解读大学数学及其数学文化

解读大学数学及其数学文化周均（长江师范学院数学系重庆涪陵408001）一、对大学数学的认识1。从教学内容上认识大学数学传统观点认为大学数学就是高等数学，即就是（advancedmathematicsorhighermathematics）是传统的理、工科高等院校开设的一门重要的基础课程，现在已推广到高等院校文科各专业，它是在中学初等数学（elementarymathematics）学习后，各类大学生数学学习的继续。初等数学研究对象为常量，以静止观点研究问题，而高等数学是研究对象为变量，是用运动和辩证的观点研究数学。高等数学是在17世纪（1763年）Descartes建立了解析几何，同时把变量引入数学对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量而发展来的。由于微积分是高等数学的一个核心组成部分，所以有人又简单称高等数学为微积分。高等数学除开研究微积分之外，根据专业需要还包括向量代数与空间解析几何、无穷级数理论及作为一元微积分学的简单应用——常微分方程，甚至于还包括线性代数、概率论与数理统计等，从这个意义上说高等数学又称为大学数学，前面的分析说明是从公共基础课程的角度认识大学数学的，事实上，还可从更广的意义上说明大学数学，从最近我国高等教育出版社、中国教育部教学指导委员会及各个大学联合举办的三届《大学数学报告论坛》的角度来看，还包括大学数学专业类课程。2。从什么是数学的角度认识什么是大学数学对什么是数学的讨论是由来已久的了，从[2]列举的各种方法可看出有许多定义，事实上笔者认为最为精辟的还是其实恩格斯关于什么是数学最为恰当不过的了，恩格斯在《自然辩证法》和《反杜林论》中对数学产生的历史、发展的动力及其应用和作用都有精确的论述，他给数学下了一个最恰当的最有概括性的定义。他说：数学的研究对象是现实世界中的数量关系和空间形式。这是恩格斯对古典数学的最经典的论述，这也是大家通过对初等数学的学习对数学的简单理解。事实上，数学发展到近、现代数学研究对象已经超越了对数量关系和空间形式的最初意义的理解，其实这里所说的现代数学正是我们讨论的大学数学。如数量不再简单指初等数学中的实数，而且还应该包括向量、张量、矩阵，甚至还包括代数结构中的元，空间也不只是三维空间，有爱因斯坦的四维空间，乃至于n维空间、无穷维空间以及具有某种结构的抽象空间如函数空间、拓朴空间、商空间。从这个意义上说有人这样来定义数学的：数学是研究结构的科学，数学是模式的科学。关于大学数学中的数量关系的说明如微积分学中的无穷小量0都赋予了特定的含义；如向量、矩阵是线性代数研究的对象（数量）；函数也赋予了特殊的含义；如高等代数的多项式理论中多项式可以将x看成是符号,也可看成是传统数学(初等数学)中的多项式函数(即x就是自变量,是数),数量赋予了新的含义—矩阵,这时便产生了矩阵函数（多项式函数），在线性代数特征值理论中是有所体现的，如哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理所阐述。设A是数域P上的一个n×n矩阵，是A的特征多项式，则，同样是函数的概念在大学数学的《数学实验》软件之MATLAB、C语言程序设计中也函数的概念，这里或多或少都有函数思想的应用。2）关于大学数学的空间的说明大家回忆一下从初中学习数轴、平面直角坐标系中可以看这些实质上是我们现实世界的空间描述。到大学了大家在二元微积分学中学习了三维空间也是描述现实世界的。但随着科学理论的发展对数学提出了新的要求，于是在爱因斯坦提出相对论时，提出了四维空间理论，到后来又发展到线性代数的向量空间、n维线性空间理论，以致于发展到泛函分析中的无穷维空间。所有这些都是大学数学对空间诠释。3）关于大学数学的结构应用说明我想从初等数学的三角函数理论说起三角函数中有许多公式，在解决问题中通常情况有这样几种题型求值、化简、证明恒等式等等。我在这里举一个例子，来说明结构在初等数学中的应用。事实上，在大学数学知识、解题策略中也有结构的应用：如极限、导数、积分中都有四则运算法则及复合函数的运算法则。（解释这里的几种微积分学运算应用这种结构时有不同的解释的）。当然，这里还有认知心理学中提倡的鉴别学习理论的应用。关于认知心理学在数学中的应用，我想多谈点。认知心理学通常情况包括几个大的分支如加工过程论、认知结构论及学生中心论。我在这里想强调我学习的一丁点《认知结构理论》在大学数学中的应用。它表现于大学数学概念、数学运算及数学解题策略中的应用，这里仅举例说明它在数学运算中的应用如两个重要极限的运用同，，型，“三统一”，同理是型，也是三统一，这两个重要极限在应用时，都要套用这两种结构。认知结构对怎样掌握知识，提高解决问题的能力具有很好的指导作用，西南大学心理学院院长张庆林曾提出过这样的观点，“知识的学习或表征，只有做到条件化、结构化、自动化和策略化，才能有效地创造性地解决问题”。事实上，认知结构与数学的结合是有理论根据，有研究表明《范畴论Category》中提出的范畴结构与知识工程学中的知识分类、知识表达、知识系统和心理学中的拓朴心理学认知心理学的认知结构有紧密关系。我们在学习大学数学时如果能应用好认知结构理论，对学好数学是很有帮助的。参考文献[1]理科非数学专业高等数学教学内容和课程体系改革课题组人才培养与大学数学教育改革[J]，教学与教材研究1999.2[2]大学数学课程报告论坛大学数学报告论坛2006论文集[c],北京