卡平方测验完整版

卡平方（c2）测验——应用于次数资料的一种显著性检验方法1.1卡平方（c2

）定义n个独立的正态离差u1、u2、…、un的平方和定义为c2。1卡平方(χ2)的定义与分布yi可以不来自同一个正态总体若来自同一个总体，则μi=μ,σi=σ。1.1卡平方（c2

）定义当所研究的总体μ不知，可以用样本平均数代替，则1.1卡平方（c2

）定义若从正态总体中抽取无数个样本，就可形成c2值的概率分布，称为c2分布(chisquaredistribution)其概率密度函数为:c2累积分布函数c2分布曲线与横坐标轴所围成的面积等于11.2卡平方（c2

）分布密度函数1.3卡平方（c2

）分布特点0246810120.00.10.20.30.40.5c2分布的取值范围为[0，+

);c2的分布为连续性分布，而不是间断性的；

c2分布曲线是一组曲线。每一个不同的自由度都有一条相应的c2分布曲线。

2分布的形状与样本大小及理论比例无关；c2分布的形状决定于自由度df,df增大，渐趋正态。不同自由度的c2分布曲线c2的分布为偏正态分布英国卡尔·皮尔逊(KarlPearson,1857～1936)在1899年提出卡平方（c2）以度量观察次数和理论次数的相差程度。在属性统计中它是表示实际值与理论值差异相对大小的统计数。根据卡平方值的大小来检验差异显著性的方法，称为卡平方测验。根据c2定义，从属性性状的分布推导出次数资料分析的c2公式：自由度以分组资料数其相互独立的程度决定1.4卡平方（c2

）-次数资料1.5χ2测验的矫正次数资料是间断性的而卡平方分布则是连续性分布为了使间断性的计算结果适合于连续性分布给出的概率，一般要进行连续性矫正，尤其在自由度为1时更应该：卡平方的基本概念定义:概率密度函数:次数资料:累积分布函数:附表52适合性测验2.1适合性χ2测验的方法适合性测验(testforgoodness-of-fit):比较实验数据与理论假设是否符合的假设测验计数资料作用：测验实际结果与理论比例是否符合测验实验结果是否符合某一理论分布2.1适合性χ2测验的方法步骤：设立无效假设H0，即观察次数与理论次数是由误差引起；和备用假设，HA。确定显著水平α=0.05或0.01在无效假设下，计算χ2，试验观察的χ2越大，观察值和理论次数之间相差程度也愈大，两者相符合的概率就愈小；根据χ2和χ2

α，υ值作出推断。χ2>χ2

α，υ,否定H0。若χ2(或χc2)＜χ0.05，P＞0.05，表明实际观察次数与理论次数差异不显著，可以认为实际观察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或学说；若χ0.05≤χ2(或χc2)＜χ0.01

，0.01＜P≤0.05，表明实际观察次数与理论次数差异显著，可以认为实际观察的属性类别分配不符合已知属性类别分配的理论或学说；若χ2(或χc2)≥

χ0.01

，P≤0.01，表明实际观察次数与理论次数差异极显著，可以认为实际观察的属性类别分配极显著地不符合已知属性类别分配的理论或学说。

2.1适合性χ2测验的方法碘反应观察次数(O)理论次数(E)O-E(O-E)2/E蓝色3437(O1)3459.5(E1)-22.50.1463非蓝色3482(O2)3459.5(E2)+22.50.1463总数6919691900.2926玉米花粉粒碘反应观察次数与理论次数设立无效假设，即假设观察次数与理论次数的差异由抽样误差所引起。本例H0：花粉粒碘反应比例为1:1与HA：花粉粒碘反应比例不成1:12.1适合性χ2测验的方法确定显著水平α=0.05。在无效假设为正确的假设下，计算超过观察χ2值的概率。试验观察的χ2值愈大，观察次数与理论次数之间相差程度也愈大，两者相符的概率就愈小2.1适合性χ2测验的方法依所得概率值的大小，接受或否定无效假设若使得，则H0被否定。若使得肯定H02.1适合性χ2测验的方法查附表5，当ν=k-1=2-1=1时，，实得χ2=0.2798小于

所以接受H0。即认为观察次数与理论次数相符，接受玉米F1代花粉粒碘反应比率为1:1的假设。

项目观察次数O理论次数EO-E(O-E)2(O-E)2/E发芽不发芽总数4267450045050500－24＋245765761.2811.5212.802.1适合性χ2测验的方法EXCEL函数CHITEST函数CHITEST返回(χ2)分布的统计值及相应的自由度。可以使用(χ2)检验确定假设值是否被实验所证实CHITEST(actual_range,expected_range)

Actual_range

为包含观察值的数据区域，将和期望值作比较Expected_range

为包含行列汇总的乘积与总计值之比率的数据区域。2.2各种遗传分离比例的 适合性测验2.2各种遗传分离比例的适合性测验【例】孟德尔(1865)将黄子叶饱满豌豆与绿子叶皱缩豌豆杂交，F2代观察556株，黄子叶饱满315株，黄子叶皱缩101株，绿子叶饱满108株，绿子叶皱缩32株。试测验F2代的分离是否符合9:3:3:1的理论比率。次数黄子叶饱满黄子叶皱缩绿子叶饱满绿子叶皱缩实际次数31510110832理论次数312.75104.25104.2534.752.2各种遗传分离比例的适合性测验假设：H0：F2代的分离符合9:3:3:1的理论比率；HA：F2代的分离不符合9:3:3:1的理论比率。显著水平：a=0.05；χ2

0.05，3＝81χ2<χ2

0.05，3,所以接受H0，即F2代的分离符合9:3:3:1的理论比率2.2各种遗传分离比例的适合性测验应用χ2测验进行分离比例适合性测验只能推论实际分离比与某种理论分离比的相符性有时一种实际分离比可以符合两种理论分离比例所以由表型分离比推测其基因数及基因作用性质，要十分小心一般不仅看一个表型分离比率，还要看从其他世代的表型分离比及基因型分离比作出综合判断2.3次数分布的适合性测验2.3次数分布的适合性测验测验试验数据的次数分布是否符合某种理论分布（如二项分布，正态分布），以推断实际的次数分布究竟属于哪一种分布类型。因此要观察所得次数分布是否符合某种理论分布，首先须提出理论分布的可能类型；按照理论分布计算出理论频率（概率）后计算理论观察次数（总次数×理论频率）根据实际观察次数和理论次数计算χ2或χc2，后作出推断2.3次数分布的适合性测验例：大豆品种R田间考察单株产量得到次数分布表如下，是验证其产量观察分布是否符合正态分布？2.3次数分布的适合性测验测验过程假设：H0:大豆单株粒重分布符合正态分布；

HA:不符合正态分布。显著水平α=0.05,χ2

0.05，11=19.68计算χ2

根据正态分布概率计算，首先计算理论概率P然后根据理论概率P和总观察次数n计算各组限的理论次数。2.3次数分布的适合性测验计算各组限理论概率P2.3次数分布的适合性测验理论次数的计算理论次数=总次数(229)×理论频率P2.3次数分布的适合性测验χ2的计算已知χ2

0.05，11=19.68>χ2

，所以接受H0，即大豆单株粒重分布符合正态分布。2.3次数分布的适合性测验χ2用于进行次数分布的适合性测验时，有一定的近似性，为使这类测验更确切，应注意以下几点：总观察次数n应该足够大，一般不少于50；分组数最好在5组以上；每组内的理论次数不宜太少，至少为5，若组理论次数少于5，最好将相邻组的次数合并为一组3

独立性测验3

独立性测验独立性测验(testforindependence)主要为探求两个变数间是否独立这是次数资料的一种相关性研究。3

独立性测验独立性测验(testforindependence)计算过程:将所得次数资料按两个变数作两向分组，排列成相依表根据两个变数相互独立的假设，算出每一组格的理论次数由算得值3

独立性测验独立性测验(testforindependence)H0：两个变数相互独立；HA：两个变数彼此相关自由度DF＝（r-1）(c-1)当观察的χ2<时，接受H0，即两个变数相互独立当观察的χ2≥

时，否定H0，即两个变数彼此相关3.12×2表的独立性测验2×2相依表指横行和纵行皆分为两组的资料其ν=(2-1)(2-1)=1计算的χ2值需作连续性矫正a11a12R1a21a22R2C1C2n表82×2表的一般化形式3.12×2表的独立性测验调查经过种子灭菌处理与未经种子灭菌处理的小麦发生散黑穗病的穗数，得相依表如下，试分析种子灭菌与否和散黑穗病穗多少是否有关处理项目发病穗数未发病穗数总数种子灭菌26(34.7)50(41.3)76种子未灭菌184(175.3)200(208.7)384总数2102504603.12×2表的独立性测验H0：种子灭菌与否和散黑穗病病穗多少无 关；HA：种子灭菌与否和散黑穗病病穗 多少有关。显著水平α=0.05。测验计算3.12×2表的独立性测验在H0为正确的假设下对于11细格，由于它是属于种子灭菌的，故种子作灭菌处理的概率为76/460它又是属于发病穗数的，发病穗数的概率为210/460因此，任一经种子作灭菌处理而又发病的麦穗的概率为p11=(76/460)×(210/460)，3.12×2表的独立性测验因此格子11的理论次数为：E11=p11×n=(76/460)×(210/460)×460=34.7用同样的方法算出其余格子的理论次数ν=(2-1)(2-1)=13.12×2表的独立性测验查附表6，现实得故P<0.05，否定H0即种子灭菌与否和散黑穗病发病高低有关，种子灭菌对防治小麦散黑穗病有一定效果3.22×c表的独立性测验2×c表是指横行分为两组，纵行分为c≥3组的相依表资料其ν=(2-1)(c-1)>1，故无需作连续性矫正横行因素纵行因素总计12…i…c1a11a12…a1i…a1cR12a21a22…a2i…a2cR2总计C1C2…Ci…Ccn2×C表的一般化形式3.22×c表的独立性测验例:进行大豆等位酶Aph的电泳分析，193份野生大豆、223份栽培大豆等位基因型的次数列于下表，试分析大豆Aph等位酶的等位基因频率是否因物种而不同。物种等位基因总计123野生大豆29(23.66)68(123.87)96(45.47)193栽培大豆22(234)199(143.13)2(52.53)223总计51267984163.22×c表的独立性测验假设H0：等位基因频率与物种无关

HA：不同物种等位基因频率不同显著水平α=0.05否定H0，接受HA。不同物种Aph等位基因频率有显著相关3.3r×c表的独立性测验若横行分r组，纵行分c组，且r≥3，c≥3，则为r×c相依表其ν=(r-1)(c-1)横行因素纵行因素总计12…i…c1a11a12…a1i…a1cR12a21a22…a2i…a2cR2jaj1aj2…aji…ajcRjrar1ar2…ari…arcRr总计C1C2…Ci…Ccnr×c表的一般化形式3.3r×c表的独立性测验例:下表为不同灌溉方式下水稻叶片衰老情况的调查资料。试测验稻叶衰老情况是否与灌溉方式有关。灌溉方式绿叶数黄叶数枯叶数总计深水146(140.69)7(8.78)7(10.53)160浅水183(180.26)8(11.24)13(13.49)205湿润152(160.04)14(9.98)16(11.98)182总计48130365473.3r×c表的独立性测验假设H0：稻叶衰老情况与灌溉方式无关；对HA：稻叶衰老情况与灌溉方式无关取α=0.05接受H0：不同的灌溉方式对水稻叶片的衰老情况没有显著影响4的可加性和联合分析4的可加性和联合分析[例11]表13给出三个大豆组合F3家系世代对豆秆黑潜蝇抗性家系与感性家系的分离数据，每一家系由1个F2单株衍生，抗性家系中包括有全抗家系及抗感分离的家系。经对三个组合分别的测验，均符合3抗∶1感理论分离比例。现要求进一步检测三组合综合起来是否符合3∶1分离比例，三组合间是否一致符合3∶1分离比例，或三组合是否具同质性。组合母本P1父本P2F3POE江宁剌文豆

×邗江秋稻黄乙抗2007375Ⅰ感02027250.210.120.50～0.75合计2020100100无锡长箕光甲

×邳县天鹅蛋抗2006268.25Ⅱ感0202922.752.291.940.10～0.25合计20209191邳县天鹅蛋

×南农1138-2抗0209095.25Ⅲ感2003731.751.160.960.25～0.50合计2020127127三组合综合抗225238.53.062.830.05～0.10感9379.5合计318318三组合累计3.66三个大豆组合F3家系世代对豆秆黑潜蝇抗性的分离数据(理论分离比为3抗∶1感）

H0：三组合综合起来符合3抗∶1感分离比例，HA：综合群体不符合3∶1分离比例及H0：三组合的分离比表现同质，一致为3∶1，HA：三组合分离比例不同质。

要测验上列假设，必须计算出相应的值因为不具可加性，只有值具有可加性。4的可加性和联合分析三个组合综合为一群体时的值，或称为=3.06，亦具1个自由度根据其概率为0.05～0.10，可推论三合一的群体总的分离比例亦符合3∶1。4的可加性和联合分析三组合各的总和=3.66，具有3个自由度若将这3个自由度分解1个归属于三组合间的共性

2个归属于三组合间的个性，

可用以测验第二个无效假设，三个组合的同质性4的可加性和联合分析三个组合的同质性

=0.60,时P=0.50～0.75说明符合同质性假设的概率甚大，接受此假设因而三个组合表现一致的3∶1分离比例是确实的可推论大豆对豆秆黑潜蝇的抗性是由1对显性基因控制的，组合间表现出一致的结果4的可加性和联合分析本例中因试验结果很一致，因而引出了共同的结论若各个的结果出入较大，与个别组合的结果不一致，表现出显著性，那么将着重分析各组合间的非同质性及各组合的特异性4的可加性和联合分析2

c2在方差同质性测验中的应用一个样本方差和总体方差的比较；以及两个样本间方差的比较可以用F测验；但是多个样本间方差的比较必须应用c2测验。一、c2测验的具体步骤提出无效假设与备择假设确定显著水平:确定a=0.05或0.01等。计算χ2值:由样本资料和理论假设计算推断，若χ2≤χ2α.df，则p>α，故接受H0；若χ2≥χ2α.df

，则p<α，故否定H0二、一个样本方差与给定总体方差比较的假设测验测定单个样本方差S2其所代表的总体方差和给定的总体方差是否有显著差异，简称为一个样本与给定总体方差的比较。作两尾测验有：H0:σ2=C,HA:σ2≠C。当χ2>χ2α/2,df

，和χ2<χ2(1-a/2),df

，否定H0作一尾(右尾)测验时，H0:σ2≤C,HA:σ2>C。若χ2≥χ2α.df

，否定H0作左尾测验时：H0:σ2≥C,HA:σ2<C。若χ2<χ2(1-α).df

，否定H0例：已知某一地区柑桔（脐橙）多年统计表明其方差为50kg，现在有