《经济应用数学》(谢金云 )教案 第5课-导数与微分（一）

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课题导数与微分（一）——导数的概念和运算课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）理解导数的定义与意义（2）掌握函数和、差、积、商的求导法则（3）掌握基本初等函数的导数公式思政育人目标：将导数运用到实际生活中，激发学生学习数学的兴趣；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：导数的定义、导数的意义教学难点：导数的经济意义教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况引例导入

（8min）【教师】讲解引例1引例1若表示一物体从某个时刻开始到t时刻做变速直线运动所经过的路程，则是的函数，表示为．求物体在时的瞬时速度．分析当时间由改变到时，物体在时间内所经过的路程为．物体在时间内的平均速度为．因物体做变速直线运动，故它在任意时刻的速度都不同．当很小时，可用近似表示物体在时刻的速度．显然越小，这种近似的程度就越高．令，若极限存在，则称此极限值为物体在时刻的瞬时速度，即．【学生】聆听、思考、回答通过引例使学生了解导数在实际问题中的应用，使学生体会到数学与我们的生活是息息相关的知识讲解

（25min）【教师】讲解导数的定义、导函数的定义，并通过例题讲解介绍其应用定义1设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应改变量．如果当时，

存在，则称此极限值为函数在点处的导数，并称函数在点处可导，记作，，或．定义2若函数在区间内每一点处都可导，则称函数在区间内可导．此时，对于区间内每一个x值，都有一个导数值与之对应，这就确定了一个新的函数，称为函数的导函数，记作，，，或．例1求函数（为常数）的导数．解（1）求增量：；（2）算比值：；（3）取极限：，即．例1说明，常数函数的导数等于0．例2求函数的导数．解（1）求增量：；（2）算比值：；（3）取极限：，即．一般地，对幂函数，其求导公式为．【学生】掌握导数与导函数的定义【教师】讲解导数的几何意义与经济意义，并通过例题讲解加深学生记忆1．导数的几何意义由引例2可知，曲线在点处导数的几何意义就是该曲线在点处的切线斜率．例5求函数在点处的导数，并求该曲线在点处的切线方程．解当由改变到时，函数的增量为．于是．所以．由于，所以曲线在点处的切线斜率为4，切线方程为，即．2．导数的经济意义1）边际成本函数成本函数的导数称为边际成本函数，其经济意义为：当产量为时，再生产一个单位产品所增加的成本为．2）边际收益函数收益函数的导数称为边际收益函数，其经济意义为：当销售量为时，再销售一个单位产品所增加的收益为．3）边际利润函数利润函数的导数称为边际利润函数，其经济意义为：当销售量为时，再销售一个单位产品利润的改变量为．【学生】掌握导数的数学意义与经济意义学习导数与导函数的定义、导数的几何意义与经济意义。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解函数的求导法则定理1设函数与在点处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点处均可导，且具有以下求导法则．（1）和、差的求导法则：；（2）积的求导法则：；（3）商的求导法则：．．（1）函数线性组合的求导法则：；（2）有限个函数和的求导法则：；（3）三个函数乘积的求导法则：．推论2（常数提取性）．推论3（函数的倒数求导）．【学生】掌握函数和、差、积、商的求导法则【教师】讲解基本初等函数的导数公式下列为基本初等函数的导数，可作为公式直接使用．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．【学生】掌握基本初等函数的导数公式【教师】讲解复合函数的求导法则，并通过例题讲解加深学生对求导法则的认识定理2或，即复合函数对自变量的导数，等于对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．例7求的导数．解．复合函数的求导法则还可以推广到有限次复合函数中．设，则复合函数对的导数是．以上复合函数的求导法则又称为链式法则．【学生】掌握复合函数的求导法则【教师】讲解隐函数求导，并讲解相应例题若变量之间的函数关系是由一个方程所确定的，则称是的隐函数．相应地，把直接用含有自变量的代数式表示的函数称为显函数直接求导法的具体步骤为：将方程两边同时对自变量求导，遇到时，把看成x的函数，利用复合函数的求导法则，先对y求导，再乘以y对x若函数的一阶导数仍然是的函数，则称的导数为函数的二阶导数，记作，，或．类似地，称的导数为函数的三阶导数，记作，，或．按上述方法可以定义阶导数．通常称二阶及二阶以上的导数为高阶导数，其中四阶及四阶以上的导数记作，，或．【学生】掌握隐函数求导，以及隐函数求导与高阶导数学习函数和、差、积、商的求导法则、基本初等函数的导数公式、复合函数的求导法则、隐函数求导与高阶函数。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道测试题目，测试一下大学对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了导数的意义与计算法则，同时掌握了基本初等函数的求导公式、复合函数的求导法则，最后还掌握了隐函数求导与高阶函数，课后要多加练习，巩固知识。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题2.1、2.2总结知识点，巩固印象教学反思过复习发现学生有很多知识已经淡忘，教师还