中考数学-几何探究与变换

中考数学————几何探究与应用【知识梳理】常见的三种几何变换、、 如何利用几何变换解决几何问题几何变换的常见图形模块一：勾股定理的证明与弦图的构造勾股定理的证明方法：标准验证：（2）加菲尔德证法（总统法）（3）赵爽勾股圆方图（二）弦图例1：已知两个正方形并列排列，要求剪两刀（剪的是直线），使之拼成新的正方形。正方形的边长分别为1和2，请在图中画出剪切线正方形边长为a，b（a＞b），请在图中画出切线并标出各边长度若要求剪三刀拼成一个正方形，请在下图画出剪切线。例2：在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①≌②；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.例3：如图,已知AD∥BC，,△ABE和△CDE是等腰直角三角形,∠EAB=∠FDC=90°AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积例4：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DC。当α=45°时，求△EAD的面积当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°时，猜想△EAD的面积与α大小有无关系。例5：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，直线l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，EP⊥l于点P，求证：2EP+AD=2CD。例6在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，M为直角边AC的中点，AD⊥BM交BC于点D，求证∠BMA=∠CMD（三）“婆罗摩芨多”定理问题：如图1，以的边向外作正方形和，连结，；若，则；(3)若，则.图1图2例：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP垂直l于点P，FQ垂直l于点Q.求证:EP=FQ模块二:夹“半角”模型一：正方形中点夹半角已知：正方形ABCD中，∠EAF=45°.求证：（1）BE+DF=EF；（2）△EFC周长等于2倍边长；例题1：已知∠BAC=45°BD=4，CD=6，求△ABC的面积？【一个基本图形引发的多结论问题】（1）GH=DG+BH（2）（3）（4）∠DGA=∠AGH，∠AHB=∠GHA（5）△AEF∽△AGH∽△DGF∽△BEH（6）（7）AH⊥EG，AG⊥FH（即△AEG，△AFH均为等腰直角三角形）二、“120°”夹半角模型ABCDEF例题2ABCDEF证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。设△BEF的面积为S，求S的取值范围。三、推广：一般的夹半角模型条件：△条件：△ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°∠MDN=60°结论：BM+CN=MN△AMN的周长=2倍边长条件：AB=AD，∠B+∠D=180°，2∠MAN=∠BAD结论：BM+DN=MN问题变式：已知△ABC为正三角形，D为△ABC的内心，E,F分别在边AB,AC上运动且,求证：例题3（1）如图1，正方形中，分别是边上的两点，且，连结，请写出之间的熟练关系并证明；（2）如图2，中，，为上两点，且，请写出线段之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在（1）中，若点在延长线上，在延长线上，其他条件不变，(1)中的结论变化吗？（4）如图4，在(2)中若点在的延长线上，其它条件不变，(2)中的结论还成立吗？请证明你的结论；模块三：旋转变换中点，旋转180°，构造中心对称图形（倍长中线）90°，旋转90°，造垂直（等腰直角三角形和正方形）60°，旋转60°，造等边互补角基本条件：边相等（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图1中的PA、PB、PC三条线段集中于图2中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图中的PA、PB、PC三条线段集中于图中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。（三）等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°，P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。（五）正方形中的旋转结论：（1）△BGC结论：（1）△BGC≌△DEC（2）BG=DE,BG⊥DE结论：（1）△BGC≌△DEC（2）BG=DE,BG⊥DE例1.如图设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________例2.如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。例3.如图，在ΔABC中，∠ACB=900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。【问题变式】△ABC中，AB=AC，D是三角形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB．例4．已知正方形UNOP,正方形URSL,V,T分别是两正方形的中心，M,Q分别是NL,PR的中点，求证：四边形MVQT是正方形。【问题变式】已知正方形ABCD，正方形DJHI,正方形HEFG，连结AG,CE;点K,为AG中点，求证：例题5.已知△CYZ，分别向外作正方形CZAB,正方形ZYXW,正方形YCDE,点F,G,H分别是三正方形中心，连结GH,CF;求证：GH⊥CF且GH=CF【等边三角形中的两个旋转基本图形及常用结论】结论：结论：（1）△BCE≌△ACD，（2）AD=BE,∠AFB=60△BCM≌△CAN，（3）△MCN为等边三角形△MCE≌△NCD°（4）MN∥BD(5)CF为∠BFD的角平分线（6）FC+FE=FD结论：（1）结论：（1）△BCE≌△ACD（2）AD=BE,∠AFB=60°（3）CF为∠BFD的角平分线例题6.如图，△中，，以BC为边的△ABC是等边三角形，求AP的最大，最小值。AACPB例题7.如图7-5，例题8.已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小.例题9、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCDE，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=2√2，那么AC的长等于（）A、12B、8C、5√3D、6√2模块四：翻折与平移变换角平分线的应用及辅助线做法2、翻折与勾股定理3.平移变换的使用技巧例1、已知等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E，求证：BD=2CE。例2.（1）如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断写出FE与FD之间的数量关系。如图，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问（1）中所得结论是否依然成立？例题3.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证:＞.例4、如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是BC边上任意一点，把正方形沿着GH折叠，使A与E重合，D与D’重合，ED’与边CD交于点F。当点E为BC边中点时，求⊿ECF的周长连结AE，AF，求∠EAF的度数例题5、如图所示，在中，，为上的一点，且；为上的一点，且．连接、交于点，求证：．例题6.如图，且共点于，求证：。例题7.在四边形中，各是的中点，延长与的延长线交于