地图数据处理模型的原理与方法

武汉大学资源与环境学院

地图科学与地理信息工程系何宗宜

地图数据处理模型的原理与方法地图数据处理模型的原理与方法

现代地图制图是以空间数据为主要对象，数据处理是当前地图制图的主要研究领域。地图数据处理模型的原理与方法是地图制图与数学模型相结合的一门边缘学科，它是应用数学方法处理制图数据，用相应的地图制图模型表达数据处理的结果。回第一页地图数据处理模型的发展

公元前3世纪，地图上开始出现经纬线。本世纪40年代，图解计算法和数理统计方法研究地图要素，地图制图综合数学方法的研究。60年代，德国的特普弗尔（F·TÖpfer），提出了开方根选取规律公式，70年代发表了《制图综合》专著，将开方根规律选取公式系统化。1968年，捷克斯洛伐克的斯恩卡（E·Srnka）用相关解析法，建立了选取公式。称这类制图综合数学模型为“选取指标数学模型”。1976年苏联地图制图学家鲍罗金（A·B·Ьоролин）用地图物体本身的大小和所处的地理环境（物体密度）两个标志来衡量地图物体的重要性，确定地图物体的取舍，另外该方法还可以确定具体选取哪一个物体，使地图制图综合模型大大地进一步，称这类制图综合数学模型为“结构选取数学模型”。

回上一页我国，50年代末和60年代初，用图解计算法和数理统计法研究居民地、河流、道路网等选取指标的数学模型。70年代以来，用回归分析方法研究确定居民地和河流选取的数学模型，利用多元回归分析方法建立地图物体的制图综合数学模型。从80年代中期开始，用模糊数学和图论来研究居民地、河流和道路网等的“结构选取数学模型”。

60年代，把多元统计分析应用于地学领域，推动了专题地图制图数据处理模型的发展。70年代，形成了比较系统的地图制图数据处理模型的理论与方法，提出了相应的数学模型和地图制图相结合的途径。80年代，有些学者开始把模糊数学、最优化方法等现代数学引入专题地图制图的研究领域。从90年代以来，许多地图制图学者利用数学形态学、分形理论和小波理论等现代数学对空间数据多尺度处理与表示进行深入地探讨，使地图制图数据处理模型得到进一步发展。回上一页地图制图数据处理模型的应用

一、在地图制图综合中的应用

1．选取指标数学模型

2．结构选取数学模型

3．图形化简数学模型

回上一页二、在空间数据多尺度处理中的应用

1．数学形态学模型

2．分形理论模型

3．小波理论模型

回上一页地图要素分布规律的数学模型

下一页上一页3居民地规模大小分布特征数学模型

4地面高程分布特征数学模型

2河流长度分布特征数学模型

1海岸线弯曲分布特征数学模型

地图要素选取指标数学模型

下一页上一页

2河流选取指标的数学模型

1居民地选取指标的数学模型

1居民地选取指标的数学模型

下一页上一页三、图解计算法

一、一元回归数学模型

二、多元回归数学模型

四、方根模型

上一页一、一元回归数学模型

式中，y为居民地选取程度，

x为地形图上居民地密度，是待定参数。根据地图制图综合原理，资料图上居民地密度越大，新编地图上居民地选取程度（选取百分比）越低。居民地选取程度与居民地密度之间存在着相关关系，发现这种相关关系可用幂函数来表示

上一页对全国范围内的已成1：10万地形图作了大量的实际观测，建立了确定居民地选取程度模型式中，y是居民地选取程度，

x是居民地实地密度（个/100km2）同理，建立了下列居民地选取程度模型。

中小型居民地

大中型居民地比例尺1：25万1：50万1：100万

ab2．3328-0．61810．9419-0．64870．3397-0．6688比例尺1：25万1：50万1：100万

ab2．3965-0．61500．9461-0．63730．3546-0．6659上一页在实际地图制图数据处理中，常常是以与之比例尺相差不远的地形图作为资料图。通过数据分析处理，可得到相应的数学模型。

中小型居民地

大中型居民地

模型类型1：10万编1：25万1：25万编1：50万1：50万编1：100万

ab1．4261-0．48310．4324-0．08040．3579-0．1329

模型类型1：10万编1：25万1：25万编1：50万1：50万编1：100万

ab1．4658-0．48080．4156-0．05820．3733-0．0791以上模型居民地密度x的单位为：个/100cm2，即资料图每100cm2居民地个数。上一页二、多元回归数学模型

式中，为居民地选取程度，为居民地密度，为人口密度，

b0、b1、b2为待定参数。确定居民地选取指标的多元回归模型设y1为单位面积内居民地选取个数，则有

上一页二、多元回归数学模型

2．各种比例尺地形图上选取指标数学模型1：10万

1：20万1：100万1：150万

1：200万1：250万上一页二、多元回归数学模型

2．各种比例尺地形图上选取指标数学模型1：10万编1：20万1：20万编1：100万1：10万编1：100万1：100万编1：150万1：100万编1：200万

1：100万编1：250万上一页二、多元回归数学模型

3．通用居民地选取模型如果要求出1：25万地形图的居民地选取模型，有

从而得到1：25万地形图上居民地选取模型为上一页三、图解计算法图解计算法就是利用物体的数量、地图符号的大小和地图载负量来计算出地图物体的选取数量。1．地图载负量

（1）地图极限载负量（2）地图适宜载负量式中，Qi为第i级载负量，ρi为相应的辨认系数。辨认系数ρi可根据表确定。

载负量

QI>20

20≥QI>15

15≥QI≥10

QI<10

ρi

1．2

1．3

1．4

1．5是比例尺转换系数，，是地图比例尺分母，由于106cm=10km，所以是表示图上1cm2实地上100km2的倍数；上一页三、图解计算法

2．确定居民地选取指标的数学模型

为图上每cm2选取居民地个数；是选取m级以上的居民地以后，还剩余的居民地面积载负量。是m+1级居民地的符号和注记的平均面积；上一页三、图解计算法

2．确定居民地选取指标的数学模型

为i级居民地频数；

Q是居民地的载负量；

是i级居民地的符号和注记的平均面积；

根据该地区1：10万地形图观察，可将制图区域分为

4个密度区。量测各区的居民地频数上一页三、图解计算法3.计算居民地选取指标举例编某地区1：200万普通地理图，用图解计算法确定居民地选取指标。（1）量测各密度区居民地频数

分

区

市

县

乡（镇）

村

总

计

1234

0.030.01

0.110.090.080.03

3.672.861.330.75

263.67182.5779.3347.13

267.48185.5380.7447.91上一页三、图解计算法3.计算居民地选取指标举例（2）确定各密度区的居民地载负量

经统计分析研究认为1：200万普通地理图上居民地极限载负量为25（mm2/cm2）。Q1=25有了Q1，可得其他密度区居民地适宜载负量。上一页三、图解计算法3.计算居民地选取指标举例（3）新编图上符号和注记的面积

居民地等级

符号尺寸（mm）

注记尺寸（mm）

注记平均字数

市

县

乡（镇）

村

2．01．51．21．0

4．0×4．03．0×2．02．5×2．51．75×1．75

3．02．02．12．4上一页三、图解计算法3.计算居民地选取指标举例（4）确定居民地选取指标

项

目

居

民

地

等

级

总

计

市

县乡（镇）

村

庄

居民地频数Pi

符号和注记的平均面积ri(mm2)

比例尺转换系数1/k2

面积载负量分配Q（ΔQ）（mm2）

居民地选取数量Ni(个/cm2)

0．0351．144．06．140．12

0．1119．774．08．670．44

3．6714．264．010．190．71263．678．144．00．00．0267．480．00．025．01．27上一页三、图解计算法3.计算居民地选取指标举例（4）确定居民地选取指标

考虑实际地图制图综合的需要，还要把选取指标换成127（个/dm2）。新编1：200万普通地理图各密度区居民地选取指标为

1区127个/dm22区122个/dm23区109个/dm24区89个/dm2上一页四、方根模型

式中，nA是资料图上物体数量，nF是新编图上物体数量，MA是资料图比例尺分母，MF是新编图比例尺分母。1.方根规律的基本模型

是符号尺度系数，是物体重要性系数。称为通用选取模型。上一页四、方根模型

2．方根规律的通用模型

上一页四、方根模型

3．选取系数和选取级

令则有式中，K称为选取系数。显然影响K有三个因素：地图比例尺（M），符号尺度（CZ），物体的重要性（CB）。因此，选取系数K可表达为

K的区别仅在于指数x，x称为选取级。一般来说，0≤x≤4，x可分别取0、1、2、3、4等值。

上一页四、方根模型

4．居民地选取模型

由于实地居民地的数量相差较大，地图上选取居民地不可能按一个固定的选取系数进行。当居民地密度很稀疏时，必须全部选取，即

K=1，x=0当居民地密度非常密集时，此时资料图的密度和新编图的密度应保持相等，即得选取系数K取值范围在1～0.25之间，对K取对数（）有上一页四、方根模型

4．居民地选取模型

因此，居民地选取系数应在1～之间。

用1：50万地图作为资料编制1：100万地图，居民地密度分为6级，求各密度区的选取模型。）有

上一页

0～-0.6分为6级，即

0～-0.12～-0.24～-0.36～-0.48～-0.6求反对数，得1～0.76～0.58～0.44～0.33～0.25所以，各级密度区的选取系数K为1～0.76，0.76～0.58，0.58～0.44，0.44～0.33，0.33～0.25，≤0.25

有人对居民地的选取系数进行过大量的研究，用样图试验和分析已成图的办法获得不同密度区的选取系数的分级界限1～0.70，0.7～0.5，0.5～0.4，0.4～0.32，0.32～0.27，≤0.27

可以看出二者的差别不大，但前者与后者相比，一是方法要简单得多，二是所有过程全部模型化。2河流选取指标的数学模型

下一页上一页

一、一元回归数学模型

二、多元回归数学模型

三、方根模型上一页一、一元回归数学模型河网密度系数

式中，L是河流的总长度，p是河流的流域面积。根据自然界的规律，河网越密该区域小河流就越多，即河网密度系数K和单位面积内的河流条数n0有相关关系，且式中，n是河流条数。

上一页一、一元回归数学模型

依据河网密度系数K和单位面积内的河流条数n0的相关关系，可用幂函数建立河网密度的数学模型。根据分析计算得确定河网密度系数模型为上一页一、一元回归数学模型

河流密度系数K(km/km2)

<0.10.1～0.30.3～0.50.5～0.70.7～1.01.0～2.0

>2.0

河流选取标准lA(cm)

全选

1．4

1．2

1．0

0．8

0．60．5我国多年来的编图实践，使得各不同密度的地区河流选取形成一套惯用的标准。上一页一、一元回归数学模型

地

区

1

23

4

n

567

178

29

11

p(km2)

480

595

310

824

K(km/km2)

1.60

0.78

0.43

0.16

地

区

1

2

3

4河流选取标准lA(cm)

0.6

0.8

1.2

1.4上一页二、多元回归数学模型

式中，为河流选取程度，为资料图上单位面积河流条数，为资料图上单位面积河流长度（河网密度），

b0、b1、b2为待定参数。

设y1为单位面积内河流选取条数，则有

上一页二、多元回归数学模型

在某省范围内选取28块样品，相应量测出每块样品中1：5万，1：10万，1：20万，1：50万和1；100万地形图上河流的条数和长度，依据这些数据就可建立相应比例尺的河流选取程度的多元回归模型。1：5万编1：10万

1：10万编1：20万

1：20万编1：50万

1：50万编1：100万

上一页三、方根模型

式中，包含了和的综合影响。（1）评价已成图或制作编绘样图，量取nF和nA

（2）解求选取级

为了建立1：10万～1：100万地形图上河流的选取数学模型，在不同的河网密度区选了四块样品进行研究，四块样品的河网密度系数K分别为>1.0，0.7～1.0，0.5～0.7，0.3～0.5。

上一页三、方根模型

量测样图和相应的资料图上的河流条数nF和nA，可求出相应的x值。从而得到各种比例尺地图河流选取模型。

1：5万编1：10万的河流选取模型为

同理可得，1：10万编1：20万

1：20万编1：50万1：50万编1：100万

地图要素结构选取数学模型

下一页上一页

2道路网结构选取数学模型

1河流结构选取数学模型

3地貌结构选取数学模型1河流结构选取数学模型

下一页上一页二、模糊数学模型

一、等比数列法三、图论模型式中，是辨认系数。上一页一、等比数列法

等比数列法是用河流的大小和河流的密度两个因素来衡量河流的重要性，根据重要性来决定河流的取舍。1．数列的确定方法

（1）Ai数列的确定

先确定物体大小的全取线An和全舍线A1，在A1和An之间的Ai根据下式求出上一页一、等比数列法

1．数列的确定方法

（2）Bj

数列的确定

在B1和Bn

之间的Bj根据下式求出（3）Clk数列的确定

新编地图上制图物体应保持的最小间隔

当l=k时，等比数列表选取数列矩阵对角线上的元素，用下式确定式中，为首相为1，公比为的等比数列前项之和

式中，为首相为1，公比为的等比数列前项之和，即上一页

选取数列矩阵上的第一列元素，表示分布密度最大的地区中物体选取时所需的间隔，用下式确定选取数列矩阵上的第二列元素，表示分布密度第二大的地区中物体选取时所需的间隔，用下式确定其余各列类推。上一页一、等比数列法

2．河流结构选取模型

1.2~1.91.9~3.13.1~4.94.9~7.97.9~12.612.6~20.120.1~32.2>16.312.5~16.310.2~12.57.9~10.26.4~7.94.9~6.44~4.91.62.02.63.65.27.711.72.63.24.25.88.312.34.15.16.79.213.26.68.210.714.710.513.017.016.820.826.8上一页一、等比数列法

3．河流选取

河长6mm，河流间隔为8mm。大小分级4.9~6.4，间隔分级7.9~12.6，河流是否选取的间隔是13.0mm，该河流到已选取河流的间隔>13.0mm时选取，<13.0mm时舍去。

上一页

上一页二、模糊数学模型

1．地图上河流选取因素集合

U={u1（河流长度），u2（河流间距），u3（河流的重要性），u4（河网类型）}

2．河流选取的评判集

V={v1（选取），v2（舍去）}

3．因素权重集

上一页二、模糊数学模型

4．模糊综合评判矩阵

（1）河流长度对其选取的隶属度的确定

式中，D为河流选取时，与已取河流间隔值，C值是河流选取和舍去的临界值。（2）河流间隔对其选取的隶属度（3）河流在人文、地理位置上重要性对河流选取隶属度的确定上一页二、模糊数学模型

4．模糊综合评判矩阵

（4）河网类型对河流选取隶属度的确定

（5）模糊综合评判矩阵

根据最大隶属原则，在中，看谁的数值大。如果上一页二、模糊数学模型

5．模糊综合评判结果集

该河流选取。若该河流舍去。回目录页二、模糊数学模型

6．模糊数学模型选取河流试验

利用模糊数学模型对1：10万地形图编1：20万地形图的河流自动选取。回目录页

回目录页三、图论模型

回目录页三、图论模型

1．河流表征“树”的关联矩阵

回目录页三、图论模型

2．河流边值的确定

这里，采用河流的流域面积来确定其隶属度式中，S是整个河系流域面积，Si是每条河流的流域面积。

回目录页三、图论模型

3．河流的模糊关联矩阵

回目录页三、图论模型

4．节点强度计算

式中，是模糊关联矩阵的转置矩阵。有节点强度集合

回目录页三、图论模型

4．节点强度计算

按其值大小顺序排列为P7>P6>P5>P3>P4>P1>P2

5．用地图要素选取指标数学模型计算选取节点数量资料图为1：10万，新编图为1：20万，利用方根模型回目录页三、图论模型

6.按选取指标和节点强度值大小进行自动选取

按节点强度顺序选取7、6、5、3四个点。1、2两点有一个是河系的源头，1、2两点全部舍掉，破坏了河系的完整性，不符合地图制图综合原理；如果有两条边（即两个节点）舍去，则要追踪选取边值大的一条边；因为，P1>P2，所以选取1点。

2道路网结构选取数学模型

回目录页下一页一、道路网图形处理

2道路网结构选取数学模型

回目录页下一页二、建立道路网的邻接矩阵

2道路网结构选取数学模型

回目录页下一页三、道路网边值的确定铁路：f(x1)=10

公路：f(x2)=3

大车路：f(x3)=1

2道路网结构选取数学模型

回目录页下一页四、用地图要素选取指标数学模型确定节点选取数量节点选取数量可采用地图要素选取指标数学模型来确定。地图（资料图）为1：10万，新编图为1：50万，利用方根模型（个）即，应选取13个节点。

2道路网结构选取数学模型

回目录页下一页五、计算节点强度值

顺序123456789

节点v23v42v18v15v29v14v21v28v24强度值0.55790.25740.22920.22620.21940.21470.21060.20280.1846顺序101112131415

节点v11v13v4v34v27v17…强度值0.17500.17080.16940.16510.15960.1564…

2道路网结构选取数学模型

回目录页下一页六、按选取指标和节点强度值大小进行自动选取3地貌结构选取数学模型

回目录页下一页地貌结构选取数学模型主要是等比数列法，该模型利用谷地长度和谷地密度（谷间距）来确定谷地的取舍。3．地图信息变化程度的确定

回目录页

一般认为，，则需要全图更新；

，则需要更新一部分，

，则不需要更新。

空间数据多尺度处理数学模型

1数学形态学数学模型

2分形数学模型

3小波理论数学模型

回第一页空间数据多尺度处理与表示是当今地理信息科学领域研究的重要的前沿性课题。综合运用现代数学理论、计算机科学技术和计算智能技术，可为空间数据多尺度处理与表示的问题解决提供思路。近年来，数学形态学、分形理论和小波理论等现代数学理论和方法为智能化的空间数据多尺度处理，跨尺度的空间分析和自适应可视化等课题的研究提供了新的途径。回目录页一、数学形态学基本运算

1数学形态学数学模型

设A为研究图像，B、C为结构元素。

1．膨胀

2．腐蚀

3．开运算

4．闭运算

5．击中

6．薄化

7．厚化

回目录页二、居民地街区合并的数学模型

1数学形态学数学模型

1．选择需合并的街区

2．对空间数据进行栅格化处理

3．图像闭运算

4．栅格数据矢量化

5．节点匹配

6．图形编辑

回目录页

1数学形态学数学模型

回目录页一、确定地图线状要素分数维的数学模型

2分形数学模型

认为步距法比较适合水系要素分维数的确定。现将该方法介绍如下：用不同的尺度（步距）ri

去量测制图曲线L，得到相应的曲线长度L（ri）（i=1，2，3，…，n）;

②在㏒-㏒双对数坐标系中，用线性回归模型拟合点对（㏒ri，㏒L（ri）），得到：㏒L=A+B×㏒r

③由D=1-B确定制图曲线的分维D;④用线性回归系数R=∑[㏑ri×㏑L（ri）]/(∑[㏑ri]2×∑[㏑L（ri）]2)1/2回目录页二、线状要素分数维的量测

表1河流维数量测数据及计算分析结果

Tab.1Measuringdataoffractaldimensionofriversandcalculateresults回目录页

组

号

比例

尺

各步长测得数目(N)

维数

(D)

自相似性程度1km2km3km4km5km

Ⅰ1:50000612311861.4651140.9833621:100000602311861.4553170.976721.1:200000502211751.4490010.9643991:50000035179751.2129390.9353561:100000027127541.2034440.840258

Ⅱ1:50000562211651.5570870.9817061:100000552111651.5387950.9747031:200000542010651.5282610.9619081:50000024117531.2354920.9328511:10000001785421.2312420.832704

Ⅲ1:50000562111641.6395250.9802321:100000552111641.6288460.9725801:200000502011641.5643720.9605831:5000001985331.2098970.9332721:10000001885331.1778510.839877回目录页二、线状要素分数维的量测

表2海岸线维数量测数据及计算结果分析

Tab.2Measuringdataoffractaldimensionofcoastlinesandcalculatingresults

回目录页

组

号

比例

尺

各步长测得数目(N)

维数

(D)

自相似性程度1km2km3km4km5km

Ⅰ1:5000033148651.1974980.9870891:10000033148651.1974980.9814501:20000033148651.1974980.9710851:50000032148651.1792590.9367811:100000032148651.1792590.936781

Ⅱ1:1000007030201281.3142210.9797941:2000006930201281.3056930.9690751:5000006530191181.2978730.9328981:10000006229181181.2690420.839275

Ⅲ1:1000006428161181.2924050.9801801:2000006227161181.2676370.9699921:10000006225151181.2606810.934419回目录页三、海岸线弯曲选取分维模型

nA=Ne-(D-1)XA

表3分维制图综合数学模型确定海岸线弯曲选取个数试验

Tab.3Selectingnumberofcoastlinecurvesdeterminedbyfractalcartographicgenerationmathmodel回目录页

组号比例尺维数

D弯曲选取的指标X(mm)实际选取弯曲的个数模型确定的弯曲个数绝对误差

Ⅰ1:500001.197498391:1000001.197498123331-21:2000001.19749812242401:5000001.179259121720+31:10000001.179259121216+4

Ⅱ1:1000001.314221391:2000001.305693122827-11:5000001.297873122019-11:10000001.269042121314+1

Ⅲ1:1000001.2924056