高二数学瞬时速度与导数课件

高二数学瞬时速度与导数课件在这个故事中，我们可以提取到的关键词有：平均速度(AverageVelocity)瞬时速度(InstantaneousVelocity)如何计算出平均速度？首先我们要搞明白为什么你没有办法在马里布飞驰的时候算出你的速度，我们首先需要理解平均速度的定义：速度=

距离/时间相信大家对上面这个公式都是耳熟能详的，在初中阶段就接触到这个公式。这是最简单计算速度的公式，让我们把它放到图表里：图像中的纵坐标（y-axis)代表的是距离的变化，横坐标（x-axis）代表的是时间的变化。若我们想求出汽车在某一段距离期间的平均速度，我们需要截取一段时间（分为t1和t2)和一段路程（分别为d1和d2）。距离=

d2-d1时间=

t2-t1然后根据上述的公式，你可以轻而易举地算出速度为多少。而后你会同时发现这个公式跟斜率的公式（SlopeFormula）长得十分的相似。

同为纵坐标的改变量除以横坐标的改变量。所以求汽车在某一段区间内的平均速度，其实也是就是在求位移函数（此处假设为直线）在这一段区间上的斜率。警告（Warning）：这样就可以了吗？当然不是！

回顾刚刚讲的故事，我们忽略了很重要的几个点。首先，上面图中的距离函数，被假设为一条直线。大家都知道，直线的斜率是处处相等的，如果平均速度=斜率，则这意味着汽车全程在做匀速直线运动。这是一个理想化的模型，在现实生活中无法实现。

事实上，现实生活中的汽车，速度时时刻刻都在变化。比如，你猛踩刹车，速度就会陡然下降；如果遇到大平原，你可能心情好一脚油门狂飙，速度也会瞬间暴增；如果遇到雨天或者雪天的特殊情况，则你要时时刻刻保持警惕，开车小心翼翼，这也就意味着速度几乎每个时刻点都在变化。所以反反复复地变换速度在现实生活中是必不可少的事情，汽车匀速直线运动在现实中几乎是不存在的。

在速度时刻变化的前提下，我们就不能只看某一段区间上的平均速度了，很多时候我们会关心某个时刻点处的瞬时速度。事实上，由于瞬时速度时时刻刻在变化，我们取不同的区间段，平均速度也会相应的不同，而绝不是匀速的。这个时候，位移函数的图像就不会是一条直线。

什么是瞬时速度（InstantaneousVelocity/InstantaneousRateofChange)?如果继续用到刚才故事中的例子去解释的话，我们可以理解为因为受到现实情况的影响，速度不得不在每时每刻做出改变。我们遇到转弯口必须减速慢行通过，否则会翻车；遇到前面老太太开得太慢你不耐烦的时候，你迅速超车——这些行为都导致瞬时速度的改变。上图的位移函数是一条曲线，如同我们之前分析的，速度时刻改变，导致每个不同的区间上，平均速度也不同（斜率不同），所以位移函数绝不会是一条直线。你被警察开罚单了，所以你需要在图上找到超速那段时间区间，观察那段时期的速度变化去证明自己的清白。然后你找到了4s店帮你打印了一份位移-时刻表，当你看到了图象时你非常的诧异。

当你看到了你的行车数据的时候，你发现你自己根本无从下手也不知道该从哪一阶段去获取重要的信息去证明自己没有超速。看着不规则的运动图，你的大脑一片空白，你基本上要放弃这场官司。

就在你失望准备乖乖交罚款的时候，突然你的朋友蔡乐唯老师给你打了通电话，然后你将事情的来龙去脉全部告诉了他。他得知了你的情况后，帮你分析了问题，找到了一个很好的解决方案。那就是利用求导(Differentiation)去计算每个时刻点的瞬时速度，这样你就可以向警察证明，在他们指控你超速的那段区间(Interval)你没有超速。

老师有话说运用斜率公式去求速度是非常正确的做法，但是需要进行一些适度的调整跟优化才能使它看上去更合理。1►我们也需要使用斜率公式去计算瞬时速度。比方说，我们想知道，我们在x时刻（P点处）的瞬时速度——首先我们取了很靠近P点的一个时刻区间——即P到Q，如图所示，点P到点Q的直线为本区间上的割线（Secantline）。首先我们求出割线PQ的斜率，即汽车在这段区间上的平均速度。2►现在我们求得了PQ之间的平均速度，但如何通过它来得到P点处的瞬时速度呢？我们就要借助极限的知识帮助我们完成这样的目标——我们把点P当作支点，点Q作为可移动的点。点P对应x时刻，则可移动的点Q对应时刻x+，如果我们将尽可能缩小，让它趋于0，则Q点就会无限接近P点（越来越往里挤向P点靠近），那原来的PQ区间，就最后缩短到只剩P一个点。而大家会在图像上看到，原来的割线PQ由于Q向P无限靠近，已经变成了P点处的切线(TangentLine)。将尽可能缩小，让它趋于0，在数学上表示为：Let

=dx

dx就是x的微分，即趋于0的，就是dx。

这时候，原来区间上平均速度的公式：在趋于0的情况下，就演变为这样一个极限：如上，你将获得一个非常完整的求导公式。由于趋于0，区间PQ也不复存在了，只剩下P点，因此这个公式实际就是汽车在P点处的瞬时速度，也是位移-时刻函数图像在P点处切线的斜率，也即函数在点P处的导数。3►现在我们已经求得点P处（时刻x）的瞬时速度了，如果想知道其他任意时刻处的瞬时速度，只需要求位移-时刻函数在那一点处的导数，这样我们就可以看到所有时刻处的瞬时速度值，即速度-时刻函数就是位移-时刻函数的导函数。