恒心高考数学-两条直线的位置关系与点到直线的距离突破复习课件

两条直线的位置关系与点到直线的距离1走进高考第一关根底关2教材回归

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，那么有l1∥l2⇔________.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为________．k1＝k2平行3(2)两条直线垂直

如果两条直线l1，l2的斜率存在，分别设为k1，k2，那么l1⊥l2⇔____________.

一般地：

假设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，

直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，

那么l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且____________(或_____________________)．

k1·k2＝－1A1C2－A2C1≠0B1C2－B2C1≠04l1⊥l2⇔____________________，

l1与l2重合⇔______________________且A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)．A1A2＋B1B2＝0A1B2－A2B1＝05考点陪练8

1.两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，那么a等于()

A．2 B．1

C．0 D．－1答案：D解析：由a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.92．两直线l1：x＋ysinθ－1＝0，l2：2xsinθ＋y＋1＝

0，假设l1∥l2，那么θ＝________________.103．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()

A．x＋2y－5＝0B．3x＋y－4＝0

C．x＋3y－7＝0D．3x＋y－5＝0答案：A114．P1(x1，y1)是直线l：f(x，y)＝0上的一点，P2(x2，y2)是直线l外一点，由方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0表示的直线与直线l的位置关系是()

A．互相重合B．互相平行

C．互相垂直D．互相斜交答案：B125．将直线l：x＋2y－1＝0向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到直线l′，那么直线l与l′的距离为()答案：B13解读高考第二关热点关14类型一：两条直线位置关系的判定和应用解题准备：判断两条直线平行或垂直时，往往从两条直线斜率间的关系入手加以判断，当直线方程中含有字母系数时，要考虑斜率不存在的特殊情况．判断两直线垂直时，假设用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可不用分类讨论，但在两直线平行的判断中，既要看斜率，又要看截距．15典例1直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；

(2)当l1⊥l2时，求a的值．16分析：可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解，这样可以防止讨论．17181920[评析](1)直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，“l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2〞的前提条件是l1，l2的斜率都存在，假设不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：当l1，l2中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时，l1与l2不平行；当l1，l2的斜率都不存在(l1与l2不重合)时，l1∥l2；当l1，l2均有斜率且k1＝k2，b1≠b2时，有l1∥l2.为防止分类的讨论，可采用直线方程的一般式，利用一般式方程中的“系数关系〞的形式来判断两直线是否平行，如本例方法二．21(2)当l1⊥l2时，可分斜率不存在与斜率存在，且k1·k2＝－1解决问题，如果利用A1A2＋B1B2＝0可防止分类讨论．22类型二：距离问题232425典例2两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.

求：(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时，两条直线的方程．262728293031[探究1]当m取何值时，直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0与l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0的交点到直线l3：4x－3y－12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？32[分析]求出l1与l2的交点坐标，再求交点到l3的距离表达式，然后结合函数性质求最值．33[评析]注意函数思想求最值．

类型三：交点及直线系问题

解题准备：符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系方程有如下几种：

(1)过定点M(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(这个直线系方程中未包括直线x＝x0)．34(2)和直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)．

(3)和直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0.

(4)经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C)＝0(这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．35典例3求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

[分析]此题可先求出交点坐标，然后由直线间的位置关系求得；也可由直线系方程，根据直线间位置关系求得：36373839[评析]对直线系方程的形式不熟悉或不能正确运用直线系方程，是出错的原因之一．

运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是：

Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．40(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.4142(2)在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最根本的，处理这类问题主要抓住：点与对称点连成线段的中点为对称中心；点关于直线对称是轴对称中最根本的，处理这类问题要抓住两点：一是点与对称点的连线与对称轴垂直；二是点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．43典例4光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．分析：此题用光学原理得入射光线与反射光线关于直线l对称，用对称点方法求出入射点上一点P关于l的对称点，再由两点式写出方程．44454647[评析]比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或关于点的对称问题来解决的；其中方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解，方法二那么利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法．48[探究2]直线：x－y＋3＝0，一光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点．

(1)试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？

(2)依你的判断，认为是无限个时求出所有这样△ABC的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC的方程．49[分析]利用光学原理及点关于直线的对称，借助两直线的交点问题，求解相关结论．5051525354笑对高考第三关成熟关55名师纠错56误区一：无视斜率不存在致误57[剖析]此题常常出现的错误是，只考虑到直线斜率存在的情况，而忽略了直线斜率不存在的特殊情况，即忽略了a＝0的情况．585960[评析]在解决两直线平行的相关问题时，假设利用l1∥l2⇔k1＝k2来求解，那么要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．如果忽略k1，k2不存在的情况，就会导致错解．这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0，这样任何条件的实数值就都有意义了，在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案．61对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况．利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1时，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．利用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0，就可以防止讨论．62变式：三点P(1,2)，Q(2,1)，R(3,2)，过原点作一直线，使得P，Q，R到此直线的距离的平方和最小，求此直线方程．636465误区二：缺乏分类意识

典例2求过直线4x－2y－1＝0与直线x－2y＋5＝0的交点且与两点A(0,8)，B(4,0)距离相等的直线l的方程．6667[剖析]错解缺乏分类讨论的意识，对直线的位置关系考虑不全，事实上当直线l经过AB的中点时也满足条件．6869误区三：无视隐含条件典例3如果直线(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2与y轴平行，求m的值．[错解]因为直线(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2与y轴平行，所以m2＋3m＋2＝0.解得m＝－1或m＝－2.所以当m＝－1或m＝－2时直线与y轴平行．70[剖析]方程Ax＋By＋C＝0表示直线，其中隐含着A·B≠0这一条件．当m＝－2时，直线方程(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2为0·x＋0·y＝0，它不表示直线，所以出现错误．[正解]因为直线(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2与y轴平行，所以m2＋3m＋2＝0，且m＋2≠0，解得m＝－1，所以当m＝－1时直线与y轴平行.71解题策略72熟练掌握对称的含义和求解类问题的方法和步骤

1．首先要弄清对称的含义与分类：

(1)对称点：

两点A、B关于点M对称⇔M为线段AB的中点(也称对称中心)；

两点A、B关于直线l对称⇔l是线段AB的垂直平分线(也称对称轴)．73(2)对称曲线．

(ⅰ)两曲线c1、c2(在本专题中主要指直线l1、l2)关于直线l(或点M)对称⇔c1上任一点P关于直线l(或点M)的对称点都在c2上，反之亦然；

(ⅱ)曲线c自身关于直线l(或点M)对称⇔c上任一点关于直线l(或点M)的对称点仍在曲线c上．

(3)分类：

(ⅰ)中心(点)对称或轴(直线)对称；

(ⅱ)两个图形间的对称或一个图形的自身对称．7475注意：求对称点的步骤是：①设点；②列式；③求解(主要是解方程组)．

(2)对称曲线的求法：

问题：曲线c：f(x，y)＝0，求曲线c关于某直线l(或点M)的对称曲线c′的方程．7677f(x′，y′)＝0即f(u(x，y)，v(x，y))＝0.再化简即得c′的方程．由上知求对称曲线的步骤是：①在待求曲线上取(设)点；②求对称点(在原曲线上)；③代入化简．

上述求解方法就是重要的相关点法，其实质仍为点对称问题．783．特别注意如下与对称有关的结论：

(1)直线Ax＋By＋C＝0关于：

①x轴对称的直线方程为Ax－By＋C＝0；

②y轴对称的直线方程为－Ax＋By＋C＝0；

③原点对称的直线方程为－Ax－By＋C＝0；79④y＝x直线对称的直线方程为Ay＋Bx＋C＝0；

⑤y＝－x直线对称的直线方程为－Ay－Bx＋C＝0；

⑥直线x＋y＋C1＝0对称的直线方程为A(－y－C1)＋B(－x－C1)＋C＝0；80⑦直线x－y＋C1＝0对称的直线方程为A(y－C1)＋B(x＋C1)＋C＝0；

⑧直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0；

⑨直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0.81(2)设a、b，l是三条直线，且a、b关于l对称．

①假设a与b相交，那么l是a、b交角的平分线；假设a与l平行，那么b与l平行，且a、b与l的距离相等．

②假设点A在直线a上，那么A点关于l的对称点B一定在直线b上，并且直线AB⊥l，线段AB的中点在l上．

③设P(x，y)是直线b上一点，那么P关于l的对称点P′的坐标适合a的方程.82快速解题83典例求点P(5,1)到直线l：(λ＋2)x－(λ＋1)y＋λ＝0的最大距离．

[解题切入及分析]代入点到直线的距离公式并求其最大值．848586[方法与技巧]详解的思路是自然的，但计算量太大，数字也太大．快解是找出动直线所过的定点，只需要两定点的距离即可．[得分主要步骤]先求得d的表达式，再求d2.利用判别式法求函数的值域，得到关于λ的一元二次方程，正确求得判别式，解不等式即可．[易丢分原因]由于数字较大，计算过程中很容易算错，尤其是求判别式时要十分小心，其实求得最终结果数字并不大.87教师备选881.数形结合典例1△ABC中，A点坐标为(1,3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．分析：画出草图帮助思考，欲求各边所在直线的方程，只需求出三角形顶点B、C的坐标．B点应满足的两个条件是：①B在直线y－1＝0上；

②BA的中点D在直线x－2y＋1＝0上．89由①可设点B的坐标为(xB,1)，进而再由②确定xB，依照同样的方法可以确定顶点C的坐标，故△ABC各边所在的直线方程可求．909192[评析]依据条件求平面图形中某些直线的方程，必须“数形结合〞．通过数形结合，特别是借助平面图形分析出隐含条件，这样可以到达化难为易、化繁为简的目的，以形助数也是平面解析几何中常用的方法．932．对称问题的解法(1)点关于直线对称典例2直线l：3x－y＋3＝0，求点P(4,5)关于直线l的对称点．[分析]利用对称性质列有关对称点坐标的方程组进而求解．949596[评析]方法1的应用最为广泛，其关键是利用“垂直〞、“平分〞．

点P(a，b)关于特殊直线的对称点列表如下：(2)直线关于点对称97典例3求直线l1：2x－y＋1＝0关于点P(2,1)的对称直线l2的方程．[分析]利用好中心对称的性质是解对称问题的关键．9899100[评析]方法1是利用线线平行及点到两直线距离相等来解；方法2是设动点，运用“代入法〞求解，这也是求曲线方程的一般方法．

一般地，直线Ax＋By＋C＝0关于点(a，b)对称的直线方程为A(2a－x)＋B(2b－y)＋C＝0.(3)直线关于直线对称101典例4求直线a：x－y－2＝0关于直线l：x＋2y＋1＝0对称的直线b的方程．[分析]直线关于直线对称的关键仍是点关于直线对称．102103104105[评析](1)三种方法都是常用方法，都用到了几何性质．方法1利用转化求解(线关于线对称转化为点关于线对称)；方法2抓住了P与P′是一对“相关点〞，利用“相关点〞的性质求出动点的轨迹，这是求曲线关于直线对称方程的常用方法：方法3利用点到直线的距离解题，方法非常简捷，充分表达了利用几何性质的优越性．106(2)特别地，设直线l：Ax＋By＋C＝0，那么有：

直线l关于x轴对称的直线方程为：Ax－By＋C＝0；

直线l关于y轴对称的直线方程为：－Ax＋By＋C＝0；

直线l关于y＝x对称的直线方程为：Bx＋Ay＋C＝0；

直线l关于y＝－x对称的直线方程为：－Bx－Ay＋C＝0.107课时作业五十五两条直线的位置关系与点到直线的距离108一、选择题1．(根底题，易)以下命题中：

①两条直线互相平行等价于它们的斜率相等而截距不等；

②方程(2x＋y－3)＋λ(x－y＋2)＝0(λ为常数)表示经过两直线2x＋y－3＝0与x－y＋2＝0交点的所有直线；109③过点M(x0，y0)，且与直线ax＋bx＋c＝0(ab≠0)平行的直线的方程是a(x－x0)＋b(y－y0)＝0；

④两条平行直线3x－2y＋5＝0与6x－4y＋8＝0间的距离是d＝.

其中不正确的命题的个数是()A．0个B．1个

C．2个D．3个答案：D110解析：当斜率不存在时①不正确；

方程(2x＋y－3)＋λ(x－y＋2)＝0不表示过交点的直线x－y＋2＝0，

所以②不正确；

假设M(x0，y0)在直线ax＋by＋c＝0上，那么c＝－ax0－by0，

此时方程a(x－x0)＋b(y－y0)＝0将会重合于直线ax＋by＋c＝0，

所以③也不正确；只有④正确．1112．(根底题，易)假设三条直线x－2y＋3＝0,3x＋4y－21＝0,2x＋3y－k＝0交于一点，那么k的值等于()

A．13B．14

C．15D．16答案：C1123．(根底题，易)直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝x对称，直线l3⊥l2，那么l2的斜率为()

A.B．－

C．－2D．2答案：C1134．(根底题，易)假设y＝a|x|的图象与直线y＝x＋a(a>0)有两个不同交点，那么a的取值范围是()

A．0<a<1

B．a>1

C．a>0且a≠1

D．a＝1答案：B解析：如图，要使y＝a|x|的图象与直线y＝x＋a(a>0)有两个不同的交点，那么a>1.1145．(根底题，易)平面上一点M(5,0)，假设直线上存在点P使|PM|＝4，那么称该直线为“切割型直线〞，以下直线中是“切割型直线〞的是()

①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1.

A．①③B．①②

C．②③D．③④答案：C115116117答案：D118119二、填空题

7．(能力题，中)假设直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，那么过点Q1(a1，b1)、Q2(a2，b2)的直线方程为________________．2x＋3y＋1＝0解析：由点P在两直线上可得：2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，这说明点(a1，b1)、(a2，b2)均在直线2x＋3y＋1＝0上，而过这两点的直线只有一条．

∴过点Q1(a1，b1)、Q2(a2，b2)的直线方程为2x＋3y＋1＝0.1208．(2021·江苏南通第二次调研)(能力题，中)过点P(1,2)的直线l与两点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等，那么直线l的方程为_______________________________．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝01211229．(2021·广州)(根底题，易)点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，那么x2＋y2的最小值是________．8123三、解答题

10．(根底题，易)(1)是否存在直线l1：(m2＋4m－5)x＋(4m2－4m)y＝8m与直线l2：x－y＝1平行？假设存在，求出直线l1的方程，假设不存在，说明理由．

(2)假设直线l3：(a＋2)x＋(2－a)y＝1与直线l4：(a－2)x＋(3a－4)y＝2互相垂直，求出两直线l3与l4的方程．分析：先求参数，有解那么写出方程，并注意分类讨论．124125126评析：(1)两直线的斜率相等，两直线并不一定平行，只有当它们的纵截距不相等时，两直线才平行．(2)假设两直线斜率的乘积为－1，那么两直线垂直；假设一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，两直线也垂直．12711．(能力题，中)在直线l：3x－y－1＝0上求一点，使得：

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；

(2)Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．128分析：设B关于l的对称点为B′，AB′与l的交点P满足(1)；C关于l的对称点为C′，AC′与l的交点Q(2)．事实上，对(1)，假设P′是l上异于P的点，那么

|P′A|－|P′B|＝|P′A|－|P′B′|<|AB′|＝|PA|－

|PB′|＝