学时2实验（上机）地点教七楼数学实验中心完成时间201任课教师马新顺评分一、实验目的及要求1．掌握数学软件Mathematica的基本用法和一些常用的规则，能用该软件进行基本微积分运算，并能进行一些简单的编程；2．理解Malthus和Logistic人口增长模型，能够借助数学软件对增长率和人口上限等参数进行拟合计算；3．理解经济系统的蛛网模型和确定性存贮模型，了解微分方程和差分方程的稳定性理论在实际应用的重要意义，能够借助数学软件求解微分方程、差分方程和代数方程；4．理解两种存贮问题（即不允许缺货和允许缺货问题）的本质区别和联系，能够借助数学软件求解并分析这两个问题。二、借助数学软件，研究、解答以下问题（一）利用中心差分公式，即，借助数学软件，从P10表1中的数据出发，重新计算教材P11中的表2和P12表3。[主要使用的Mathematica语句：Table，Fit及循环控制语句]【解】：给出你的计算或分析步骤、结果，列出必要的程序清单等P11表2程序代码如下：%人口数据处理拟合data1=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4281.4];y=log(data1);y0=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.0];y1=log(y0);t=[0123456789101112131415161718192021];%t1=0:11;t1=[01234567891011];A1=polyfit(t1,y1,1)%A11790-1900B1=A1;x01=exp(B1(2))r1=B1(1)fori=1:12x1(i)=x01*exp(r1*(i-1));endx1A2=polyfit(t,y,1)%A21790-2000B2=A2;x02=exp(B2(2))r2=B2(1)fori=1:22x2(i)=x02*exp(r2*(i-1));endx2计算结果如下：x2/1.0e+002年1790180018101820实际人口3.95.37.29.6计算人口x14.188444465.510489537.249826329.53816924计算人口x20.060449710.073995560.090576830.110873701830184018501860187012.917.123.231.438.612.548807116.509726021.720873528.576873237.59690790.135718800.166131300.203358780.248928360.304709381880189019001910192050.262.976.092.0106.549.464036065.076917185.61786460.372990080.456571430.558882080.684118970.8374195319301940195019601970123.2131.7150.7179.3204.01.025072391.254775371.535951271.880134372.30144362198019902000226.5251.4281.42.817161803.448444514.22118798（二）针对3种人口增长模型：（1）（２）（３）。1.用数学软件求解（1）-（3），给出计算结果；2.验证（2）的解的拐点为：（）；3.针对具体的，画出以上3个模型的解的图像加以比较，给出你的比较结果。[主要使用的Mathematica语句：DSolve,Solve,Plot等语句]【解】：1.1dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0','t')ans=x0*exp(r*t)1.2dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0','t')ans=-xm/(exp(xm*(log((x0-xm)/x0)/xm-(r*t)/xm))-1)1.3dsolve('Dx=r*(xm-x)','x(0)=x0','t')ans=xm+(x0-xm)/exp(r*t)2.验证带入（）3.数据图像程序代码如下：xm=433.9886;r=0.2490;x0=3.9;t=[0123456789101112131415161718192021];x1=x0*exp(r*t);x2=-xm./(exp(xm*(log((x0-xm)/x0)/xm-(r*t)/xm))-1);x3=xm+(x0-xm)./exp(r*t);plot(t,x1,'r',t,x2,'y',t,x3,'b')gridonxlabel('时间轴/10年')ylabel('模型预测的人口值')（三）借助数学软件研究确定性存贮问题：1.针对不允许缺货和允许缺货最优存贮模型，试求其解析解；2.画图研究最优订货周期和订货量与需求量、订货量才、存贮费的关系（可自行给定其中的两个值）；3.比较两种情况下的费用大小。[主要使用的Mathematica语句：Solve，“/.”替换模式，或自定义函数等]【解】：不允许缺货：f[T_]=c1/T+c2*r*T/2f'[T_](c2r)/2-c1/T_2Solve[{(c2*r)/2-c1/T_20},T]{{TInverseFunction[Pattern,1,2][-((c1)/(c2r)),_]},{TInverseFunction[Pattern,1,2][(c1)/(c2r),_]}{{TInverseFunction[Pattern,1,2][-(/),_]},{TInverseFunction[Pattern,1,2][/,_]}}得T=代入Q=最小的总费用C=sqrt(2c1c1.2允许缺货C[T_,Q_]=c1/T+c2*Q^2/(2*r*T)+c3(r*T-Q)^2/(2*r*T)D[c1/T+(c2Q2)/(2rT)+(c3(-Q+rT)2)/(2rT),{T,1}]-(c1/T2)-(c2Q2)/(2rT2)+(c3(-Q+rT))/T-(c3(-Q+rT)2)/(2rT2)Simplify[-(c1/T2)-(c2Q2)/(2rT2)+(c3(-Q+rT))/T-(c3(-Q+rT)2)/(2rT2)]-((c2Q2+c3Q2+2c1r-c3r2T2)/(2rT2))D[c1/T+(c2Q2)/(2rT)+(c3(-Q+rT)2)/(2rT),{Q,1}](c2Q)/(rT)-(c3(-Q+rT))/(rT)Simplify[(c2Q)/(rT)-(c3(-Q+rT))/(rT)](c2Q+c3Q-c3rT)/(rT)Solve[{-(c1/T2)-(c2Q2)/(2rT2)+(c3(-Q+rT))/T-(c3(-Q+rT)2)/(2rT2)0},T]{{T-(/(r))},{T/(r)}}Solve[{(c2Q)/(rT)-(c3(-Q+rT))/(rT)0},Q]{{Q(c3rT)/(c2+c3)}}（四）借助数学软件研究差分方程：1.给出教材P222中1（1）-（2）中所满足的差分方程；2.求解以上差分方程的特征根；3.验证：当时，以上特征根满足[主要使用的Mathematica语句：RSolve，Solve，Simplify等语句]【解】：1.(1)简单的假设由和的平均值决定，模型为得1.(2)设也由和的平均值决定，模型为得其特征方程为4λ³+αβλ²+2αβλ+αβ=02.（1）特征方程为：2λ²+αβλ+αβ=0特征根求解：Solve[2*x^2+a*b*x+a*b0,x]{{x1/4(-ab-)},{x1/4(-ab+)}}2.（2）特征方程为：4λ³+αβλ²+2αβλ+αβ=0特征根求解：Solve[4*x^3+a*b*x^2+2*a*b*x+a*b0,x]{{x-((ab)/12)-(24ab-a2b2)/(12(-216ab+36a^2b^2-a^3b^3+24)1/3)+1/12(-216ab+36a^2b^2-a^3b^3+24)1/3},{x-((ab)/12)+((1+)(24ab-a2b2))/(24(-216ab+36a^2b^2-a^3b^3+24)1/3)-1/24(1-)(-216ab+36a^2b^2-a^3b^3+24)1/3},{x-((ab)/12)+((1-)(24ab-a2b2))/(24(-216ab+36a^2b^2-a^3b^3+24)1/3)-1/24(1+)(-216ab+36a^2b^2-a^3b^3+24)1/3}}3.（1）|αβ|<2m=0;forh=0:0.0001:2.0%h=a*bA=[(1/4)*(-h+sqrt((h)^2-8*h)),(1/4)*(-h-sqrt((h)^2-8*h))];fori=1:2if(abs(A(i))<1)m=m+1;endifm==40002disp('x的值小于0，验证通过')endendendyzx的值小于1，验证通过3.（2）|αβ|<2三、本次实验的难点分析模型的理解及求解，数学软件运用不熟练；四、参考文献[1]F.S.Roberts.DiscreteMathematicalModels[M].N.J: