《经济应用数学》(谢金云 )教案 第12课-不定积分与定积分（二）

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课题不定积分与定积分（二）——认识定积分课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、理解定积分的概念，同时掌握定积分的性质。2、掌握定积分的换元积分法并学会用积分换元法计算定积分。3、掌握定积分的分部积分法并学会用分部换元法计算定积分。思政育人目标：通过利用定积分解决实际问题，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：1、定积分的性质3、定积分的换元积分法与分部积分法教学难点：定积分的换元积分法与分部积分法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（15min）第2节课：课堂测验（10min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（28min）【教师】讲解曲边梯形的面积，引出定积分的概念定义1如图4-4所示，设函数在上连续，则曲线、直线、直线及轴所围成的平面图形称为曲边梯形，其中轴上的区间称为底边，曲线弧边称为曲边．非均匀累积法．该方法的具体步骤如下．（1）图4-5（2）取近似在每个小区间上任取一点，则小曲边梯形的面积近似于以为高的小矩形面积，即．（3）作和将上述个小矩形面积加起来，得曲边梯形面积的近似值，即．（4）求极限设所有小区间的最大长度为，即，则当分点无限增加时，即当时，和式的极限就是曲边梯形的面积，即可见，曲边梯形的面积是一个“和的极限”．【学生】掌握曲边梯形的面积，并通过例题学习曲边梯形面积的用法【教师】讲解定积分的概念1．定积分的定义定义2设函数在上有界，任取分点在每个小区间

上任取一点，得相应的函数值，作乘积，并作和．令，当时，若的极限存在，则称函数在上可积，且称此极限为函数在上的定积分，记作，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，和分别称为积分下限和积分上限，读作“从到的定积分”．2．定积分的几何意义（1）如图4-6所示，当时，定积分表示曲线、直线、直线及轴所围成曲边梯形的面积，即．（2）如图4-7所示，当时，曲边梯形位于轴下方，定积分表示曲边梯形面积的相反数，即．（3）如图4-8所示，若在区间上有正有负，则定积分表示曲线在轴上方与轴下方的曲边梯形各部分面积的代数和，即．图4-8综上所述，可知．【学生】掌握定积分的概念【教师】讲解定积分的性质，并通过例题讲解介绍其应用性质1（逐项积分性）函数和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即．以上性质可推广到多个函数的情形．性质2（常数提取性）被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即．性质3（分段可加性）如果将区间分成两个子区间和，那么．在以上性质中，无论，，的相对位置如何，等式均成立．性质4（积分单调性）在区间上，若恒有，则；若恒有，则．性质5（换限变号性）互换积分上下限，积分变号；上下限相同，积分为零，即，．根据定积分的几何意义及以上性质，可得到下述定理．定理1（奇偶函数的定积分）设在区间上连续，（1）如图4-9所示，若为奇函数，则；（2）如图4-10所示，若为偶函数，则．【学生】掌握定积分的性质，并通过例题学习不定积分公式的用法学习定积分的概念与性质。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解牛顿-莱布尼茨公式，并用实际案例加深学生的理解定理1上的一个原函数，即，则．上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式．从微积分基本公式中可以看出，要计算定积分，只要求出被积函数在区间上的一个原函数，然后计算上限、下限的函数值之差即可，这就是定积分的直接积分法．【学生】掌握牛顿-莱布尼茨公式【教师】讲解定积分的换元积分法，并用实际案例加深学生的理解定理2设函数在区间上连续，且函数满足以下条件，（1）在区间上单调且有连续导数；（2）当在上变化时，在上变化，且，，则有．上式称为定积分的换元积分公式，用该式求定积分的方法称为换元积分法．它属于非线性换元积分法．【学生】掌握定积分的换元积分法，并通过例题学习分部积分法的用法【教师】讲解定积分的分部积分法，并用实际案例加深学生的理解定理3设，在区间上都有连续导数，则．上式称为定积分的分部积分公式，用该式求定积分的方法称为定积分的分部积分法．例8计算．解．【学生】掌握定积分的分部积分法，并通过例题学习分部积分法的用法学习牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元积分法与分部积分法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了曲边梯形的面积、定积分的概念与性质，同时也学习了牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元积分法与分部积分法。课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题4.3、4.4总结知识点，巩固印象教学反思通过复习发现学生有很多知识已经淡忘，教师还要多与学生进行深入的沟通