《椭圆及其标准方程》教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计教材分析椭圆及其标准方程是学习圆锥曲线的基础，它的学习方法对后续要学习的双曲线、抛物线具有导向和引领作用。同时，本节课的学习也是求曲线方程的深化和巩固。本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，学习椭圆定义和椭圆标准方程，使学生掌握坐标法的应用规律和学习圆锥曲线的基本思想方法，培养学生的数学创新精神和实践能力。本节课在教学中有两条线，明线是椭圆的定义，椭圆的标准方程及其简单应用，暗线是通过椭圆定义的发生教学，也就是从椭圆的形成过程中探究发现其内在的数学本质特征和联系，使学生学会从几何形式研究其数学本质的思想方法，形成探究发现的意识和能力。教学目标1.知识与技能：掌握椭圆的定义和椭圆标准方程；2.过程与方法：（1）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，感受数学来源于生活，又应用于生活；能通过动手操作，归纳、概括椭圆的定义；（2）通过椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；3.情感、态度和价值观：(1)通过动手操作和探究,激发学生的求知欲，培养学生浓厚的学习兴趣。(2)进行数学美育（简洁美、对称美）的渗透教育。教学重点掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想．(学生动手操作，直观认识椭圆，对比分析掌握椭圆标准方程.)教学难点椭圆标准方程的推导与化简．(类比圆的标准方程的推导过程，设置问题，分散突破难点)课型结构：新授课教学方法启发、引导，讨论，动手相结合教具准备多媒体课件、直尺、图钉、细绳．教学过程一、创设情境，认识椭圆．活动1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.活动2：“嫦娥二号”模拟轨道图．2010年10月1日，我国第二颗探月卫星“嫦娥二号”发射成功,这标志着我国航天事业又上了一个新台阶，这是中国人的骄傲．你知道“嫦娥二号”引入课题：椭圆及其标准方程．（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆；通过“嫦娥二号”的轨道录像，让学生感受生活中的椭圆模型，激发学生的学习兴趣.）二、动手实验，直观感知．活动3、学生动手画椭圆．(教师利用几何画板演示)(1)取一条细绳；（2）把细绳的两端合在一起用图钉固定在板上；(3)用铅笔尖（）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？（4）若把细绳的两个端点分开，用图钉固定在板上的F1、F2两点；再用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动，观察画出的图形是什么？活动4、分析实验，得出规律．(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？学生总结规律：轨迹为椭圆；轨迹为线段；轨迹不存在．（设计意图：通过动手实验，让学生体会椭圆上点的运动规律，为归纳椭圆定义做铺垫．同时，学生因为圆与椭圆的联系，可以类比圆来学习椭圆.）三、总结归纳，形成概念．定义：平面内，到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.思考2：如何利用集合语言表示椭圆定义？.四、合理建系，推导方程．问题1.复习求曲线的方程的基本步骤：（1）建系；（2）设点；（3）列式；（4）化简；（5）证明（可省略）问题2.如何选取坐标系？【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；方案三：把F1、F2建在x轴上，以F1F2与x方案四：把F1、F2建在y轴上，以F1F2通过讨论、分析，选择方案一，建立平面直角坐标系.活动5、推导椭圆的标准方程．选取建系方案,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过、的直线为轴，线段的垂直平分或线为轴，建立平面直角坐标系．（如图1）xxyMO图1设，点为椭圆上任意一点，则（称此式为几何条件），∴得（想一想：下面怎样化简？）问题3、我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得．探究：的引入由椭圆的定义可知，,∴．让点运动到轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引进，此时设，于是得，两边同时除以，得到方程：（称为椭圆的标准方程）．思考3、你能类比焦点在轴上的椭圆标准方程的建立过程，建立焦点在轴上的椭圆的标准方程吗？活动6、归纳、概括椭圆标准方程的形式特征（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆标准方程中三个参数,,的关系：；（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.五、尝试应用例1、指出下列椭圆标准方程中、的值，写出焦点坐标．例2、已知椭圆的两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.求椭圆的标准方程.变式1：将上题焦点改为、，结果如何？变式2：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？练习、已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0）、（2，0），并且经过点P，求它的标准方程.六、回顾反思，归纳提炼.1.椭圆定义；2.椭圆标准方程；3.解题思想方法．七、课后作业1、习题2.2A组1，22、椭圆的焦距是2，则实数m的值是（）（A）5（B）8(C)3或5(D)33、已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于A、B两点，则的周长为（）（A）（B）20(C)24(D)284、如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）（A）（B）(C)(D)5、选做题：方程什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？6、课堂延伸，再激兴趣：①.一条动直线上有三个点，其中两个点沿一个固定的直角的两个边滑动，求第三个点的轨迹。（鲍克勒斯（B.Proclus,410-485）轨迹）.（以三角板为模型试试）②.卡丹（Cardano,1510-1576）旋伦:一个圆盘沿另一大圆盘的內沿滚动，大圆盘半径是小圆盘半径的2倍。那么小圆盘上任标定的一点的轨迹是什么？③.折纸活动：在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心的点，折叠纸片，使圆的周界上有一点落于设置点，折叠数次，形成一系列折痕，它们便整体的勾画出一条曲线的轮廓.请你动手试试，折出的是什么曲线呢？八、板书设计：椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程椭圆定义例题讲解课堂练习椭圆标准方程变式训练布置作业九、教学反思本节课的设计以“教师为主导,学生为主体”的现代教学思想，遵循从直观认识到抽象概括的教学原则,通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力;让椭圆生动灵活地呈现在学生面前,更有助于学生理解椭圆的内涵和外延.在椭圆标准方程推导过程中,精心设置问题,让学生先从目的、再从方法上考虑,引导学生对比、分析,师生共同完成.通过经历椭圆方程的化简,增强了学生战胜困难的意志品质并体会数学的简